第11讲 直角三角形全等的判定“斜边、直角边””-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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一．直角三角形全等的判定——“HL”
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
二、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，
可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【考点剖析】
题型一．用“HL”直接证明直角三角形全等
例1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HLB．ASAC．SASD．SSS
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=BCBD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
【变式1】．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
【解答】解：补充条件：AB＝DE．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AB=DEAC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故答案为：AB＝DE．
【变式2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．

(1)求证：；
(2)求证：．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
（2）连接，
由证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．

题型二．用“HL”间接证明直角三角形全等
例2．（2022秋•大丰区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°．
∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD．
∴AE＝AF，DE＝DF．
∵BD＝CD，
∴△BED≌△CFD（HL）．
∴BE＝CF．
【变式1】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：．

【详解】解：证明：是边的中点，
，
又，，
，
又∵，
在和中，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单．
【变式2】根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN．
证明：连接DB，DC
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN
∴DM＝① （② ）
∵DE是BC的垂直平分线
∴DB＝③ （④ ）
在⑤ 和⑥ 中
∴⑦ ≌⑧ （⑨ ）
∴BM＝CN（⑩ ）
【答案】①DN；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③DC；④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL；⑩全等三角形的对应边相等．
【详解】证明：（1）连接BD，如图：
证明：连接DB，DC，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN，
∴DM＝DN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝CD（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
∴Rt△BDM≌Rt△BDM（HL），
∴BM＝CN（全等三角形的对应边相等），
故答案为：①DN；②角平分线上的点到角两边的距离相等；
③DC；④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL；
⑩全等三角形的对应边相等．
题型三.灵活选用方法证明全等
例3．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．

(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明．
【详解】（1）解：可选取①或③（只选一个即可），
故答案为：①（答案不唯一）；
（2）证明：当选取①时，
，
，
在与中，
，
，
；
当选取③时，
，
，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
【变式1】（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．
【答案】，，，证明见解析
【详解】解：图中的全等三角形有：，，；
∵D是的中点，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵，，，
∴；
∴，
∵，，，
∴．
【变式2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，垂足为，垂足为．求证：
(1)；
(2)．
【详解】（1）证明：在和中
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
题型四．全等三角形综合应用
例4.如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结，
（1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？
（2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？
【答案】（1）t=1；（2）t=或t=
【详解】解：（1）要使△DCP与△BCM全等，
则PC=CM，
由题意得：2t=4-2t，
解得：t=1；
（2）当点P在点C左侧时，
则△DCP≌△BCM，
∴PC=CM，
∴4-3t=1.5t，
解得：t=；
当点P在点C右侧时，
则△DCP≌△BCM，
∴CP=CM，
∴3t-4=1.5t，
解得：t=，
综上：当t=或t=时，△DCP与△BCM全等．
【变式】在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：
（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．
（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析；（3）成立，证明见解析
【详解】解：（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴
（2）垂直
∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴，
∴
即．
∴
又∵
∴，且
∴
即．
（3）（2）中的结论仍然成立
如图3所示，过点E作于F
∵
∴
在和中
∴
∴，
∴
即
∴
∴
∴
∴．
题型五：尺规作图—作直角三角形
例5.尺规作图题
已知：如图，线段，，直角．
求作：，使，，．
（注：不写作法，保留作图痕迹）

【详解】解：先作∠ECF=，在射线CF上截取点B，使，以B为圆心，c的长为半径作弧，交射线CE于点A，连接AB，如图所示，即为所求．

【变式】作图题
（1）如图，已知线段m，n．求作△ABC，请在右面的空白处作△ABC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）婷婷将（1）中自己画的△ABC剪下来，放在同桌悦悦所画的△ABC上，发现两三角形完全重合，这一过程验证了三角形全等的哪一种判定定理： （直接写出答案，不写过程）．
【详解】（1）如图，
步骤①用直尺任意画一条线，用圆规的两脚量取等于长度的线段，交直线与A、C两点；②以C为圆心，任意长半径作圆；③分别以圆与直线的交点为圆心，画两个等圆，连接两个等圆的交点，可作出直线的垂线；④以A为圆心，线段长为半径作圆，交垂线于点B；⑤连接AB即可
（2），
在中，直角边，斜边
在两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等
可用证明两个三角形全等
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

对这两种画法的描述中正确的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】A
【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断．
【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
故选：A．
【点睛】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
2．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，于点D，点E，F在上，且，则图中共有全等三角形（ ）

A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【分析】根据题中条件即可证明、、、．
【详解】解：∵，，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴；
∴全等三角形共有4对，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，仔细找出全等三角形有几对，并加以证明是关键．
3．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在和中，，，则证明全等于的方法是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于公共边为两直角三角形的斜边，于是根据“”可判断．
【详解】解：，
和都为直角三角形，
在和中，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
4．（2023春·广东茂名·八年级校考期中）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等B．斜边和一直角边分别对应相等
C．两条直角边分别对应相等D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，逐条排除即可．
【详解】解：A．两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；
B．斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据，再用可判定全等，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．（2023·湖南永州·统考三模）判定三角形全等的方法有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①③④⑤
【答案】A
【分析】根据判定三角形全等的方法分析即可求解．
【详解】解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，
故选：A．
【点睛】本题考查了判定三角形全等的方法，熟练掌握判定三角形全等的判定定理是解题的关键．
6．（2022春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的个数有（ ）
①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；④斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】解：①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形，根据即可得到两个直角三角形全等，故①正确；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形，不能得到两个三角形全等，故②错误；
③有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形不一定相等，如：和，的边，高，但和不全等，故③错误；
④斜边和斜边上的中线对应相等，只要斜边相等，斜边上的中线必然相等，故一组斜边相等，一组直角相等，两个条件不能判定全等，故④错误；
综上：不正确的有3个；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
7．（2023春·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在中，于点，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件可证明，则可求得，可求得答案．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证得得到是解题的关键．
8．（2023·全国·八年级假期作业）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（ ）

A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【答案】A
【分析】利用“”得到，利用全等三角形对应边相等得到，最后根据，等量代换即可确定出的长．
【详解】∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键．
9．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，，，于点，于点，，，则的长是（ ）
A．2B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：于点，于点，
，
在与中，
，
，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．
10．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）如图，在中，已知，求证：．分析问题可知：需添加如图所示辅助线AD，进而证明．下列证明过程中：①取的中点D，连接，证明的依据是；②作的角平分线，证明的依据是；③过点A作于点D，证明的依据是．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定，及两直角三角形全等的判定，即可得到答案．
【详解】解：①取的中点D，连接，
∵，
∴，
在与中
∴
∴，
∴，故①正确；
②作的角平分线，
∵，
∴，
在与中
∴
∴，
∴，故②正确；
③过点A作于点D，
∴，
在与中
∴
∴，
∴，故③错误．
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键，本题为基础题．
二、填空题
11．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________．
【答案】 （或） （或）
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使，已知，，添加的条件是直角边相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．
【详解】解：已知，，
要使用“”， 添加的条件是直角边相等，
故答案为：（或）；
要使用“”，需要添加角相等，添加的条件为：
（或）．
故答案为：（或）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
12．（2022春·七年级单元测试）如图，已知，若用判定，只需添加的一个条件是____________．
【答案】
【分析】根据题意可得，在和中，，为公共边，则只需要添加，即可根据判定全等．
【详解】解：添加的条件为：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据判定三角形全等，解题的关键是掌握一条直角边和一条斜边相等的两个直角三角形全等．
13．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ______．
【答案】6或12/12或6
【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．
【详解】解：①当时，
∵，
在与中，
∴，
∴；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，才能和全等，
综上所述，或12，
故答案为：6或12．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．
14．（2023秋·八年级单元测试）如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是_______．
【答案】或或或（选其中一个条件即可）．本题答案不唯一．
【分析】已知，图形条件，可以从角，边两方面添加条件．
【详解】添加的条件：或，此时；
添加的条件：或，此时；
故答案为：或或或（选其中一个条件即可）．本题答案不唯一．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．关键是根据题目的已知条件，图形条件，合理地选择判定方法．
15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，于点D，于点，且．若要根据证明，则还应添加的条件是______．
【答案】
【分析】根据证明，只需要添加斜边相等，即可求解．
【详解】根据证明，只需要添加斜边相等，
∴需要添加的条件是，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形全等判定的方法，“”指的是一直角边一斜边．
16．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，．若，则的长为_______．

【答案】5
【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，，证明，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作的延长线于，

∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
17．（2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期中）如图，点D，A，E在直线l上，于点D，于点E，且．若，则________．
【答案】8
【分析】用证明得到，则．
【详解】解：∵， ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知直角三角形全等的判定条件是解题的关键．
18．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则________________．
【答案】55°/55度
【分析】利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．
三、解答题
19．（2021秋·广东河源·八年级校考期末）尺规作图：如图，作一个直角三角形ABC，使其两条直角边分别等于已知线段m，n．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】在直角边上分别截取CA＝n，CB＝m，连接AB，△ABC即为所求．
【详解】解：如图，Rt△ABC即为所求，
【点睛】本题考查尺规作图画三角形,关键在于熟练掌握使用方法．
20．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1)求证：
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【详解】（1）解：
在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
21．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，、、、四点共线，，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】先利用线段和差得到，然后利用证明三角形全等即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查斜边直角边定理证明三角形全等，掌握三角形全等的条件是解题的关键．
22．（2022秋·八年级单元测试）有一块等腰三角形木板，其中（如图），王师傅准备把它分成全等的两部分，
小明和小刚分别设计了两种方案：
（1）小明：确定BC的中点D，连结（如图1）．
（2）小刚：作于D（如图2）．
王师傅说两种办法都行，请选择一种说出其中的道理（写出已知、求证、证明）．

【答案】选择（1），证明见解析，或选择（2），证明见解析
【分析】选择（1），通过证明即可．或选择（2），通过证明即可．
【详解】选择（1），
已知：△ABC中，，，
求证：，
证明：在和中，
∴
选择（2），
已知：△ABC中，，，
求证：，
证明：∵，
∴，
在和中，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
23．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，即．
∵于点M，于点N，
∴．
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查证明两个三角形全等．熟练掌握证明三角形全等，是解题的关键．
24．（2020秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，、、、四点共线，，，，．
求证：．

【答案】见解析
【分析】先证明，由全等三角形的性质可知，，再证明，可知，根据内错角相等，两直线平行可得．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定，通过证明三角形全等得出角相等是解答本题的关键．
25．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，，求证：．
【答案】见解析
【分析】由可证，可得即可求解；
【详解】证明：∵，∴.
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，直角三角形一条斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等，掌握两直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS