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高考数学一轮复习考点探究与题型突破第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了角的概念，弧度制的相关概念，三角函数的概念等内容，欢迎下载使用。
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．
(2)象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的相关概念
(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
如图，在单位圆O中，eq \(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°．
(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．
3．三角函数的概念
考点1 角的概念与表示
[名师点睛]
(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
③最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合．
(2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[典例]
1．(2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一､二象限的
C．不相等的角终边一定不相同
D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
2．(2023·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．(2023·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
3．（多选）(2023·江苏·高三专题练习）下列与角的终边不相同的角是（ ）
A．B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
4．（多选）(2023·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
考点2 弧度制及其应用
[名师点睛]
应用弧度制解决问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[典例]
1．(2023·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
2．(2023·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
[举一反三]
1．(2023·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（ ）
A．4B．8C．10D．16
2．(2023·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m
5．(2023·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________．
6．(2023·湖南·雅礼中学二模）坐标平面上有一环状区域由圆的外部与圆的内部交集而成.某同学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的x轴上方的某区域R.他设计扫描棒黑､白两端分别在半圆､上移动.开始时扫描棒黑端在点，白端在的点B. 接着黑､白两端各沿着､逆时针移动，直至白端碰到的点便停止扫描，则B坐标___________；扫描棒扫过的区域R的面积为___________.
考点3 三角函数的定义
[名师点睛]
1．利用三角函数的定义求三角函数值时，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
2．已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
3．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，就要进行分类讨论求解．
[典例]
1．(2023·山东潍坊·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（ ）
A．2B．C．D．
2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山东枣庄·高三期末）为第三或第四象限角的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
[举一反三]
1．(2023·北京·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（ ）
A．4B．-4C．D．不确定
3．(2023·全国·高三专题练习）已知第二象限角的终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏·高三专题练习）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·海南·模拟预测）已知角为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·浙江·高三专题练习）若，则所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．(2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
8．(2023·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
9．(2023·福建·莆田二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分∠AOC，B（，），则点C的横坐标为___________.
10．(2023·全国·高三专题练习）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是___________.
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
第22讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．
(2)象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的相关概念
(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
如图，在单位圆O中，eq \(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°．
(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．
3．三角函数的概念
考点1 角的概念与表示
[名师点睛]
(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
③最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合．
(2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[典例]
1．(2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一､二象限的
C．不相等的角终边一定不相同
D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
答案：D
【解析】解：对于，第一象限的角不一定是锐角，所以错误；
对于，三角形内角的取值范围是，所以三角形内角的终边也可以在轴的非负半轴上，所以错误；
对于，不相等的角也可能终边相同，如与，所以错误；
对于，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以正确．
故选：．
2．(2023·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，
所以正确．
故选：．
3．(2023·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
【解析】∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】解：
，由图知，
角的取值集合为:
故选：D.
2．(2023·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
答案：A
【解析】解：因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
3．（多选）(2023·江苏·高三专题练习）下列与角的终边不相同的角是（ ）
A．B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
答案：ABD
【解析】与角的终边相同的角为，其余三个角的终边与角的终边不同．
故选：ABD.
4．（多选）(2023·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】因为角与角的终边相同，故，其中，
同理，其中，
故，其中，
当或时，或，故AC正确，
令，此方程无整数解；
令即，此方程无整数解；
故BD错误.
故选：AC.
5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
答案：BD
【解析】解：由已知得，，所以，，当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．
故选：BD．
考点2 弧度制及其应用
[名师点睛]
应用弧度制解决问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[典例]
1．(2023·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
答案：
【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积
所以莱洛三角形的面积是.
故答案为：
2．(2023·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
答案：
【解析】解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积.
由题意得，所以.
所以纸叠扇的周长，
当且仅当即，时，等号成立，
所以.又，
所以，
所以，
故.
故答案为：
[举一反三]
1．(2023·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（ ）
A．4B．8C．10D．16
答案：A
【解析】如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.
故选：A.
2．(2023·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，
在中，，所以，，
所以在直角三角形中，，所以，所以，而，
所以，所以.
故选：A.
3．(2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题设，底面周长，而母线长为，
根据扇形周长公式知：圆心角.
故选：C.
4．(2023·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m
答案：D
【解析】解：由题意，前轮转动了圈，
所以A，B两点之间的距离约为，
故选：D.
5．(2023·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________．
答案：
【解析】根据题意，因为扇形面，且宛田的面积为，周为，
所以，解得径是：.
故答案为：.
6．(2023·湖南·雅礼中学二模）坐标平面上有一环状区域由圆的外部与圆的内部交集而成.某同学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的x轴上方的某区域R.他设计扫描棒黑､白两端分别在半圆､上移动.开始时扫描棒黑端在点，白端在的点B. 接着黑､白两端各沿着､逆时针移动，直至白端碰到的点便停止扫描，则B坐标___________；扫描棒扫过的区域R的面积为___________.
答案：
【解析】由题意，，设，则点在上.
则，解得
所以
当白端在上移动，碰到的点时，黑端在点在上移动，设移动到点位置.
则扫描棒扫过的区域R为如图所示的阴影部分.设
则，解得，即
连接,在中，
满足，则,所以
由,则为直角三角形，则
则,扇形与扇形的面积为
区域R的面积为
故答案为：；
考点3 三角函数的定义
[名师点睛]
1．利用三角函数的定义求三角函数值时，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
2．已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
3．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，就要进行分类讨论求解．
[典例]
1．(2023·山东潍坊·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（ ）
A．2B．C．D．
答案：C
【解析】由已知得，因为点，在角的终边上，所以直线的斜率为，所以，明显可见，在第二象限，.
故选：C
2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，∴，
故选：A.
3．(2023·山东枣庄·高三期末）为第三或第四象限角的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】对于A：第三或第四象限角，以及终边在y轴负半轴，故A错误；
对于B：第二或第三象限角，以及终边在x轴负半轴，故B错误；
对于C：第二或第三象限角，故C错误；
对于D：第三或第四象限角，故D正确.
故选：D
[举一反三]
1．(2023·北京·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题设，而.
故选：A
2．(2023·全国·高三专题练习）已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（ ）
A．4B．-4C．D．不确定
答案：B
【解析】依题意是第四象限角，所以，
.
故选：B
3．(2023·全国·高三专题练习）已知第二象限角的终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得：，
由三角函数定义知：，解得：，，.
故选：D.
4．(2023·江苏·高三专题练习）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意可知，
根据三角函数的定义可知，，
所以点的坐标是.
故选：A
5．(2023·海南·模拟预测）已知角为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为是第二象限角，
所以，，
由，，可得：.
故选：A.
6．(2023·浙江·高三专题练习）若，则所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
【解析】∵，∴，
∴点在第二象限．
故选：B．
7．(2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
答案：C
【解析】因为角第二象限角,所以，
所以，
当是偶数时，设，则，
此时为第一象限角；
当是奇数时，设，则，
此时为第三象限角.；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角．
故选：C．
8．(2023·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
答案：
【解析】角θ的终边过点
，
即
点在第四象限，
解得：（舍去）或
.
故答案为：.
9．(2023·福建·莆田二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分∠AOC，B（，），则点C的横坐标为___________.
答案：
【解析】
由题意可知圆O的半径为 ，
设 ，
由题意可知 ，∴点C的横坐标为 ；
故答案为： .
10．(2023·全国·高三专题练习）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是___________.
答案：
【解析】解：初始位置在的终边上，
所在射线对应的角为，
所在射线对应的角为，
由题意可知，，
又，
则，解得，
所在的射线对应的角为，
由任意角的三角函数的定义可知，点的坐标是，即．
故答案为：．
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．
(2)象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的相关概念
(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
如图，在单位圆O中，eq \(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°．
(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．
3．三角函数的概念
考点1 角的概念与表示
[名师点睛]
(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
③最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合．
(2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[典例]
1．(2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一､二象限的
C．不相等的角终边一定不相同
D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
2．(2023·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．(2023·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
3．（多选）(2023·江苏·高三专题练习）下列与角的终边不相同的角是（ ）
A．B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
4．（多选）(2023·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
考点2 弧度制及其应用
[名师点睛]
应用弧度制解决问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[典例]
1．(2023·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
2．(2023·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
[举一反三]
1．(2023·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（ ）
A．4B．8C．10D．16
2．(2023·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m
5．(2023·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________．
6．(2023·湖南·雅礼中学二模）坐标平面上有一环状区域由圆的外部与圆的内部交集而成.某同学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的x轴上方的某区域R.他设计扫描棒黑､白两端分别在半圆､上移动.开始时扫描棒黑端在点，白端在的点B. 接着黑､白两端各沿着､逆时针移动，直至白端碰到的点便停止扫描，则B坐标___________；扫描棒扫过的区域R的面积为___________.
考点3 三角函数的定义
[名师点睛]
1．利用三角函数的定义求三角函数值时，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
2．已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
3．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，就要进行分类讨论求解．
[典例]
1．(2023·山东潍坊·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（ ）
A．2B．C．D．
2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山东枣庄·高三期末）为第三或第四象限角的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
[举一反三]
1．(2023·北京·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（ ）
A．4B．-4C．D．不确定
3．(2023·全国·高三专题练习）已知第二象限角的终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏·高三专题练习）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·海南·模拟预测）已知角为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·浙江·高三专题练习）若，则所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．(2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
8．(2023·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
9．(2023·福建·莆田二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分∠AOC，B（，），则点C的横坐标为___________.
10．(2023·全国·高三专题练习）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是___________.
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
第22讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．
(2)象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的相关概念
(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
如图，在单位圆O中，eq \(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°．
(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．
3．三角函数的概念
考点1 角的概念与表示
[名师点睛]
(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
③最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合．
(2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[典例]
1．(2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一､二象限的
C．不相等的角终边一定不相同
D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
答案：D
【解析】解：对于，第一象限的角不一定是锐角，所以错误；
对于，三角形内角的取值范围是，所以三角形内角的终边也可以在轴的非负半轴上，所以错误；
对于，不相等的角也可能终边相同，如与，所以错误；
对于，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以正确．
故选：．
2．(2023·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，
所以正确．
故选：．
3．(2023·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
【解析】∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】解：
，由图知，
角的取值集合为:
故选：D.
2．(2023·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
答案：A
【解析】解：因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
3．（多选）(2023·江苏·高三专题练习）下列与角的终边不相同的角是（ ）
A．B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
答案：ABD
【解析】与角的终边相同的角为，其余三个角的终边与角的终边不同．
故选：ABD.
4．（多选）(2023·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】因为角与角的终边相同，故，其中，
同理，其中，
故，其中，
当或时，或，故AC正确，
令，此方程无整数解；
令即，此方程无整数解；
故BD错误.
故选：AC.
5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
答案：BD
【解析】解：由已知得，，所以，，当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．
故选：BD．
考点2 弧度制及其应用
[名师点睛]
应用弧度制解决问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[典例]
1．(2023·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
答案：
【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积
所以莱洛三角形的面积是.
故答案为：
2．(2023·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
答案：
【解析】解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积.
由题意得，所以.
所以纸叠扇的周长，
当且仅当即，时，等号成立，
所以.又，
所以，
所以，
故.
故答案为：
[举一反三]
1．(2023·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（ ）
A．4B．8C．10D．16
答案：A
【解析】如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.
故选：A.
2．(2023·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，
在中，，所以，，
所以在直角三角形中，，所以，所以，而，
所以，所以.
故选：A.
3．(2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题设，底面周长，而母线长为，
根据扇形周长公式知：圆心角.
故选：C.
4．(2023·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m
答案：D
【解析】解：由题意，前轮转动了圈，
所以A，B两点之间的距离约为，
故选：D.
5．(2023·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________．
答案：
【解析】根据题意，因为扇形面，且宛田的面积为，周为，
所以，解得径是：.
故答案为：.
6．(2023·湖南·雅礼中学二模）坐标平面上有一环状区域由圆的外部与圆的内部交集而成.某同学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的x轴上方的某区域R.他设计扫描棒黑､白两端分别在半圆､上移动.开始时扫描棒黑端在点，白端在的点B. 接着黑､白两端各沿着､逆时针移动，直至白端碰到的点便停止扫描，则B坐标___________；扫描棒扫过的区域R的面积为___________.
答案：
【解析】由题意，，设，则点在上.
则，解得
所以
当白端在上移动，碰到的点时，黑端在点在上移动，设移动到点位置.
则扫描棒扫过的区域R为如图所示的阴影部分.设
则，解得，即
连接,在中，
满足，则,所以
由,则为直角三角形，则
则,扇形与扇形的面积为
区域R的面积为
故答案为：；
考点3 三角函数的定义
[名师点睛]
1．利用三角函数的定义求三角函数值时，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
2．已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
3．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，就要进行分类讨论求解．
[典例]
1．(2023·山东潍坊·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（ ）
A．2B．C．D．
答案：C
【解析】由已知得，因为点，在角的终边上，所以直线的斜率为，所以，明显可见，在第二象限，.
故选：C
2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，∴，
故选：A.
3．(2023·山东枣庄·高三期末）为第三或第四象限角的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】对于A：第三或第四象限角，以及终边在y轴负半轴，故A错误；
对于B：第二或第三象限角，以及终边在x轴负半轴，故B错误；
对于C：第二或第三象限角，故C错误；
对于D：第三或第四象限角，故D正确.
故选：D
[举一反三]
1．(2023·北京·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题设，而.
故选：A
2．(2023·全国·高三专题练习）已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（ ）
A．4B．-4C．D．不确定
答案：B
【解析】依题意是第四象限角，所以，
.
故选：B
3．(2023·全国·高三专题练习）已知第二象限角的终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得：，
由三角函数定义知：，解得：，，.
故选：D.
4．(2023·江苏·高三专题练习）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意可知，
根据三角函数的定义可知，，
所以点的坐标是.
故选：A
5．(2023·海南·模拟预测）已知角为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为是第二象限角，
所以，，
由，，可得：.
故选：A.
6．(2023·浙江·高三专题练习）若，则所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
【解析】∵，∴，
∴点在第二象限．
故选：B．
7．(2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
答案：C
【解析】因为角第二象限角,所以，
所以，
当是偶数时，设，则，
此时为第一象限角；
当是奇数时，设，则，
此时为第三象限角.；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角．
故选：C．
8．(2023·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
答案：
【解析】角θ的终边过点
，
即
点在第四象限，
解得：（舍去）或
.
故答案为：.
9．(2023·福建·莆田二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分∠AOC，B（，），则点C的横坐标为___________.
答案：
【解析】
由题意可知圆O的半径为 ，
设 ，
由题意可知 ，∴点C的横坐标为 ；
故答案为： .
10．(2023·全国·高三专题练习）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是___________.
答案：
【解析】解：初始位置在的终边上，
所在射线对应的角为，
所在射线对应的角为，
由题意可知，，
又，
则，解得，
所在的射线对应的角为，
由任意角的三角函数的定义可知，点的坐标是，即．
故答案为：．
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
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