北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略 九年级下册第2章 二次函数（知识清单）

这是一份北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略 九年级下册第2章 二次函数（知识清单），共5页。试卷主要包含了二次函数的概念，二次函数的图象，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与几何变换， 二次函数的解析式，二次函数的开口方向，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
一、二次函数的概念
1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.
注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的图象
1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.
2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.
3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.
4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
三、二次函数的图象与系数的关系
二次函数（）的系数与图象的关系
（1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，；
（2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号；
（3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交
四、二次函数的图象与几何变换
1.二次函数的平移
（1） 平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

（2） 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2.二次函数图象的对称
（1）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（2）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
五、 二次函数的解析式
1.二次函数解析式的表示方法
（1） 一般式：（，，为常数，）；
（2） 顶点式：（，，为常数，）；
（3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．
一般来说，有如下几种情况：
（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点
七、二次函数的增减性
二次函数的最值
八、二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
九、二次函数与轴交点情况
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
函数
（）
（）
图象的开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
函数
（）
（）
增减性
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
函数
（）
（）
最值
当时，有最小值，
无最大值；
当时，有最大值，
无最小值.