2023-2024学年广西玉林市高二（下）期末数学试卷（含答案）

展开

这是一份2023-2024学年广西玉林市高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知R为实数集，集合A={x|x<1或x>3}，B={x|−1A. {x|−1B. {x|2C. {x|1≤x<2}
D. {x|−12.下列说法正确的是( )
A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高
B. 样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
D. 甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好
3.北京大学一个班级的6名同学准备去参加冬奥会志愿服务活动，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6名同学不同的去法种数有( )
A. 16B. 32C. 48D. 64
4.若函数f(x)满足f(x−4)=f(x)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=3−x+1，则f(2023)=( )
A. 10B. 4C. 2D. 43
5.函数y=ln(3−|x|)的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=13，则D(3X−2)=( )
A. 3B. 53C. 5D. 9
7.f(x)=−x2−ax−7,x≤1ax,x>1在R上是增函数的充分不必要条件是( )
A. [−4,−2]B. [−4,−1]C. [−3,−1]D. [−3,−2]
8.已知ξ∼N(2,52)，且P(ξ≤1)=P(ξ≥a+1)，则1x+4a−x(0A. 53B. 2C. 92D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若ac2≥bc2，则a≥bB. 若aab>b2
C. 若a>b，c>d，则a−d>b−cD. 若a>b，则1a<1b
10.下列说法中正确的是( )
A. 若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,4]
B. 若f(1+ x)=2x+1，则f(x)=2x2−4x+3，x∈[1,+∞)
C. 函数的y=4x+2x+1值域为(1,+∞)
D. f(x)=1x−1在(−∞,1)∪(1,+∞)上单调递减
11.有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是( )
A. 6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240
C. 6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观(每个工厂都有人)，则有90种不同的安排方法
D. 6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种
12.已知函数f(x)=(x−1)lnx，且f(ea)>f(b).则下列结论一定正确的是( )
A. 若a>0，则a−b>0B. 若a>0，则ea−b>0
C. 若a<0，则ea+b>2D. 若a<0，则a−lnb<0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若C342x=C344x−8，则x= ______．
14.设随机变量ξ～B(2,P)，若P(ξ≥1)=59，则p= ______．
15.已知函数f(x)=b+2a−12x−a(a>0)是奇函数，则a+b= ______．
16.已知函数f(x)=alnx−2x，若不等式f(x+1)>ax−2ex在x∈(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在(ax−13x)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大．
(1)求n的值；
(2)若其展开式中的常数项为−220，求其展开式中所有项的系数的和．
18.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2−b≥2x−ax(a,b∈R)．
(1)若不等式的解集为{x|−2≤x≤−1}，求a，b的值；
(2)若a<0，解不等式(ax−2)(x+1)≥0．
19.(本小题12分)
数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1−9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
(1)赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如表的数据：
现用y=a+bx作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？
参考数据：(其中ti=1xi)
参考公式：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β=i=1nuivi−nu−⋅v−i=1nui2−nu−2，α=v−β⋅u.
(2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为23，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+a2在x=−1处有极值0．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)记g(x)=f(x)−k+1，若函数g(x)有三个零点，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，再问苍穹，神州十六号发射成功.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示：
(1)依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？
(2)(Ⅰ)从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名是航天达人的男生”，事件C=“至多有1名是航天达人的女生”.试计算P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)和P(ABC)的值，并比较它们的大小．
(Ⅱ)(Ⅰ)中P(ABC)与P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．
参考公式及数据χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=xex−alnx在x=1处的切线方程为y=(2e+1)x−b(a,b∈R)
(1)求实数a，b的值；
(2)设函数g(x)=f(x)−2ex−x+3，当x∈[12,1]时，g(x)的值域为区间(m,n)(m,n∈Z)的子集，求n−m的最小值．
答案
1.C
2.D
3.B
4.B
5.A
6.C
7.D
8.C
9.BC
10.BC
11.AC
12.BD
13.4或7
14.13
15.32
16.(−∞,2]
17.解：(1)∵只有第7项的二项式系数最大，∴n2=6，则n=12．
(2)根据(1)可知，二项式为(ax−13x)12，
故(ax−13x)12的展开式的通项公式为Tr+1=C12r(ax)12−r(−13x)4=C12r⋅a12−r⋅(−1)rx12−43r，
令12−43r=0，解得r=9，
∴展开式的常数项为−C129⋅a3=−220，
得a3=1，∴a=1，
令x=1可得展开式的所有项的系数和为(a−1)12=(1−1)12=0．
18.解：(1)原不等式化为ax2+(a−2)x−b≥0，
∵不等式的解集为{x|−2≤x≤−1}，∴−2，−1是方程ax2+(a−2)x−b=0的两根，
由根与系数的关系得a<0−a−2a=−3−ba=2，解得a=−1b=2．
(2)当a<0时，原不等式化为(x−2a)(x+1)≤0，
当2a>−1，即a<−2时，解得−1≤x≤2a；
当2a=−1，即a=−2时，解得x=−1；
当2a<−1，即−2综上所述，当−2当a=−2时，不等式的解集为{−1}；
当a<−2时，不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}．
19.解：(1)由题意，y−=17(990+990+450+320+300+240+210)=500，
令t=1x，设y关于t的线性回归方程为y=bt+a，则
b=i=17ti·yi−7t·yi=17ti2−7t2=1845−7×0.37×5000.55=1000，
则a=500−1000×0.37=130.∴y=1000t+130，
又t=1x，∴y关于x的回归方程为y=1000x+130，故x=100时，y=140．
∴经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为140秒；
(2)设比赛再继续进行X局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负．
当X=2时，小明4：1胜，∴P(X=2)=23×23=49；
当X=3时，小明4：2胜，∴P(X=3)=C21×23×(1−23)×23=827；
当X=4时，小明4：3胜，∴P(X=4)=C31×23×(1−23)2×23=427．
∴小明最终赢得比赛的概率为49+827+427=89．
20.解：(1)∵f(x)=x3+3ax2+3bx+a2，
∴f′(x)=3x2+6ax+3b，
又f(x)=x3+3ax2+3bx+a2在x=−1处有极值0，
∴f′(−1)=3−6a+3b=0f(−1)=−1+3a−3b+a2=0，
解得a=1b=1或a=2b=3，
当a=1，b=1时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，
此时函数f(x)在R上单调递增，不满足在x=−1时有极值，故舍去，
故a=2，b=3，
∴f(x)=x3+6x2+9x+4，
∴f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3)，
∴当x<−3时，f′(x)>0；
当−3当x>−1时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(−∞,−3)，(−1,+∞)上单调递增，在(−3,−1)上单调递减．
(2)由(1)可知g(x)=x3+6x2+9x−k+5，
∴g′(x)=f′(x)=3(x+1)(x+3)，
∴由(1)知g(x)在(−∞,−3)和(−1,+∞)上单调递增，在(−3,−1)上单调递减，
∴g(x)的极大值为g(−3)=−k+5，g(x)的极小值为g(−1)=−k+1，
要使函数g(x)有三个零点，则须满足−k+5>0−k+1<0，
解得121.解：(1)零假设H0：假设“航天达人”与性别无关，
根据表中数据，计算得到χ2=200×(80×50−40×30)2120×80×110×90≈16.498>6.635，
所以根据小概率值α=0.010的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为“航天达人”与性别有关联，该推断犯错误的概率不大于0.01；
(2)(Ⅰ)由已知事件ABC表示：“抽取的3人为2男生1女生，男生都是航天达人”和“抽取的3人为3男生，至少两人是航天达人”，
设D=“抽取的3人中为2男生1女生，男生都是航天达人”，
设E=“抽取的3人中为3男生且至少两人是航天达人”，
则P(D)=C82(C31+C51)C203=56285，P(E)=C82C41+C83C203=42285=1495，
所以P(ABC)=P(D)+P(E)=98285，
P(A)⋅P(B|A)P(C|AB)=C122C81+C123C203⋅C82(C41+C31+C51)+C83C122C81+C123⋅C82(C31+C51)+C82C41+C83C82(C41+C31+C51)+C83=98285，
所以P(ABC)=P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得P(ABC)与P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)相等的关系可以推广到更一般的情形，
证明过程如下：
P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)=P(A)⋅P(AB)P(A)⋅P(ABC)P(AB)=P(ABC)，得证．
22.解：(1)定义域为(0,+∞)，f′(x)=(x+1)ex−ax．
由题意知f′(1)=2e−a=2e+1f(1)=2e+1−b=e，解得a=−1，b=e+1．
(2)g(x)=f(x)−2ex−x+3=(x−2)ex+lnx−x+3，
则g′(x)=(x−1)ex+1x−1=(x−1)(ex−1x)．
令ℎ(x)=ex−1x，其中x∈[12,1]，则ℎ′(x)=ex+1x2>0，
所以函数ℎ(x)=ex−1x在x∈[12,1]上单调递增，
因为ℎ(12)= e−2<0，ℎ(1)=e−1>0，所以存在唯一x0∈(12,1)，
使得ℎ(x0)=ex0−1x0=0，即ex0=1x0，可得x0=−lnx0，
当120，此时函数g(x)单调递增，
当x0所以当x∈[12,1]时，g(x)max=g(x0)=(x0−2)ex0+lnx0−x0+3
因为ex0=1x0，x0=−lnx0，所以g(x)max=4−2(x0+1x0)<4−4 x0⋅1x0=0，
即g(x)<0，因为g(1)=2−e>−1，g(12)=52−ln2−32 e>52−ln2−32×53=−ln2>−1，
所以当x∈[12,1]时，−1即n≥0，m≤−1(m,n∈Z)，
所以n−m≥1，即n−m的最小值为1．
X
−1
0
1
P
16
a
b
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
990
990
450
320
300
240
210
i=17tiyi
t−
i=17ti2−7×t−2
1845
0.37
0.55
航天达人
非航天达人
合计
男
80
40
120
女
30
50
80
合计
110
90
200
α
0.10
0.05
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828

2023-2024学年广西玉林市高二（下）期末数学试卷（含答案）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网