2024年七年级数学暑假培优练（人教版）-暑假作业01 相交线（原卷版+解析版）

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作业01 相交线
知识点1．相交线
（1）相交线：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
知识点2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
知识点3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
知识点4．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
知识点5．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点6．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
题型一：基础概念辨析
1．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．两钉子固定木条B．木板上弹墨线
C．测量跳远成绩D．弯曲河道改直
【答案】C
【详解】解：A、能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
B、能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C、能用垂线段最短进行解释，符合题意；
D、能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
故选C．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．与是同位角B．与是同旁内角
C．与是内错角D．与是同位角
【答案】D
【详解】解：A、与是同位角，故本选项不符合题意；
B、与是同旁内角，故本选项不符合题意；
C、与是内错角，故本选项不符合题意；
D、与不是同位角，故本选项符合题意；
故选：D．
3．如图，，对于：①点C到直线的距离为3；②；③若点P为直线上的任意一点（不与点C重合），则线段的长度一定大于4．正确的是（ ）

A．①②③B．①②C．②③D．①③
【答案】A
【详解】①∵，
点C到直线的距离为3，故①正确；
②，，
，
，
，
，故②正确；
③∵，
点为直线上的任意一点，则线段的长度一定大于4，故③正确；
故选：A．
4．按下列要求画图并填空：
如图，直线和相交于点O，M是上的一点，

(1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N；
(2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F；
(3)点M到点N之间的距离是线段________的长；
(4)点O到直线的距离是线段________的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4)
【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：

（2）解：如上图所示，直线即为所求：
（3）解：点M到点N之间的距离是线段的长
故答案为：，
（4）解：点O到直线的距离是线段的长，
故答案为：
题型二：对顶角的计算
5．如图，直线，相交于点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵直线，相交于点，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．如图，直线相交于点O，，平分，求的度数．
【答案】
【详解】解：因为，，
所以．
因为平分，
所以．
所以．
题型三：邻补角的计算
7．如图，直线和相交于点O，，那么下列选项中与互为邻补角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：直线和相交于点O
与互为邻补角的有：，，
故选：A
8．如图，直线，相交于点O，把分成两部分．
(1)的对顶角为__________，的邻补角为__________；
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：的对顶角为，的邻补角为，
故答案为：，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
题型四：与直线垂直有关的角度计算
9．如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ．
【答案】/
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．如图所示，直线与直线相交于点平分，．
(1)若，求的度数；
(2)猜想与之间的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【详解】（1），
，
平分，
，
；
（2）解：，理由如下：
设，
，，
平分，
，
，
，
，
，
．
11．如图，点是直线上的一点，，，平分．
(1)试说明；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．

12．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（ ）
A．变短B．变长C．先变短，后变长D．先变长，后变短
【答案】D
【详解】解：如图，过点A作轴与点E，交弧于点G，
由“垂线段最短”可知，，
，，
即，，
系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是：先变长，后变短，
故选D．
13．如图，直线相交于点，，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A、直线相交于点，（对顶角相等），故本选项说法正确，不符合题意；
B、直线相交于点，
（对顶角相等），
，
，故本选项说法正确，不符合题意；
C、无法判断与是否相等，故原说法错误，符合题意；
D、三点共线，，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
14．如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
①当时，； ②平分；
③与相等的角有3个；④．
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【详解】
解：①，
，
∴，
，
，
当时，，
∴，
∵平分，
∴，
故①正确；
②不能证明，
无法证明为的角平分线，故②错误；
③平分，
．
直线，交于点，
．
，
，
与相等的角有三个，故③正确；
④，
，
，故④正确；
所以正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线，余角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，难度适中．
15．下图是投影屏上出现的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容，则回答错误的是（ ）
A．“§”表示130B．“@”表示
C．“&”表示垂直的定义D．“#”表示35
【答案】D
【详解】解：是直线上一点，，
．
是的平分线，
．（角平分线的定义）
．
于点，（已知）
，（垂直的定义）
．
综上所述，“§”表示130；“@”表示；“&”表示垂直的定义；“#”表示25；
故选：D．
16．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，于点D，，若点E在边（不与点A，B重合）移动，则线段最短为
【答案】6
【分析】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的面积公式，根据“垂线段最短”得：当时，为最短，然后根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】根据“垂线段最短”得：当时，为最短．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴的最短为．
故答案为：．
17．如图，直线b、c被直线a所截，如果，，那么与其内错角的角度之和等于 ．
【答案】/135度
【分析】本题考查了三线八角，对顶角、邻补角性质，解题的关键在于找准的内错角，再根据对顶角、邻补角性质求解，即可解题．
【详解】解：，
的内错角为，
，
，
与其内错角的角度之和为，
故答案为：．
18．如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论：
①点在运动过程中，使直线的点有两个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小；
③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
【答案】②④
【详解】解：①点在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确；
③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍，说法错误，因为点在线段点左边或在点右边时，但点不是线段中点，不能使三角形的面积是三角形的面积的倍；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确．
综上，正确的是②④，
故答案为：②④．
19．如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 °．

【答案】71
【详解】∵,
∴,
∵,
∴
∵,
∴,
∴.
故答案为：.
20．一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相垂直．则的度数为 ．

【答案】或或或
【详解】解：当时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如图所示：

此时；
当时，如图所示：

此时；
当时，如图所示：

此时；
综上分析可知：的度数为或或或．
故答案为：或或或．
21．如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），

(1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）．
①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足；
(2)线段______的长就是点到直线的距离；
(3)比较大小：______（填“”“”或“”）
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)；(3)．
【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求；
②如图所示，直线即为所求；

（2）解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：．
22．如图，直线、相交于点，，．
(1)写出的所有补角，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)是的补角，理由见解析；(2)．
【详解】（1）的补角有和，理由如下：
∵，
∴是的补角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴是的补角；
（2）∵，
∴，
解得．
23．如图，点在直线上，，射线在内部．

(1)如图1，当时，用量角器画出射线，求度数：
(2)如图2，当时，，垂足为点，求度数．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：如图1，射线即为所画的射线，
，，
，
；
（2）解：如图2，当在上方时，
，
，
，
如图3，当在下方时，
，
，
，
．
综上所述：或．
24．直线、、相交于点O，且，平分．
(1)如图1，
①的余角有________________．（填写所有符合情况的角）
②若，求的度数．
(2)如图2：探究与是否存在数量关系，如果存在，请直接写出与的数量关系，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②(2)
【详解】（1）解：①，
，
，
，
，
的余角有，
故答案为：；
②，，
，
，
，
平分，
，
设，则，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，即，
平分，
，
，即，
，
．
25．数学课上，老师给出如下问题：
直线、相交于点O，，平分，射线，求的度数．
小丽：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图1，因为射线，（已知）
所以______°．（_______________________）
因为与互补，，（已知）
所以______＝______°．（_______________________）
因为平分，（已知）
所以______°．（_______________________）
因为是直线下方的一条射线，
所以______°．
(1)请补全小丽的解答过程；
(2)小聪说：“小丽的解答并不完整，符合题意的图形还有一种情况．”请在图2中画出小聪说的另一种情况，并解答．
【答案】(1)，平面上一条直线与另一条直线相交并成直角，这两条直线互相垂直；，在同一平面内，如果两个角的和等于，那么这两个角互补；，一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；
(2)见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，（平面上一条直线与另一条直线相交并成直角，这两条直线互相垂直）
∵与互补，，
∴，（在同一平面内，如果两个角的和等于，那么这两个角互补）
∵平分，
∴，（从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线）
∵是直线下方的一条射线，
∴．
（2）解：当射线在直线的上方时，如图，
∵，
∴，
∵与互补，，
∴，
∵是直线上方的一条射线，
∴．
【点睛】本题考查垂线的定义、补角的定义、角平分线的定义、角的和差运算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
26．点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得．
(1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）；
(2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数；
(3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数．
【答案】(1)2(2)，详见解析(3)或，详见解析
【详解】（1）
；理由如下：
∵．
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：2；
（2）
∵为的角平分线，平分，
∴设，
∴，
∴，
∴；
（3）
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
当在左侧时，，
，
当在右侧时，．
27．问题提出
已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，．
（1）在图中，的度数为______．
问题探究
（2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值．
问题解决
（3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）秒；（3）秒或秒
【详解】解：（1）∵，，
∴,
故答案为：；
（2）当边平分时，
∵，
∴，
∴旋转角为：，
∴（秒）；
（3）存在，理由是：
在旋转过程中，，
当在左侧时，
∵，
∴，
解得：；
当在右侧时，
∴
综上：的值为秒或秒．
28．张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒．
(1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)在旋转过程中，当为何值时，．如图，是直线上一点，，是的平分线，于点．求的度数．（请补全下面的解题过程）
解：是直线上一点，，
§ ．
是的平分线，
@ ．（角平分线的定义）
．
于点，（已知）
，（&）
__#_．