人教版八年级数学下册同步精讲精练专题特殊平行四边形的性质和判定(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题特殊平行四边形的性质和判定(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，特殊平行四边形的综合运用等内容，欢迎下载使用。


题型一 矩形的性质和判定
【例题1】如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．
（1）求证：OE＝OD；
（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．
【变式1-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
【变式1-2】（2021•陆良县一模）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
【变式1-3】已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
【变式1-4】（2021•头屯河区校级二模）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
【变式1-5】（2022春•康县期末）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．
【变式1-6】（2022•庐阳区校级模拟）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．
【变式1-7】如图，△ABD、△BCE、△ACF均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明）
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
【变式1-8】（2022•肇源县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．点O是EF中点，连接BO并延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG．
（1）试判断四边形EBFG的形状，说明理由；
（2）求证：BD⊥BG；
（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长．
题型二 菱形的性质和判定
【例题2】（2022秋•开福区校级月考）如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝2，∠FAC＝30°，求AC的长．
【变式2-1】（2021春•岱岳区期中）如图：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，且BE＝DF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积．
【变式2-2】（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝45，求BD和AE的长．
【变式2-3】（2022秋•南海区期末）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形．
（2）若DC＝2，BD=10，求四边形AEBD的面积．
【变式2-4】（2022秋•抚州期末）如图，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，分别延长OE、OF至点B、点D，且BE＝DF，连接AB，AD，CB，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BD＝8，AC＝4，BE＝3，求AEAB．
【变式2-5】（2022秋•坪山区校级月考）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：▱ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长．
【变式2-6】（2022•新市区校级一模）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF=23，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
【变式2-7】（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，BD＝2，求OE的长．
【变式2-8】（2022秋•红花岗区期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，点O为线段AC的中点，连接BO并延长交AE于点D，连接CD，
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接BE，若AB＝2，∠BAD＝60°，点D为线段AE的中点，求线段BE的长．
题型三 正方形的性质和判定
【例题3】（2022春•姜堰区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F．
（1）求证：四边形DECF为正方形；
（2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积．
【变式3-1】（2022春•富县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝32，求四边形AFDE的面积．
【变式3-2】（2022春•青云谱区校级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G．
（1）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由．
（2）在（1）条件下，若AB＝62，求EF的长．
【变式3-3】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若AF=32，BE＝1，求四边形ABCD的面积．
【变式3-4】（2022春•覃塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长．
【变式3-5】（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
【变式3-6】（2022春•东台市期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ （直接写结果）．
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝2，求DF的长．
【变式3-7】（2021秋•威宁县校级期末）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝22，CE＝2，求CG的长；
（3）当∠ADE＝40°时，求∠EFC的度数．
【变式3-8】如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
题型四 特殊平行四边形的综合运用
【例题4】（2022春•荆门期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在AB上，EF⊥AB于F，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形．
【变式4-1】（2021•新市区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【变式4-2】（2021•开福区校级二模）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
【变式4-3】（2022春•张家港市校级月考）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
【变式4-4】（2022•南京二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）若AB＝5，E为AC的中点，当BC的长为 时，四边形BCDE为正方形．
【变式4-5】（2022春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
【变式4-6】（2021春•永吉县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AB，AC的中点，连接并延长DE到F，使EF＝DE，连接AF，CF，CD．
（1）四边形ADCF是什么特殊的四边形？说明理由；
（2）若AB＝4，当BC＝ 时，四边形ADCF是正方形；
（3）若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．
【变式4-7】已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝22，求BD的长．
【变式4-8】（2022春•临汾期末）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 特殊平行四边形性质与判定
题型一 矩形的性质和判定
【例题1】如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．
（1）求证：OE＝OD；
（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．
【分析】（1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB＝OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE＝OD；
（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB中，O点为斜边AB的中点．
【解答】解：（1）∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC；
∵ED∥BC，
∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，
∴△OBD为等腰三角形，
∴OB＝OD，
∵∠ABE+∠ABD＝∠BED+∠BDE＝90°，
∴∠ABE＝∠BED，
∴OE＝OB，
∴OE＝OD．
（2）∵四边形BDAE为矩形，
∴∠AEB为直角，
△AEB为直角三角形；
∵四边形BDAE为矩形，
∴OA＝OB＝OE＝OD，
∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，
∴O为斜边AB的中点，
答：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．
【点评】考查了矩形的判定和等腰三角形的判定与性质，用等腰三角形腰长相等和直角三角形斜边中线是斜边的一半可解本题，熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质就可解题．
【变式1-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC＝∠ACB，则易证△ADC≌△ECD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据平行四边形性质推出AE＝BD＝CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC＝DE推出即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
又∵▱ABDE中，AB＝DE，AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC＝∠ACB，AC＝DE，
在△ADC和△ECD中，
AC=DE∠EDC=∠ACBDC=CD，
∴△ADC≌△ECD（SAS）．
（2）答：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，
解：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∵D为边长中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形，
即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定的应用，证明两线段相等常用的方法就是转化为证两三角形全等．
【变式1-2】（2021•陆良县一模）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论
（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求CD的长度．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE=32，DE=3AE=332
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE=332
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB=12∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴AB=3BF=92
∴CD=92
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式1-3】已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
【分析】（1）由于CE平分∠BCD，那么∠DCE＝∠BCE，而EF∥BC，于是∠OEC＝∠BCE，等量代换∠OEC＝∠DCE，那么OE＝OC，同理OC＝OF，等量代换有OE＝OF；
（2）由于O是CD中点，故OD＝OC，而OE＝OF，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分线，∠BCD+∠DCG＝180°那么易得∠ECF＝90°，从而可证四边形DECF是矩形．
【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD＝OC，
又OE＝OF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE=12∠BCD，∠DCF=12∠DCG，
∴∠DCE+∠DCF=12(∠BCD+12∠DCG)=90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
【点评】本题利用了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边、等量代换、平行四边形的判定、矩形的判定．
【变式1-4】（2021•头屯河区校级二模）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【解答】（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，
∴AF＝DE＝8．
∵AB＝6，BF＝10，
∴AB2+AF2＝62+82＝100＝BF2．
∴∠BAF＝90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=12AB•AF=12BF•AE．
∴AE=AB⋅AFBF=6×810=245．
【点评】本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．
【变式1-5】（2022春•康县期末）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB＝90°，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG=12AB＝3，AG＝33=CE，BF=12BC＝2，CF＝23，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．
【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，
∴∠GAB=12∠BAD，∠GBA=12∠ABC，
∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠GAB+∠GBA=12（∠DAB+∠ABC）＝90°，
即∠AGB＝90°，
同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）依题意得，∠BAG=12∠BAD＝30°，
∵AB＝6，
∴BG=12AB＝3，AG＝33=CE，
∵BC＝4，∠BCF=12∠BCD＝30°，
∴BF=12BC＝2，CF＝23，
∴EF＝33−23=3，GF＝3﹣2＝1，
∴矩形EFGH的面积＝EF×GF=3．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【变式1-6】（2022•庐阳区校级模拟）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．
【分析】（1）根据等角对等边得出OB＝OC，根据平行四边形性质求出OC＝OA=12AC，OB＝OD=12BD，推出AC＝BD，根据矩形的判定推出即可．
（2）根据矩形的性质和∠CBE＝3∠ABE，得出∠ABE＝22.5°，在EB上取一点H，使得EH＝AE，易证AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH=2x，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA=12AC，OB＝OD=12BD，
∴AC＝BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠CBE＝3∠ABE，
∴∠ABE=14×90°＝22.5°，
在EB上取一点H，使得EH＝AE，易证AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH=2x，
∵BE＝2，
∴x+2x＝2，
∴x＝22−2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，等角对等边，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
【变式1-7】如图，△ABD、△BCE、△ACF均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明）
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
【分析】（1）四边形ADEF是平行四边形，可先证明△ABC≌△DBE，可得DE＝AC，又有AC＝AF，可得DE＝AF，同理可得AD＝EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；
（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF＝90°，又有∠BAD＝∠FAC＝60°，可得∠BAC＝150°，故∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形，
理由如下：
∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠ABE，AB＝BD，BC＝BE．
在△ABC与△DBE中，
AB=BD∠DBE=∠ABCBC=BE，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE＝AC．
又∵AC＝AF，
∴DE＝AF．
同理可得EF＝AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF＝90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD＝90°．
∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．
则当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）当△ABC满足角A＝60°时，四边形ADEF不存在．
【点评】此题主要考查了用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．
【变式1-8】（2022•肇源县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．点O是EF中点，连接BO并延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG．
（1）试判断四边形EBFG的形状，说明理由；
（2）求证：BD⊥BG；
（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长．
【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形EBFG是平行四边形，根据矩形的判定定理证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据直角三角形的性质得到BD＝CD，得到∠DBC＝∠C，根据等腰三角形的性质、对顶角相等证明；
（3）连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据勾股定理求出AE，得到BC的长，证明△ABC≌△EBF，根据全等三角形的性质求出BF，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）解：四边形EBFG是矩形，
理由如下：∵OE＝OF，OB＝OG，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC＝90°，
∴平行四边形EBFG是矩形；
（2）证明：∵DF是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
在Rt△ABC中，AD＝DC，
∴BD=12AC＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CED+∠C＝90°，
∵四边形EBFG是矩形，
∴OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠CED＝∠OEB，
∴∠DBE+∠OBE＝90°，即∠DBG＝90°，
∴BD⊥BG；
（3）解：连接AE，
∵DF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=2，
∴BC＝BE+EC＝1+2，
∵∠CDE＝∠FBE＝90°，∠CED＝∠FEB，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC和△EBF中，
∠C=∠BFE∠ABC=∠EBF=90°AB=BE，
∴△ABC≌△EBF（AAS）
∴BF＝BC＝1+2，
在Rt△EBF中，EF=BE2+BF2=4+22．
【点评】本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
题型二 菱形的性质和判定
【例题2】（2022秋•开福区校级月考）如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝2，∠FAC＝30°，求AC的长．
【分析】（1）证△AFD≌△CED（AAS），得AF＝EC，则四边形AECF是平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AF∥BC，可得∠ACB＝∠FAC＝30°，根据含30度角的直角三角形即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
在△AFD和△CED中，
∠FAD=∠ECD∠AFD=∠CEDAD=CD，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，
∴AF∥BC，
∴∠ACB＝∠FAC＝30°，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝2，
∴AC=3AB＝23．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【变式2-1】（2021春•岱岳区期中）如图：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，且BE＝DF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
∠AEB=∠AFD=90°BE=DF∠B=∠D，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，
AO＝OC=12AC=12×6＝3，
∵AB＝5，AO＝3，
∴BO=AB2−AO2=52−32=4，
∴BD＝2BO＝8，
∴S平行四边形ABCD=12×AC×BD＝24．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式2-2】（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝45，求BD和AE的长．
【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD＝8，设DE＝x，则DF＝x，所以AF2＝AD2+DF2＝16+x2，BF＝BD+DF＝8+x，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∵DE＝DF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝45，
∴BD=AB2−AD2=80−16=8，
设DE＝x，则DF＝x，
∴AF2＝AD2+DF2＝16+x2，
∵BF＝BD+DF＝8+x，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴（45）2+16+x2＝（8+x）2，
∴x＝2，
∴DE＝DF＝2，
∴AE=AD2+DE2=42+22=25．
∴BD和AE的长分别为8和25．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
【变式2-3】（2022秋•南海区期末）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形．
（2）若DC＝2，BD=10，求四边形AEBD的面积．
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD＝BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD＝AD可得结论；
（2）利用勾股定理求出EF的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝EB，
∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AE＝BD=10，AB⊥DE，AF＝FB＝1，EF＝DF，
∴EF=AE2−AF2=3，
∴DE＝9，
∴S菱形AEBD=12•AB•DE=12×2×6＝6．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式2-4】（2022秋•抚州期末）如图，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，分别延长OE、OF至点B、点D，且BE＝DF，连接AB，AD，CB，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BD＝8，AC＝4，BE＝3，求AEAB．
【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可解决问题；
（2）根据菱形的性质和勾股定理可得AB=OA2+OB2=25，AE=OA2+OE2=5，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴BO＝DO，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=12BD=12×8＝4，OA=12AC=12×4＝2，
∵AC⊥BD，
∴AB=OA2+OB2=25，
∵BE＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝4﹣3＝1，
∴AE=OA2+OE2=5，
∴AEAB=525=12．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
【变式2-5】（2022秋•坪山区校级月考）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：▱ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠2＝∠ACB，证出∠1＝∠ACB，得AB＝CB，即可得出▱ABCD是菱形．
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，再证∠CBE＝∠CEB，得CE＝BC＝5，则AC＝AE+CE＝8，然后由勾股定理求出BO＝3，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴▱ABCD是菱形．
（2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO=12AC＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=AB2−AO2=52−42=3，
∴BD＝2BO＝6，
即BD的长为6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【变式2-6】（2022•新市区校级一模）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF=23，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
【分析】（1）由题意可得△AFD≌△CED（AAS），则AF＝EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF＝CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG＝60°，AE＝23，则BG＝AG＝3，AB=2BG＝32．
【解答】（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）知四边形AECF是菱形，
又CF＝23，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝23，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE=12AE=3，AG=3GE＝3，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG＝3，
∴AB=2BG＝32．
【点评】本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键．
【变式2-7】（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB=12BD＝1，
在Rt△AOB中，AB=5，OB＝1，
∴OA=AB2−OB2=2，
∴OE＝OA＝2．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．
【变式2-8】（2022秋•红花岗区期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，点O为线段AC的中点，连接BO并延长交AE于点D，连接CD，
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接BE，若AB＝2，∠BAD＝60°，点D为线段AE的中点，求线段BE的长．
【分析】（1）证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD，证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴△BAC是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴AC⊥BD，
∵△BAC是等腰三角形，
∴AB＝CB，
∵∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，
∴△ABD也是等腰三角形，
∴AB＝AD，
∴DA＝CB，
∵BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD，
∵点D为线段AE的中点，
∴BD＝AD＝DE，
∴∠ABE＝90°，
∴BE=AE2−AB2=42−22=23．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
题型三 正方形的性质和判定
【例题3】（2022春•姜堰区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F．
（1）求证：四边形DECF为正方形；
（2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积．
【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DFEC是矩形，再根据角平分线的性质可得ED＝DF，进而根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得结论；
（2）由面积法可求DF的长，即可求解．
【解答】（1）证明：过D作DN⊥AB，连接CD，
∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形DECF是矩形，
∵∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，
∴DF＝DN，DE＝DN，
∴FD＝ED，
∴四边形DECF是正方形；
（2）解：∵BC＝8，AC＝6，
∴AB=AC2+BC2=64+36=10，
∵S△ABC=12×BC•DE+12×AC•DF+12×AB•DN，
∴12×6×8=12×（6+8+10）×DF，
∴DF＝2，
∴正方形DECF的面积＝DF2＝4．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式3-1】（2022春•富县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝32，求四边形AFDE的面积．
【分析】（1）根据题目条件可得四边形AFDE为平行四边形，进而可通过角平分线证明其邻边相等，再加上一个90°角，即可说明是正方形，
（2）根据正方形的性质先求出边长，即可得面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD．
∴∠EDA＝∠EAD．
∴AE＝DE．
∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形．
（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝32，
∴AF＝DF＝DE＝AE=322=162．
∴四边形AFDE的面积为162×162=512．
【点评】本题考查正方形的判定及性质，熟练掌握正方形的几种判定方法及性质是解题的关键．
【变式3-2】（2022春•青云谱区校级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G．
（1）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由．
（2）在（1）条件下，若AB＝62，求EF的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD＝CD＝BD，AD⊥BC，然后由正方形的判定可得结论；
（2）由（1）得，∠ADB＝90°，然后由正方形的性质可得∠FAD＝90°，AF∥CD，再通过全等三角形的判定与性质可得AE的长，最后根据勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）当△ABC满足AC＝AB时，四边形ADCF为正方形，理由如下：
∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD是BC边上的中线，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，
∵四边形ADCF是平行四边形，且AD＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCF为正方形；
（2）由（1）得，∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，AB＝62，
∴AD＝BD＝AF＝6，
∵四边形ADCF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AF∥CD，
在△FAE和△BDE中，
∠AEF=∠DEB∠FAE=∠BDE=90°AF=BD，
∴△FAE≌△BDE（AAS），
∴AE＝DE=12AD=12×6=3，EF＝BE，
∴EF＝BE=AF2+AE2=35．
【点评】此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【变式3-3】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若AF=32，BE＝1，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质先得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，再根据AE＝AF得出∠AFE＝∠AEF，再根据已知证得∠AFD＝∠AEB，得出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质得出AB＝AD，问题得证；
（2）先求得AE，再根据勾股定理求出AD，即可求出正方形的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
（2）解：∵由（1）可知：AE=AF=32，
又BE＝1，∠B＝90°，
∴由勾股定理得，AD=AF2−DF2=(32)2−12=17，
∵四边形ABCD是正方形，
∴S正方形ABCD=(17)2=17．
【点评】本题考查了正方形的性质与判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法和性质，正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
【变式3-4】（2022春•覃塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长．
【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质可得EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF，再根据菱形的判定与性质可得，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE，最后由正方形的可得结论；（2）由正方形的性质及周长公式可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH，
∴BE＝CF＝DG＝AH，
在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中，
AE=BF=CG=DH∠A=∠B=∠C=∠DAH=BE=CF=DG，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF，
∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4，
∴EH=AH2+AE2=32+42=5，
∵四边形EFGH是正方形，
∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20．
【点评】此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【变式3-5】（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法证明△ADH≌△ABK可证明结论；
（2）由全的性质可得∠HAK＝90°，同理可证得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，再利用正方形的判定方法得出答案；
（3）结合正方形的性质利用勾股定理可求解AB＝KE＝3，BE＝4，再利用勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
AD=AB∠ADH=∠ABKDH=BK，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）证明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF=10，
∵EF＝CE＝1，
∴KE=KF2−EF2=10−1=3，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE=AB2+BE2=32+42=5，
故点A，E之间的距离为5．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，勾股定理以及全等三角形的判定等知识，得出：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH是解题关键．
【变式3-6】（2022春•东台市期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ （直接写结果）．
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝2，求DF的长．
【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE=12∠DFE，∠AEF=12∠BEF，求得∠AEF+∠AFE=12（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝4，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE=12∠DFE，∠AEF=12∠BEF，
∴∠AEF+∠AFE=12（∠DFE+∠BEF）=12×270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝2，
∴BC＝4，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
AB=AGAE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝2，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x=43，
∴DF的长为43．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
【变式3-7】（2021秋•威宁县校级期末）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝22，CE＝2，求CG的长；
（3）当∠ADE＝40°时，求∠EFC的度数．
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）根据角之间的关系解答即可．
【解答】（1）证明：过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°．
∵EP⊥CD，EQ⊥BC，
∴∠QEC＝∠PEC＝45°，EQ＝EP．
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED．
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
∠QEF=∠PEDEQ=EP∠EQF=∠EPD，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形．
（2）解：如图2，
在Rt△ABC中，AC=2AB=4，
∵CE＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴CG＝2．
（3）解：当∠ADE＝40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°．
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式3-8】（2020•西湖区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC=2AD＝42．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF=22+42=25，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥DF，
∴DH＝HF，
∴EH=12DF=5，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM=253，
∴HM＝HF﹣FM=53，
在Rt△EHM中，EM=HM2+EH2=523．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
题型四 特殊平行四边形的综合运用
【例题4】（2022春•荆门期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在AB上，EF⊥AB于F，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形．
【分析】根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE=12AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定质，菱形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式4-1】（2021•新市区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝45，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE=AB2−BE2=102−62=8，
在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=82+42=45，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE=12AC=25．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
【变式4-2】（2021•开福区校级二模）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．
（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．
（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．
【解答】解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME，NE是△PDC的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四边形PMEN是平行四边形；
（2）当AP＝5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
AP=BP∠A=∠BAD=BC，
∴△PAD≌△PBC，
∴PD＝PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE＝PM=12PD，ME＝PN=12PC，
∴PM＝ME＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°
设PA＝x，PB＝10﹣x，
DP=16+x2，CP=16+(10−x)2．
DP2+CP2＝DC2
16+x2+16+（10﹣x）2＝102
x2﹣10x+16＝0
x＝2或x＝8．
故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．
【变式4-3】（2022春•张家港市校级月考）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝4，再由勾股定理得OD＝23，然后由矩形的在得CE＝OD＝23，∠OCE＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=CD2−OC2=42−22=23，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝23，∠OCE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=42+(23)2=27，
即AE的长为27．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【变式4-4】（2022•南京二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）若AB＝5，E为AC的中点，当BC的长为 时，四边形BCDE为正方形．
【分析】（1）先判断AC为BD的垂直平分线得到AC⊥BD，OB＝OD，再证明△EOB≌△COD得到EO＝CO，于是可判断四边形BCDE为平行四边形，然后利用CB＝CD可判断四边形BCDE是菱形；
（2）设OB＝x，根据正方形的判定当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，此时BC=2x，由于AE＝CE＝2x，则在Rt△AOB中利用勾股定理得到x2+（3x）2＝52，解方程x=102，从而得到此时BC的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC为BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，OB＝OD，
∵BE∥CD，
∴∠EBO＝∠CDO，
在△EOB和△COD中，
∠EBO=∠CDO∠BOE=∠DOCOB=OD
∴△EOB≌△COD（ASA），
∴EO＝CO，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵CB＝CD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）解：设OB＝x，
∵四边形BCDE是菱形，
∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，
此时BC=2x，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE＝2x，
在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2，
∴x2+（3x）2＝52，
解得x1=102，x2=−102（舍去），
∴BC=2×102=5，
即当BC的长为5时，四边形BCDE为正方形．
【点评】本题考查了正方形：熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．
【变式4-5】（2022春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，先证AECF是菱形，然后根据∠AED＝45°，可证∠AEC＝90°，从而证得四边形AECF是正方形；
（2）由（1）可得AC＝EF，所以可以求出菱形ABCD的对角线长度，然后利用菱形的面积等于对角线的乘积的一半即可求解．
【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×10×4＝20．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质和判定，关键是掌握菱形的基本性质．
【变式4-6】（2021春•永吉县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AB，AC的中点，连接并延长DE到F，使EF＝DE，连接AF，CF，CD．
（1）四边形ADCF是什么特殊的四边形？说明理由；
（2）若AB＝4，当BC＝ 时，四边形ADCF是正方形；
（3）若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．
【分析】（1）先根据平行四边形的判定得四边形ADCF是平行四边形，再证明邻边相等即可；
（2）当BC＝DF＝AC时，四边形ADCF是正方形，利用勾股定理可得答案；
（3）利用勾股定理及四边形周长公式计算可得答案．
【解答】（1）四边形ADCF是菱形，说明理由是：
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
又∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵点D为AB的中点，
∴AD=12AB．
又∵∠ACB＝90°，
∴CD=12AB．
∴CD＝AD．
∴四边形ADCF是菱形；
（2）当BC＝DF＝AC时，四边形ADCF是正方形，如图，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AB2＝AC2+BC2，即，42＝2AC2，
∴AC＝22（舍去负值），
∴当BC＝AC＝DF=22时，四边形ADCF是正方形，
故答案为：22；
（3）在Rt△ABC中，AB=BC2+AC2=82+62=10．
∵AD=12AB=5．
∴AF＝CF＝AD＝5．
∴四边形ABCF的周长AB+BC+CF+AF10+8+5+5＝28．
【点评】此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【变式4-7】已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝22，求BD的长．
【分析】（1）先证明四边形FECD为平行四边形，再证出CD＝CE，得出四边形FECD为菱形，由∠C＝90°，即可得出四边形FECD为正方形；
（2）先由三角函数求出正方形FECD的边长CD＝CE，得出BC，进而得出BD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FEDC为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴四边形FEDC是菱形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FEDC是正方形；
（2）∵四边形FEDC是正方形，
∴∠CDE＝45°，
∵ED=22，
∴CE＝CD＝ED•sin45°＝22×22=2，
∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，
∴BD=13．
【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形和菱形的判定、解直角三角形；熟练掌握矩形和正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
【变式4-8】（2022春•临汾期末）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质得出OD＝OC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质得出∠DOC＝90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
（3）根据正方形的性质得出OD＝OC，∠DOC＝90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；
【解答】解：（1）四边形CODP的形状是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∴OC＝OD，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC＝OD，
∴平行四边形CODP是菱形；
（2）四边形CODP的形状是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形CODP是矩形；
（3）四边形CODP的形状是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，OD＝OC
∴平行四边形CODP是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的性质和判定，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．