人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(三)和特殊四边形动点有关的压轴大题(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(三)和特殊四边形动点有关的压轴大题(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了在正方形中，点在边上，交于点.，如图，平面直角坐标系中有三点，如图，在平面直角坐标系中，A等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为ts．
（1）边的长度为________，的取值范围为________．
（2）从运动开始，当________时，．
（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
2．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝2，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长为
3．如图，将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上(点不与，重合)，点落在点处，与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）当点落在的中点时，求点的坐标；
（3）当点在边上移动时，设，求点的坐标(用表示)．
4．在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下的定义：
将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．
例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．
请解决下面的问题：
已知，其中，，，．
（1）当时，已知，为过点的直线．
①当时，________________；当时，________________；
②若，结合图象，求的值；
（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．
5．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（m，0），以AB为边在右侧作正方形ABCD．
（1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标．（用m表示）
（2）当m=0时，如图2，P为OA上一点，过点P作PM⊥PC，PM=PC，连MC交OD于点N，求AM+2DN的值；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，E、F分别为CD、CO上的点，作EG∥x轴交AO于G，作FH∥y轴交AD于H，K是EG与FH的交点．若S四边形KFCE=2S四边形AGKH，试确定∠EAF的大小，并证明你的结论．
6．如图①，在中，已知分别是上的两点，且．．
（1）求梯形的面积；
（2）如图②，有一梯形与梯形重合，固定，将梯形向右运动，当点D与点C重合时梯形停止运动；
①若某时段运动后形成的四边形中，，求运动路程的长，并求此时的值；
②设运动中的长度为，试用含的代数式表示梯形与重合部分面积．
7．在正方形中，动点分别从两点同时出发，以相同的速度在直线上移动；
（1）如图①，当分别移动到边的延长线上时，连接和与的关系为_________；
（2）如图②，已知正方形的边长为点和分别从点同时出发，以相同的速度沿方向向终点和运动，连接和，交于点，请你画出点运动路线的草图，试求出线段的最小值．
（3）如图③，在（2）的条件下，求周长的最大值；
8．在正方形中，点在边上，交于点.
（1）如图1，连接，求证:；
（2）如图2，点在上，交于点N，交于点，求证:；
（3）如图3，点在的延长线上，在直线的右侧作且为线段的中点，当点从点运动到点时，写出点运动的路径长并简要说明理由.
9．如图，平面直角坐标系中有三点。
（1）连接，若
①线段的长为 （直接写出结果）
②如图1，点为轴负半轴上一点，点为线段上一点，连接作,且,当点从向运动时，点不变，点随之运动，连接,求线段的中点的运动路径长;
（2）如图2，作,连接并延长，交延长线于于.若,且，在平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.
10．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）．且+|b-l|=0．CD∥AB，AD∥BC
（1）直接写出B、C、D各点的坐标：B 、C 、D ；
（2）如图1，P（3，10），点E，M在四边形ABCD的边上，且E在第二象限．若△PEM是以PE为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并对其中一种情况计算说明；
（3）如图2，F为y轴正半轴上一动点，过F的直线j∥x轴，BH平分∠FBA交直线j于点H．G为BF上的点，且∠HGF=∠FAB，F在运动中FG的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定值．
难点特训（三）和特殊四边形动点有关的压轴大题
1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为ts．
（1）边的长度为________，的取值范围为________．
（2）从运动开始，当________时，．
（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
答案：（1），；（2）或；（3）不存在，见解析．
分析：（1）过点作于，再利用勾股定理，即可得出结论，用点，的运动速度，即可求出t的范围；
（2）构造出直角三角形，表示出，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
（3）先利用求出时间，再求出，进而得出，判断，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，过点作于，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
根据勾股定理得，，
点在上运动，
，
点在上运动，
，
，
故答案为，；
（2）如图2，
过点作于，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
根据勾股定理得，，
或，
故答案为或；
（3）不存在，理由：
得四边形是菱形，
，
，
，
此时，，
而，
四边形不可能是菱形．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．
2．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝2，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长为
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
分析：（1）由正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再证∠BAF=∠ADG，然后由AAS证△AFB≌△DGA即可；
（2）过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，先证△ABH≌△DAE（ASA），得AH=DE，再证△DJH≌△DKE（AAS），得DJ=DK，JH=EK，则四边形DKFJ是正方形，得FK=FJ=DK=DJ，则DF=FJ，进而得出结论；
（3）取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT=b，由（2）得△ABH≌△DAE（ASA），则AH=DE，再由直角三角形斜边上的中线性质得PD=PH=PE，然后由等腰三角形的性质得DH=2DK=2b，DE=2DT，则AH=DE=2-2b，证出PK=QK，最后证点P在线段QR上运动，由等腰直角三角形的性质得QR=DQ=，即可求解．
【详解】（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵DG⊥AE，BF⊥AE，
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠BAF=∠ADG，
在△AFB和△DGA中，
，
∴△AFB≌△DGA（AAS）；
（2）证明：过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAH=∠ADE=90°，AB=AD=CD，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，
∴∠DAE=∠ABH，
在△ABH和△DAE中，
，
∴△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH=DE，
∵点E为CD的中点，
∴DE=EC=CD，
∴AH=DH，
∴DE=DH，
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，
∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，
∴四边形DKFJ是矩形，
∴∠JDK=∠ADC=90°，
∴∠JDH=∠KDE，
在△DJH和△DKE中，
，
∴△DJH≌△DKE（AAS），
∴DJ=DK，JH=EK，
∴四边形DKFJ是正方形，
∴FK=FJ=DK=DJ，
∴DF=FJ，
∴FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=DF；
（3）解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，
设PT=b，
由（2）得：△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH=DE，
∵∠EDH=90°，点P为EH的中点，
∴PD=EH=PH=PE，
∵PK⊥DH，PT⊥DE，
∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°，
∴四边形PTDK是矩形，
∴PT=DK=b，PK=DT，
∵PH=PD=PE，PK⊥DH，PT⊥DE，
∴DH=2DK=2b，DE=2DT，
∴AH=DE=2-2b，
∴PK=DE=1-b，QK=DQ-DK=1-b，
∴PK=QK，
∵∠PKQ=90°，
∴△PKQ是等腰直角三角形，
∴∠KQP=45°，
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形，
∴QR=DQ=，
∴点P的运动轨迹的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明△AFB≌△DGA和△ABH≌△DAE是解题的关键．
3．如图，将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上(点不与，重合)，点落在点处，与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）当点落在的中点时，求点的坐标；
（3）当点在边上移动时，设，求点的坐标(用表示)．
答案：（1）；（2）；（3）
分析：（1）因为C点为正方形的端点，且正方形的边长及坐标轴中的位置已知，所以可以很快确定出C点的坐标，
（2）运用图形的翻折，设OE=x可以将边长AE、AM、EM用x表示出来，再运用勾股定理，即可求出x的值，E点的坐标便可知，
（3）将OE的长设为a，AM的长设为t，将边长AE、AM、EM用a、x表示出来，再运用勾股定理，便可求出a与t的关系式，则E点坐标便可求得．
【详解】解：（1）证明：∵正方形，，，
∴，且每个内角都是90°，即，，
∴点的坐标为．
（2）∵M为AC中点，
∴，
设，则，，
在中，，即，求得，
∴．
（3）设点E的坐标为，
由题意可知：，，，
在中，，即，
整理得，
∴点E的坐标为．
【点睛】本题主要考查了写出直角坐标系中点的坐标、折叠问题与勾股定理的结合、正方形中的动点问题，做题的关键在于通过折叠的图形其边长一一对应相等，所以可以将未知的边长用已知量来表示，之后再运用计算公式进行求解，便可得出答案．
4．在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下的定义：
将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．
例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．
请解决下面的问题：
已知，其中，，，．
（1）当时，已知，为过点的直线．
①当时，________________；当时，________________；
②若，结合图象，求的值；
（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．
答案：（1）①2；；②，；（2）
分析：（1）①由题意和图像即可得出；
②根据题意表示出一次函数的表达式，根据“穿越距离”，的长度列方程求解即可；
（2）由一次函数的图像和的最大值求解即可．
【详解】（1）当时，，．
由图可知,四边形ABCD为正方形，
又∵点在直线上．
所以将代入
得：，即．
∴．
①当时，
∴：．
∴．
当时，将代入，得出
∴：．
直线经过和，
∴由题意可知：．
②如图，．
过作于，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
结合图象，由正方形的轴对称性可知，均符合题意．
（2）设直线的表达式为，
将代入得：，，
∴．
如图所示，设直线与线段AB交于点，与线段CD交于点．
∴将代入得：，解得：，
将代入得：，解得：．
∵的最大值为，
又因为平行线段和之间的距离为2，
∴由勾股定理可得PQ之间的水平距离，
代入得：，
解得：．
∴，，此时Q点与B点重合．
∴由“穿越距离”得定义和图像可得，若有最大值，且最大值为，
C点需在P点的右边，即C点的横坐标需大于P点的横坐标，
∴；
D点需在P点的左边或和P点重合，即D点的横坐标需小于等于P点的横坐标，
∴，解得：；
综上所述，的取值范围是.
【点睛】此题考查了一次函数图像和平行四边形结合动点问题，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系列出方程．
5．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（m，0），以AB为边在右侧作正方形ABCD．
（1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标．（用m表示）
（2）当m=0时，如图2，P为OA上一点，过点P作PM⊥PC，PM=PC，连MC交OD于点N，求AM+2DN的值；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，E、F分别为CD、CO上的点，作EG∥x轴交AO于G，作FH∥y轴交AD于H，K是EG与FH的交点．若S四边形KFCE=2S四边形AGKH，试确定∠EAF的大小，并证明你的结论．
答案：（1）C(m+4，m)；（2）AM+2DN=4；（3）∠EAF=45°，证明见解析
分析：（1）如图1中，作轴于．利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2中，作轴于，作交于．构造平行四边形，全等三角形解决问题即可；
（3）如图3中，延长到，使得．则．设，，由题意，，，，利用勾股定理想办法证明，再证明，可得即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，作轴于．
，
，，
，
又，
，
，，
．
（2）如图2中，作轴于，作交于．
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，延长到，使得．则．
设，，由题意，，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
6．如图①，在中，已知分别是上的两点，且．．
（1）求梯形的面积；
（2）如图②，有一梯形与梯形重合，固定，将梯形向右运动，当点D与点C重合时梯形停止运动；
①若某时段运动后形成的四边形中，，求运动路程的长，并求此时的值；
②设运动中的长度为，试用含的代数式表示梯形与重合部分面积．
答案：（1）梯形的面积为16；（2）①BD＝4，G′B2；②当0≤x＜时，S＝；当≤x≤时，S＝．
分析：（1）在Rt△ABC中由AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB＝45°，又由GF∥BC得到∠AGF＝∠AFG＝45°，由此得到AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，然后根据S梯形BCFG＝S△ABC−S△AGF进行计算；
（2）①根据平移可知BDG′G是平行四边形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD＝BG＝4，如图③，过点G′作G′M⊥BC于点M，在Rt△G′DM中，求出DM＝G'M＝，接着得到BM＝，然后在Rt△G′BM中，根据勾股定理可以求出G'B2；②在Rt△AGF与Rt△ABC中分别求出GF，BC，当0≤x＜时，其重合部分为梯形，如图②，过G点作GH垂直BC于点H，得GH＝，而BD＝GG′＝x，DC＝，G'F'＝，根据梯形面积公式即可用x表示S；当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③，斜边DC＝，斜边上的高为，根据三角形面积公式即可用x表示S．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝∠AFG＝45°，
∴AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，
∴S梯形BCFG＝S△ABC−S△AGF＝×6×6−×2×2＝16；
（2）①∵在运动过程中有DG′∥BG且DG′＝BG，
∴BDG′G是平行四边形，
当DG⊥BG′时，BDG′G是菱形，
∴BD＝BG＝4，
如图③，当BDG′G为菱形时，过点G′作G′M⊥BC于点M，
在Rt△G′DM中，∠G′DM＝45°，DG′＝4，
∴DM＝G′M且DM2＋G'M2＝DG'2，
∴DM＝G′M＝，
∴BM＝，
连接G′B．
在Rt△G′BM中，G′B2＝BM2＋G′M2＝；
②在Rt△AGF与Rt△ABC中，GF＝，BC＝，
当0≤x＜时，其重合部分为梯形，如图②，
过G点作GH垂直BC于点H，则GH＝，
∵BD＝GG′＝x，
∴DC＝，G′F′＝，
∴S＝；
当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③，
∵斜边DC＝，
∴斜边上的高为，
∴S＝．
【点睛】本题考查了平移的性质、等腰直角三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理的应用以及梯形和三角形的面积公式等，在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．
7．在正方形中，动点分别从两点同时出发，以相同的速度在直线上移动；
（1）如图①，当分别移动到边的延长线上时，连接和与的关系为_________；
（2）如图②，已知正方形的边长为点和分别从点同时出发，以相同的速度沿方向向终点和运动，连接和，交于点，请你画出点运动路线的草图，试求出线段的最小值．
（3）如图③，在（2）的条件下，求周长的最大值；
答案：（1）AE＝DF，AE⊥DF；（2）点运动路线见解析；线段CP的最小值为；（3）△APD周长的最大值为．
分析：（1）根据正方形的性质利用SAS证明△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，延长FD交AE于点G，求出∠ADG＋∠DAE＝90°即可；
（2）根据AE⊥DF可知点P在以AD为直径的圆弧上，当O、C、P三点共线时，线段CP最小，求出OC即可得到线段CP的最小值；
（3）如图③，以AD为斜边向外作等腰直角△ADG，过点G作GM⊥AE于M，GN⊥FD交FD的延长线于点N，连接GP，首先证明△AMG≌△DNG，四边形GMPN是正方形，然后求出PA＋PD＝2GM，且GM的最大值＝AG＝，再由三角形周长公式可得答案．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，
延长FD交AE于点G，如图①所示，则∠CDF＋∠ADG＝90°，
∴∠ADG＋∠DAE＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AE⊥DF，
故答案为：AE＝DF，AE⊥DF；
（2）由（1）可知AE⊥DF，
∴在点E、F的运动过程中，∠APD始终是90°，
∴点P在以AD为直径的圆弧上，即劣弧DH，如图所示，
设圆心为O，连接OC，则O、C、P三点共线时，线段CP最小，
∵圆心O为AD中点，正方形的边长为4，
∴OA＝OD＝OP＝2，
∴OC＝，
∴线段CP的最小值为：；
（3）如图③，以AD为斜边向外作等腰直角△ADG，过点G作GM⊥AE于M，GN⊥FD交FD的延长线于点N，连接GP，
∵∠GMP＝∠MPN＝∠N＝90°，
∴四边形GMPN是矩形，
∴∠MGN＝∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝∠DGN，
∵∠AMG＝∠DNG＝90°，AG＝DG，
∴△AMG≌△DNG（AAS），
∴AM＝DN，MG＝NG，
∴矩形GMPN是正方形，
∴PA＋PD＝PM＋AM＋PN－DN＝PM＋PN＝2PM＝2GM，
∵GM≤AG，
∴GM的最大值＝AG＝，
∴PA＋PD的最大值为，
∴△APD周长的最大值为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．在正方形中，点在边上，交于点.
（1）如图1，连接，求证:；
（2）如图2，点在上，交于点N，交于点，求证:；
（3）如图3，点在的延长线上，在直线的右侧作且为线段的中点，当点从点运动到点时，写出点运动的路径长并简要说明理由.
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）；理由见解析．
分析：（1）如图1中，只要证明即可解决问题．
（2）如图2中，连接，作于．利用平行线等分线段定理解决问题即可．
（3）如图3中，连接，，作交于．利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是线段，求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
四边形是正方形，
，，
，
，
．
（2）证明：如图2中，连接，作于．
，，
，
，
，
，，
．
（3）解：如图3中，连接，，作交于．
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
点的运动轨迹是线段，
点从运动到时，，
，
，
当点从点运动到点时，点运动的路径长为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．如图，平面直角坐标系中有三点。
（1）连接，若
①线段的长为 （直接写出结果）
②如图1，点为轴负半轴上一点，点为线段上一点，连接作,且,当点从向运动时，点不变，点随之运动，连接,求线段的中点的运动路径长;
（2）如图2，作,连接并延长，交延长线于于.若,且，在平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.
答案：（1）① ② （2）
分析：（1）①由两点的距离公式可得出答案；
②分别作出点D运动到点A，B时的等腰直角三角形DCE，画出运动路径如图，求出E1，E2的坐标，即可求出E1E2的长，则答案可求出；
（2）连接BH，证明∠HBA＝45°，过点H作HN⊥AB，求出H点坐标，再根据平行四边形的性质可求出M点坐标．
【详解】（1）①∵A（−3，0），C（−4，1），
∴AC＝．
故答案为：．
②分别作出点D运动到点A，B时的等腰直角三角形DCE，画出运动路径如图，
∵C（−4，1），△CAE1为等腰直角三角形，A,D重合，A（-3，0）
∴CD=AC==AE1
∴CE1=
∵CE1∥x轴
∴E1（−2，1），
分别过点C，E2作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
∵∠CBM＝∠BE2N，∠CMB＝∠BNE2，BC＝BE2，
∴△CMB≌△BNE2（AAS），
∴E2N＝BM＝5，CM＝BN＝1，
∴E2（2，5），
∴E1E2＝．
∵Q1Q2为△PE1E2的中位线，
∴线段EP的中点Q的运动路径长Q1Q2＝E1E2＝2．
（2）如图，连接BH，
∵AF⊥AC，GH⊥CF，
又A（−3，0），B（1，0），BF＝BG，
∴BH＝GF＝AB＝4，
又∵∠C＝67.5°，
∴∠AGB＋∠CFB＝112.5°，
∴∠ABG＋∠HBF＝360°−2（∠AGB＋∠CFB）＝135°，
即∠HBA＝45°，
过点H作HN⊥AB，∴△BHN是等腰直角三角形，
∴HN＝BN，
∴BH==HN
∴HN＝BN=BH=2，
∴H（1−2，2），
∵A（−3，0），B（1，0），
如图，四边形ABM1H是平行四边形时，A平移至B的方式是：向右平移4个单位，
∴H点向右平移4个单位得到M1；
四边形ABH M2是平行四边形时，B平移至A的方式是：向左平移4个单位，
∴H点向右平移4个单位得到M2；
四边形AHBM3是平行四边形时，H平移至B的方式是：向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴A点向右平移2个单位，向下平移2个单位M3；
∴使以B，A，H，M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了两点间的距离公式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握坐标与图形的性质．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）．且+|b-l|=0．CD∥AB，AD∥BC
（1）直接写出B、C、D各点的坐标：B 、C 、D ；
（2）如图1，P（3，10），点E，M在四边形ABCD的边上，且E在第二象限．若△PEM是以PE为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并对其中一种情况计算说明；
（3）如图2，F为y轴正半轴上一动点，过F的直线j∥x轴，BH平分∠FBA交直线j于点H．G为BF上的点，且∠HGF=∠FAB，F在运动中FG的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定值．
答案：（1）（1，0），（1，8），（-4，8）；（2）点E坐标（-1，8）或（-4，7）；（3）不发生变化.
分析：（1）根据题意可求a=-4，b=1，可得A，B，C三点坐标，由题意可证四边形ABCD是矩形，可求CD=AB=5，AD=BC=8，即可求点D坐标；
（2）分点E在CD上，点EAD上讨论，通过等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质，可求点E坐标；
（3）点H作HR⊥BF于点R，通过证△HFR≌△FBO和△HRG≌△FOA，可得RF=1，RG=4，即可求FG=3，则点F在运动中FG的长度不发生变化．
【详解】（1）∵+|b-l|=0，
∴b=1，a=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），C（1，8），
∴BC⊥AB，AB=5，BC=8，
∵CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，且BC⊥AB
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=5
∴D（-4，8）
（2）如图，若点E在CD上时，过点E作EN∥y轴，过点M作MN⊥EN于N，过点P作PH⊥EN于点H，
∵∠PEH+∠HPE=90°，∠PEH+∠MEN=90°，
∴∠MEN=∠HPE，且PE=EM，∠PHE=∠MNE=90°，
∴△PHE≌△ENM（AAS）
∴PH=EN，HE=MN=2，
∵CE⊥EN，MN⊥EN，∠DCB=90°，
∴四边形MNEC是矩形，
∴CE=MN=2，且点C（1，8）
∴点E坐标（-1，8）
如图，若点E在AD上，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于H，
∵∠PEH+∠AEM=90°，∠PEH+∠HPE=90°
∴∠HPE=∠AEM，且PE=EM，∠PHE=∠EAM=90°
∴△PHE≌△EAM（AAS）
∴AE=PH=7
∴点E坐标（-4，7）
（3）不发生变化，
如图，过点H作HR⊥BF于点R，
∵BH平分∠ABF，
∴∠FBH=∠ABH，
∵FH∥AB，
∴∠FHB=∠ABH，∠HFR=∠ABF，
∴∠FHB=∠FBH，
∴HF=FB，且∠HFR=∠ABF，∠FOB=∠HRF，
∴△HFR≌△FBO（AAS）
∴RF=OB=1，HR=FO，
∵∠HGF=∠FAB，HR=FO，∠HRG=∠AOF=90°，
∴△HRG≌△FOA（AAS），
∴RG=AO=4，
∴FG=RG-RF=4-1=3，
∴点F在运动中FG的长度不发生变化．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，以及分类思想的运用，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．