高考数学大题精做专题08三角形与平面向量结合问题(第一篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题08三角形与平面向量结合问题(第一篇)(原卷版+解析)，共22页。
专题08 三角形与平面向量结合问题
【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】
在中，分别为角的对边，且有
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若的内切圆面积为，当的值最小时，求的面积．
【思路引导】
（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为，从而求得；结合可求得结果；
（Ⅱ）根据内切圆面积可知内切圆半径为，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到，代入余弦定理中可得到与的关系，利用基本不等式可构造不等式求得，从而得到当时，取得最小值，将代入三角形面积公式即可求得结果.
【典例2】【浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2019-2020学年高三上学期期中】
已知在中，，．
（1）若的平分线与边交于点，求；
（2）若点为的中点，求的最小值．
【思路引导】
（1）根据是角平分线，从而得到，然后得到，代入到中，进行整理化简，得到答案；（2）根据为的中点，在和中用余弦定理，从而得到，然后利用基本不等式，求出的最小值，得到答案.
【典例3】【2019届四川省雅安中学高三开学考试】
在中，角的对边分别是，若．
（1）求角的大小；
（2）若， 的面积为，求的值．
【思路引导】
（1）由正弦定理得： ，化为，由于，所以，最后得；
（2）先由且得，再由余弦定理得， ，进而得．
【典例4】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性考试】
在平面直角坐标系中，设的内角所对的边分别为，且，.
（1）求；
（2）设，，且，与的夹角为，求的值.
【思路引导】
(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.
(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.
【典例5】【2019届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，且，＝1，b＝2．
（1）求∠C和边c；
（2）若,,且点P为△BMN内切圆上一点，求的最值．
【思路引导】（1）利用倍角公式和三角函数的诱导公式将进行化简可得，一个关于的一元二次方程，进而可求解出，即可求出∠C的大小；然后应用余弦定理即可求出边长；
（2）建立坐标系，由已知向量的关系,可得，点的坐标，即可求出△BMN的内切圆方程，运用参数方程，将其代入所求式子中并化简整理得，再由三角函数的值域为，故所求式子的最大值即可求出．
【典例6】【河北衡水金卷2019届高三高考模拟一理科数学试题】
已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．
（1）求及角的大小；
（2）求的值．
【思路引导】（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得 ，所以．
【典例7】【广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末】
已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【思路引导】
（1）由得出，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的大小；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.
【针对训练】
1. 【2020届河北省冀州中学高三年级模拟考试】
△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
2. 【四川省德阳市2018届高三三校联合测试数学】
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，点在线段上， ， ,求的面积.
3. 【山西省运城市2019-2020学年高三上学期期末】
在中，角，，的对边分别是，，，且，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
4. 【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】
如图，在中，，，，是边上一点，.
（1）求的值；
（2）若，求实数的值.
5. 【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考】
已知中，.
（Ⅰ）若，求的面积；
（II）若，求的长.
6. 【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月)联考】
设函数
(Ⅰ) 求的单调增区间；
(Ⅱ) 已知的内角分别为，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最小值.
7. 【辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中考试】
已知函数，
（1）当时，求函数的最小值和最大值；
（2）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值.
8. 在中，.
(1) 求角的大小；
(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.
9. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，求的最小值．
10. 【2019届河北省武邑中学高三上学期期末考试】
已知的面积为，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
类型
对应典例
已知平面向量的数量积求解三角形
典例1
平面向量的基本定理与解三角形相结合
典例2
解三角形与平面向量的数量积相结合
典例3
平面向量的坐标运算与解三角形相结合
典例4
通过解三角形求解平面向量的相关问题
典例5
以平面图形为背景考查向量问题
典例6
以平面向量的坐标运算探求三角形的最值问题
典例7
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第一篇 三角函数与解三角形
专题08 三角形与平面向量结合问题
【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】
在中，分别为角的对边，且有
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若的内切圆面积为，当的值最小时，求的面积．
【思路引导】
（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为，从而求得；结合可求得结果；
（Ⅱ）根据内切圆面积可知内切圆半径为，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到，代入余弦定理中可得到与的关系，利用基本不等式可构造不等式求得，从而得到当时，取得最小值，将代入三角形面积公式即可求得结果.
解：（Ⅰ）
， ，，
，。
（Ⅱ）由余弦定理得：
由题意可知：的内切圆半径为
如图，设圆为三角形的内切圆，，为切点
可得：，
，
化简得（当且仅当时取等号）
或
又 ，即，
当且仅当时，的最小值为
此时三角形的面积：
【典例2】【浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2019-2020学年高三上学期期中】
已知在中，，．
（1）若的平分线与边交于点，求；
（2）若点为的中点，求的最小值．
【思路引导】
（1）根据是角平分线，从而得到，然后得到，代入到中，进行整理化简，得到答案；（2）根据为的中点，在和中用余弦定理，从而得到，然后利用基本不等式，求出的最小值，得到答案.
解：（1）因为是角平分线，从而得到
所以可得，
所以；
（2）在和由用余弦定理可得
，，
而，，
所以得到
整理得：
当且仅当时，等号成立.
【典例3】【2019届四川省雅安中学高三开学考试】
在中，角的对边分别是，若．
（1）求角的大小；
（2）若， 的面积为，求的值．
【思路引导】
（1）由正弦定理得： ，化为，由于，所以，最后得；
（2）先由且得，再由余弦定理得， ，进而得．
解:（1）∵，由正弦定理得： ，
∴
∵，∴∴， 又∴．
（2）∵， 的面积为，∴∴，
，即， ，
∴
【典例4】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性考试】
在平面直角坐标系中，设的内角所对的边分别为，且，.
（1）求；
（2）设，，且，与的夹角为，求的值.
【思路引导】
(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.
(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.
解：（1）∵∴
∴由正弦定理得∵∴
根据余弦定理得：
∴
（2）由（1）知,代入已知,并结合正弦定理得
,解得或（舍去）
所以,
∴
而
∴．
【典例5】【2019届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，且，＝1，b＝2．
（1）求∠C和边c；
（2）若,,且点P为△BMN内切圆上一点，求的最值．
【思路引导】（1）利用倍角公式和三角函数的诱导公式将进行化简可得，一个关于的一元二次方程，进而可求解出，即可求出∠C的大小；然后应用余弦定理即可求出边长；
（2）建立坐标系，由已知向量的关系,可得，点的坐标，即可求出△BMN的内切圆方程，运用参数方程，将其代入所求式子中并化简整理得，再由三角函数的值域为，故所求式子的最大值即可求出．
解：（1）因为，
所以，
所以，所以或，
又因为，所以，所以．由余弦定理可得，．
建立坐标系，由（1）A，由,知
，△BMN的内切圆方程为：，设，则令
【典例6】【河北衡水金卷2019届高三高考模拟一理科数学试题】
已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．
（1）求及角的大小；
（2）求的值．
【思路引导】（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得 ，所以．
解：（1）由及正弦定理得，
即，
在中，，所以．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
（2）由，得 ，
所以．
【典例7】【广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末】
已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【思路引导】
（1）由得出，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的大小；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.
解：（1），，，
，
由正弦定理得，整理得，
，，；
（2）在中，，，
由余弦定理知，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，，
，因此，面积的最大值为.
【针对训练】
1. 【2020届河北省冀州中学高三年级模拟考试】
△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
解：
（Ⅰ）由已知，·
由余弦定理得，∴，
∵，∴．
（Ⅱ）∵，∴，.
．
∵，∴，
∴当，取最大值，解得．
2. 【四川省德阳市2018届高三三校联合测试数学】
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，点在线段上， ， ,求的面积.
解：因为 ，由正弦定理得：
即,
在中， ，所以
，两边平方得：
由，， 得
解得：；所以的面积
3. 【山西省运城市2019-2020学年高三上学期期末】
在中，角，，的对边分别是，，，且，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【思路引导】
（1）由正弦定理知：，化简得，即.
（2）由得到，因为，，解得，代入即可.
解：（1）∵
由正弦定理知：，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵∴
（2）∵∴又∵
∴又∵∴
∴由余弦定理知，
∴
4. 【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】
如图，在中，，，，是边上一点，.
（1）求的值；
（2）若，求实数的值.
【思路引导】
（1）将都转化为用为基底表示，根据向量数量积的运算，求得的值.
（2）将原方程转化为，同（1）的方法，将转化为用为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出的值.
解：（1）是边上一点，
，故
（2），
，
5. 【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考】
已知中，.
（Ⅰ）若，求的面积；
（II）若，求的长.
【思路引导】（1）由余弦定理得到，进而得到三角形ABC是直角三角形，根据公式求得面积；（2）设，则，,由余弦公式得到， .
解析：
（Ⅰ）由题意知， ，解得，
∴，∴.
（Ⅱ）设，则，.
在中， ，
解得或（舍去），∴.
在中， .
6. 【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月)联考】
设函数
(Ⅰ) 求的单调增区间；
(Ⅱ) 已知的内角分别为，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最小值.
【思路引导】(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得，令，求解增区间即可；
（Ⅱ）由，得，由题意可知：的内切圆半径为，根据切线长相等结合图象得，再结合余弦定理得，利用均值不等式求最值即可.
解：
(Ⅰ)
.
.
的单调增区间为.
(Ⅱ)
，所以.
由余弦定理可知：.
由题意可知：的内切圆半径为.
的内角的对边分别为，
如图所示可得：
.
或（舍）
，
当且仅当时，的最小值为.
令也可以这样转化：
代入；
或（舍）；
，
当且仅当时，的最小值为.
7. 【辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中考试】
已知函数，
（1）当时，求函数的最小值和最大值；
（2）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值.
【思路引导】（1）利用二倍角公式及化一公式，化简的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由，解得角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理解得的值.
解：（1）
当 ，即时，有最小值为
当 ，即时，有最大值为
(2)
与向量共线
由正弦定理得①
，由余弦定理可得②
①②联立可得
8. 在中，.
(1) 求角的大小；
(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.
【思路引导】（1）由，两边平方，整理可得，即，从而可得；（2）在直角与直角中中， ， ，从而可得，根据三角函数的有界性可得面积的最小值.
解：（1）由，两边平方，
即，得到，即．
所以 .
（2）在直角中， ，
在直角中， ，
又，所以，
所以 ，
由得，，故，
当且仅当时，，从而 .
9. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，求的最小值．
【思路引导】
（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出csA的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a的最小值．
解：(1) ∵中，，
∴由正弦定理知，，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴．
(2) 由 (1)及得，
所以
当且仅当时取等号，所以的最小值为
10. 【2019届河北省武邑中学高三上学期期末考试】
已知的面积为，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【思路引导】（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出的值即可；（2）由与的值，利用两角和与差的正切函数公式求出的值，进而求出的值，利用正弦定理求出的值，再利用三角形面积公式即可求出．
解：（1）设的角所对应的边分别为，
∵，∴，∴，∴．
∴．
（2），即，
∵，，∴，．
∴．
由正弦定理知：，
． 类型
对应典例
已知平面向量的数量积求解三角形
典例1
平面向量的基本定理与解三角形相结合
典例2
解三角形与平面向量的数量积相结合
典例3
平面向量的坐标运算与解三角形相结合
典例4
通过解三角形求解平面向量的相关问题
典例5
以平面图形为背景考查向量问题
典例6
以平面向量的坐标运算探求三角形的最值问题
典例7