高考数学大题精做专题03三角函数中的实际应用问题(原卷版+解析)

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专题03 三角函数中的实际应用问题
【典例1】【山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期末数学试题】
如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．
【典例2】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题】
我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地，如图，点在上，点在上，且点在斜边上，已知，米，米，.设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）
（1）试用表示，并求的取值范围；
（2）求总造价关于面积的函数;
（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）
【典例3】【辽宁省普通高中2019-2020学年高三上学期学业水平测试数学试卷】
如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定．
（1）求点M的坐标；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
【典例4】【河北省邢台市2019-2020学年高三上学期第二次月考】
某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点，米，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角，其中BC为斜边．
若；，求四边形OACB的面积；
现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？
【思路点拨】
计算时和的面积，求和得出四边形OABC的面积；
设，求出和的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对应的值．
【典例5】【广东省汕头市金山中学2018-2019学年高三上学期期末】
汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：
方案l：在岸边，上分别取点，，用长度为的围网依托岸边围成三角形（为围网）.
方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形（，为围网）.
记三角形的面积为，四边形的面积为. 请分别计算，的最大值，并比较哪个方案好.
【思路点拨】
方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面积最值，方案2中，利用正弦定理和三角函数的性质求出面积最值，然后比较大小，即可得哪种方案好.
【典例6】【江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题】
如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧，下部是一个矩形，圆弧所在圆的圆心为O，经测量米，米，，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形，其中E，F在边上，G，H在圆弧上.设，矩形的面积为S.
（1）求矩形的面积S关于变量的函数关系式；
（2）求为何值时，矩形的面积S最大？
【思路点拨】
（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形的面积S关于变量θ的函数关系式；
（2）对S关于变量θ的函数关系式进行求导思路点拨，算出时的的值，三角计算即可得出结果．
【典例7】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
【针对训练】
1. 【江苏省徐州市2019届高三上学期期中质量抽测数学试题】
某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；
（2）试问：当为多少时，年总收入最大？
2. 【河北省衡水市深州市长江中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学】
如图，有一块边长为 (百米)的正方形区域.在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为 (其中点，分别在边，上)，设 (百米)．
（1）用表示出的长度，并探求的周长是否为定值；
（2）设探照灯照射在正方形内部区域的面积为 (平方百米)，求S的最大值．
3. 如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?
4. 【山西省长治市第二中学2019-2020学年高三11月月考】
如图，在中，已知，M为BC中点，E，F分别为线段AB，AC上动点（不包括端点），记.
（1）当时，求证：；
（2）当时，求四边形AEMF面积S关于的表达式，并求出S的取值范围.
5. 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：
（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从
① ， ② ，③ 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.
6. 在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日4:00，每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式.
（1）若从10月10日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系.
（2）10月10日17:00该港口水深约为多少？（精确到）
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于？
7. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】
如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？
8. 【2019届四川省成都市高三第一次诊断性检测】
某大型企业一天中不同时刻的用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数y=f(t)近似地满足f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,00,0