2023-2024学年北京市第一零九中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市第一零九中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.A63+C108=( )
A. 65B. 160C. 165D. 210
2.已知函数fx=2x+1x，设f′x是函数fx的导函数，则f′1的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.在二项式2−x6的展开式中，x4的系数为( )
A. −60B. 60C. −30D. 30
4.已知PB|A=12，PA=35，PAB等于
A. 56B. 910C. 310D. 110
5.将ABCDEF六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A,B分配到同一所学校，则不同的分配方法共有( )
A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种
6.设f′x是函数fx的导函数，y=f′x的图象如图所示，则y=fx的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以A1，A2表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则PA2B=( )
A. 823B. 623C. 1740D. 58
8.已知函数f(x)=3x−2x−1，则不等式f(x)<0的解集是( )
A. 0,1B. 0,+∞
C. −∞,0D. −∞,0∪1,+∞
9.某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类､2个歌唱类､1个小品类､1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有( )
A. 336种B. 360种C. 408种D. 480种
10.已知定义域为R的函数fx，其导函数为f′x，且满足f′x−2fx<0，f0=1，则( )
A. e2f−1<1B. f1>e2C. f12>eD. f1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.x+3x38的展开式中的常数项为 ．
12.已知(2x−3)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，则a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a7= ．
13.从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为 ．
14.将五个学生代表名额分配到四个班级，每班至少有一人，则有 种不同的分配方案．(用数字作答)
15.设某学校有甲、乙两个校区和A,B两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为0.7和0.3；在某次调查中发现住在甲校区的学生在A食堂吃饭的概率为0.7，而住在乙校区的学生在A食堂吃饭的概率为0.5，则任意调查一位同学是在A食堂吃饭的概率为 .如果该同学在A食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为 .(结果用分数表示)
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．
(1)求PX=1的值；
(2)求随机变量X的分布列和数学期望．
17.(本小题12分)
已知函数fx=x+1ex．
(1)求函数fx的图象在点0,1处的切线方程；
(2)求函数fx的单调区间．
18.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面A1ACC1为正方形，AB⊥AC，AB=AC=2，D为BC的中点．
(1)求证：A1C//平面AB1D；
(2)若A1C⊥AB，求二面角D−AB1−A1的余弦值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=x+alnx−x+1．
(1)若曲线y=fx在点e,fe处的切线斜率为1，求实数a的值；
(2)当a=0时，求证：fx≥0；
(3)若函数fx在区间1,+∞上存在极值点，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A−2,0，离心率为12．
(1)求椭圆G的方程；
(2)设O为原点．直线l与椭圆G交于C,D两点(C,D不是椭圆的顶点)，l与直线x=2交于点E，直线AC,AD分别与直线OE交于点M,N.求证：OM=ON．
21.(本小题12分)
已知函数fx=e2x−ax−1a∈R．
(1)求fx的单调区间；
(2)若fx>0对x∈0,+∞恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若fx在区间0,+∞上存在唯一零点x0，则x0答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.B
6.C
7.A
8.A
9.C
10.D
11.252
12.−1
13.48
14.4
15.1625；4964．
16.(1)根据题意可知，
“X=1”指事件“取出的2个球中，恰有1个白球”，
所以P(X=1)=C31C51C82=1528．
(2)根据题意可知，X的可能取值为：0,1,2．
P(X=0)=C30C52C82=514；P(X=1)=C31C51C82=1528；P(X=2)=C32C82=328．
所以随机变量X的分布列为：
则X的数学期望E(X)=0×514+1×1528+2×328=2128=34．
17.【详解】(1)解：由函数fx=x+1ex，可得f′x=x+2ex，可得k=f′(0)=2，
因为切点为0,1，所以切线方程为y−1=2(x−0)，即2x−y+1=0．
(2)解：由函数fx=x+1ex，其定义域为R，且f′x=x+2ex，
当x<−2时，f′x<0，则fx在(−∞,−2)上单调递减；
当x>−2时，f′x>0，则fx在(−2,+∞)上单调递增；
所以函数fx的单调递减区间为(−∞,−2)，单调递增区间为(−2,+∞)．
18.【详解】(1)
如图，连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．
因为在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1ABB1是平行四边形，所以E为A1B的中点．
因为D为BC的中点，所以DE//A1C．
又因为A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，
所以A1C//平面AB1D．
(2)因为AB⊥A1C，AB⊥AC，
又A1C∩AC=C，A1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，
所以AB⊥平面A1ACC1，又因AA1⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AA1．
又AA1⊥AC，所以AB，AC，AA1两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A−xyz，
则A0,0,0，B12,0,2，D1,1,0，C0,2,0．
所以AB1=2,0,2，AD=1,1,0．
设平面AB1D的法间量为m=x,y,z，则m⋅AB1=0m⋅AD=0即2x+2z=0x+y=0,
令x=−1，则y=1，z=1于是m=−1,1,1．
因为AC⊥平面A1ABB1，所以AC=0,2,0是平面A1ABB1的一个法向量．
所以csm,AC=m⋅ACmAC= 33．
由题设，二面角D−AB1−A1的平面角为钝角，
所以二面角D−AB1−A1的余弦值为− 33．
19.【详解】解：(1)因为fx=x+alnx−x+1，
所以f′x=lnx+ax．
由题知f′e=lne+ae=1，
解得a=0．
(2)当a=0时，fx=xlnx−x+1，
所以f′x=lnx．
当x∈0,1时，f′x<0，fx在区间0,1上单调递减；
当x∈1,+∞时，f′x>0，fx在区间1,+∞上单调递增；
所以f1=0是fx在区间0,+∞上的最小值．
所以fx≥0．
(3)由(1)知，f′x=lnx+ax=xlnx+ax．
若a≥0，则当x∈1,+∞时，f′x>0，fx在区间1,+∞上单调递增，
此时无极值．
若a<0，令gx=f′x，
则g′x=1x−ax2．
因为当x∈1,+∞时，g′x>0，所以gx在1,+∞上单调递增．
因为g1=a<0，
而ge−a=−a+aea=aea−1>0，
所以存在x0∈1,e−a，使得gx0=0．
f′x和fx的情况如下：
因此，当x=x0时，fx有极小值fx0．
综上，a的取值范围是(−∞,0)．
20.【详解】(1)由题意可得a=2ca=12a2−b2=c2，解得a=2b= 3c=1,
所以椭圆G的方程为x24+y23=1；
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m．
则E2,2k+m，直线OE的方程为y=k+m2x，
由y=kx+m3x2+4y2=12，得4k2+3x2+8kmx+4m2−12=0，
由Δ=484k2−m2+3>0，得m2<4k2+3，
设Cx1,y1,Dx2,y2，则x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3，
直线AC的方程为y=y1x1+2x+2，
联立直线AC和OE得y1x1+2x+2=k+m2x，
解得xM=2y1k+m2x1+2−y1=4y1mx1+4k=4kx1+mmx1+4k，
同理可得xN=4kx2+mmx2+4k，
所以xM+xN=4×kx1+mmx2+4k+kx2+mmx1+4kmx1+4kmx2+4k，
因为kx1+mmx2+4k+kx2+mmx1+4k
=2kmx1x2+4k2+m2x1+x2+8km
=2km4m2−124k2+3−8km4k2+m24k2+3+8km4k2+34k2+3=0，
所以xM+xN=0，即点M和点N关于原点O对称，
所以OM=ON．
．
21.解：(1)因为f(x)=e2x−ax−1(x∈R)，所以f′(x)=2e2x−a．
①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增．
②若a>0，令f′(x)=0，得x=12lna2．
当x∈(−∞,12lna2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(−∞,12lna2)上单调递减;
当x∈(12lna2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(12lna2,+∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞);
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,12lna2)，单调递增区间为(12lna2,+∞).
(2) ①若a≤2，当x>0时，2e2x>2，f′(x)=2e2x−a>0，则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增．
所以f(x)>f(0)=0.所以a≤2符合题意．
②若a>2，则12lna2>0．
由(1)可知f(x)在区间(0,12lna2)上单调递减，
所以当x∈(0,12lna2)时，f(x)(3)若f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0，
则a>2，x0>0且e2x0−ax0−1=0,即a=e2x0−1x0．
欲证：x0只需证：e2x0>(x0+1)2，
即证：ex0>x0+1．
由(2)知，e2x−2x−1>0在区间(0,+∞)上恒成立，
所以ex−x−1>0在区间(0,+∞)上恒成立．
所以ex0>x0+1．
所以x00
1
2
P
514
1528
328
x
1,x0
x0
x0,e−a
f′x
−
0
+
fx
↘
极小值
↗