2024年四川省乐山市中考数学试卷附答案

这是一份2024年四川省乐山市中考数学试卷附答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜﹣2D．x＞﹣2
2．（3分）下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A．带盖玉柱形器
B．白衣彩陶钵
C．镂空人面覆盆陶器
D．青铜大方鼎
3．（3分）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元（ ）
A．4×108B．4×109C．4×1010D．4×1011
4．（3分）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表（ ）
A．100B．200C．300D．400
6．（3分）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC
7．（3分）已知1＜x＜2，化简+|x﹣2|的结果为（ ）
A．﹣1B．1C．2x﹣3D．3﹣2x
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且+＝3，则p的值为（ ）
A．B．C．﹣6D．6
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2B．0＜t≤4C．2≤t≤4D．t≥2
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）计算：a+2a＝ ．
12．（3分）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，69，58（单位：千米/时） ．
13．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝ .
14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，则a2+b2＝ ．
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若＝，则＝ .
16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①y＝﹣x+3；
②y＝；
③y＝﹣x2+2x﹣1．
（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（9分）计算：|﹣3|+（π﹣2024）0﹣．
18．（9分）解方程组：．
19．（9分）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD
20．（10分）先化简，再求值：﹣，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下：
解：﹣＝﹣…①
＝﹣…②
＝…③
＝…④
＝…⑤
当x＝3时，原式＝1．
（1）小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
21．（10分）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），如图所示．根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为 人，扇形统计图中m的值为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
22．（10分）如图，已知点A（1，m）、B（n，1）（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C（0，1）
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．
23．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，请用含α、β和h的式子表示；如果不能
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点E为上一点，且＝．
（1）求证：DC∥AE；
（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A．
（1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”
26．（13分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： ；“②”处应填： ；“③”处应填： ．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上 （直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，点D、E在边AC上，CE＝y，求y与x的函数关系式．
最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的语言表达现实世界．
1．A．
2．D．
3．C．
4．A．
5．D．
6．D．
7．B．
8．A．
9．C．
10．B．
11．3a．
12．66千米/时．
13．120°．
14．29．
15．．
16．4＜m≤或﹣．
17．解：|﹣3|+（π﹣2024）0﹣
＝3+1﹣4
＝1．
18．解：，
①+②，得3x＝9
解得x＝5．  （4分）
把x＝3代入②，得y＝2．   
∴原方程组的解是．（2分）
19．证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAB，∴在△ABC和△ABD中，，
∴△ABC≌△ABD（SAS），∴∠C＝∠D．
20．解：（1）第③步开始出现了错误，分子应该是2x﹣x﹣2，
故答案为：③．
（2）
＝
＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝．
21．解：（1）本次抽取的游客总人数为72÷30%＝240（人），
∴m%＝84÷240×100%＝35%，
故答案为：240，35；
（2）喜好甜皮鸡的人数为：240﹣48﹣72﹣84＝36（人），
补全条形统计图如下：
（3）把四种美食分别记为A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，D：甜皮鸭，
画树状图如下：
共有12种可能出现的结果，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果有2种，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率为＝．
22．解：（1）∵点A（1，m），1）在反比例函数，∴m＝3，n＝3．
又∵一次函数y＝kx+b过点A（3，C（0，∴，解得，
∴一次函数表达式为y＝8x+1．
（2）如图，连结BC，垂足为点D，垂足为点E．
∵C（0，8），1），∴BC∥x轴，BC＝3．
∵点A（7，3），1），∴点D（2，1），DB＝2．
在Rt△ADB中，AB＝＝，
又∵S△ABC＝，
即，∴，即点C到线段AB的距离为．
23．解：（1）如图，过点A′作A′B⊥OA于点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，OA＝OA′＝x尺，A′B＝10尺，∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺．
在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2，∴102+（x﹣6）2＝x2，
解得x＝14.8．答：秋千绳索的长度为14.5尺；
（2）能．
由题可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°．在Rt△OA′P中，csα＝，
∴OP＝OA′•csα＝OA•csα，
同理，OQ＝OA″•csβ＝OA•csβ，
∵OQ﹣OP＝h，∴OA•csβ﹣OA•csα＝h，∴OA•（csβ﹣csα）＝h，
∴OA＝．
24．（1）证明：∵CD为⊙O的切线，点C在⊙O上，
∴∠OCD＝90°，∴∠DCA+∠OCA＝90°，
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠OAC＝90°．
∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠B＝∠DCA，
∵＝，∴∠B＝∠CAE，∴∠CAE＝∠DCA，∴CD∥AE；
（2）解：连结OE、BE，
∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE，
∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形．∴∠BOE＝60°，∴∠AOE＝180°﹣60°120°，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°．
∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°．
∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA+AD，
∵OA＝OC，∴OC＝AD＝3，∴AO＝OE＝OC＝7，∴EF＝OE＝，
∴△OAE的面积＝AO•FE＝，
∵扇形OAE的面积＝3π，
∴阴影的面积＝扇形OAE的面积﹣△OAE的面积＝3π﹣．
25．解：（1）当a＝1时，抛物线y＝x2﹣7x+2＝（x﹣1）8+1，∴抛物线的顶点坐标（1，5）；
（2）当x＝0时，即抛物线与y轴的交点A坐标为（0，
∵线段OA上的“完美点”的个数大于2个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，
∴当“完美点”个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为（7，（0，（0，（6，
当“完美点”个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为（7，（0，（0，（7，（0，∴3≤7a＜5，
∴a的取值范围是≤a＜；
（3）易知抛物线的顶点坐标为（4，过点P（2，Q（3，R（6．
显然，“完美点”（1，（2，（5．
下面讨论抛物线经过（2，1），2）的两种情况：
①当抛物线经过（2，1）时．此时，1），，5）．
如图所示，满足题意的“完美点”有（1，（2，（4，（3，共4个．
②当抛物线经过（6，2）时．此时，，2），4）．
如图所示，满足题意的“完美点”有（6，（2，（2，（5，（3，（4，共8个．
∴a的取值范围是．
26．【解答】解：【问题解决】：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′．
由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，BD＝CD′．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．
∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．
在△DAE和△D′AE中，，∴△ADE≌△AD'E（SAS）．∴DE＝D′E．
又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，EC2+CD′7＝ED′2，
∵CD′＝BD＝3，CE＝6，∴DE＝D′E＝5．
故答案为：①△ADE≌△AD′E；②EC2+CD′2＝ED′2；③5；
【知识迁移】DN4+BM2＝MN2，理由如下：
如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，过点D作DH⊥BD交边AF′于点H．
由旋转得：AE＝AF′，BE＝DF′．
由题意得：EF+EC+FC＝DC+BC＝DF+FC+EC+BE，∴EF＝DF+BE＝DF+DF′＝F′F．
在△AEF和AF′F中，，∴△AEF≌AF′F（SSS），∴∠EAF＝∠F′AF．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵DH⊥BD，∴∠ADH＝∠HDB﹣∠ADB＝45°，
在△ABM和△ADH中，，
∴△ABM≌△ADH（ASA），∴AM＝AH，BM＝DH，
在△AMN和△AHN中，，∴△AMN≌△AHN（SAS），∴MN＝HN．
在Rt△HND中，DN8+DH2＝HN2，∴DN6+BM2＝MN2；
【拓展应用】如图3所示，延长EF交AB延长线于M点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，连接HM．过点H作HO⊥直线BC与O，
∴△ADF≌△AGH，∴DF＝HG，AD＝AG，
∵∠CEF＝45°＝∠BEM，∠MBC＝90°，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BE＝BM，
由【知识迁移】知△AEH≌△AEF，则AH＝AF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2＝EH5，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2＝EH6
又∵EF＝HE，DF＝GH＝GM，∴（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF3，
即2（DF2+BE8）＝EF2，∴EF2＝3BE2+2DF3．故答案为：EF2＝2BE7+2DF2；
【问题再探】如图，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，连结E′D，垂足为点G，垂足为G′，过点D作DF∥BC交AB于点H、DF交于点F，
由旋转得：BE＝BE′，∠CBE＝∠C′BE′，BG＝BG′．
∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°，∴∠CBE+∠DBA＝45°．∴∠C′BE′+∠DBA＝45°，即∠DBE′＝45°．
在△EBD和△E′BD中，，∴△EBD≌△E′BD（SAS）．∴DE＝DE′，
∵∠ABC＝90°，AB＝2，∴，
又∵AD＝x，CE＝y，∴DE′＝DE＝5﹣x﹣y．
∵DF∥BC，∴∠ADH＝∠C，∠AHD＝∠ABC＝90°，∴△AHD∽△ABC，
∴，即，，∴，
同理可得：，，∴，，
∵E′G′⊥AB，∠ABC＝90°，∴E′G′∥BC∥FD．
又∵E′F∥AB，∠FHG′＝∠AHD＝90°，
∴四边形FE′G′H为矩形．∴∠F＝90°，，，
∴，
在Rt△E′FD中，E′F4+DF2＝E′D2．∴．
解得．交通方式
公交车
自行车
步行
私家车
其它
人数（人）
30
5
15
8
2
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝45°，CE＝4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′．
由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°．
∵∠BAD＝∠CAD′，
∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．
∴∠DAE＝∠D′AE．
在△DAE和△D′AE中，
AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，
∴①_____．
∴DE＝D′E．
又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，
∴在Rt△ECD′中，②_____．
∵CD′＝BD＝3，CE＝4，
∴DE＝D′E＝③_____．