浙江省衢州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.
2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.
3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ）
A. 19B. 20C. 21D. 22
5. 已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（ ）
A. 平面平面B. 平面
C. 平面D. 平面平面
7. 已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的取值范围为
C. 的最大值为4D. 若为的中点，则的取值范围为
10. 一学生在求解以下问题“已知函数的图象关于直线对称，关于中心对称，且，求的值”时，思路如下：令（，），由对称轴和对称中心可求得，再由对称轴求，对称中心求，根据以上信息可得（ ）
A. B. C. D.
11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 周长的最小值为
C. 三棱锥外接球的体积为
D. 平面与平面夹角正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则_________.
13. 已知，且，则的最小值为_________.
14. 已知定义在上函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，则的解集为_________.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
15. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和对称中心；
（2）求函数在上的值域.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1正方形，底面，，是线段的中点.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与底面所成角的正切值.
17. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.
（1）求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？
（3）衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
18. 如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点.
（1）证明：；
（2）若过三点的平面截三棱台所得的截面面积为.当二面角为锐二面角时，求二面角的正弦值.
19. 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
（1）判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；
（2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
（3）设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.