浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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命题：临平中学 朱华峰、林威 审校：临安中学 陈伟军、盛可淳
审核：淳安中学 余建平
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定阴影部分表示的集合为，再根据补集与交集定义求解.
【详解】全集，集合，，
图中阴影部分的集合是.
故选：D.
2. 用一个平面截长方体，如果截面形状三角形，则该截面三角形不可能是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 锐角三角形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断.
【详解】如图1，在正方体中，
易知为正三角形，于是答案都有可能，
如图2，
若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设，
由正方体的性质可知：，，所以平面，
而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误.
故选：D.
3. 已知，为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算计算可得，再由共轭复数概念计算可得结果.
【详解】由可得，
所以，则.
故选：C.
4. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】因为，所以两边平方即可得到关于的一元二次方程，解出即可.
【详解】，，，，
两边平方得： ，
化简得到，，则.
故选：B.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 过空间中的任意三点有且只有一个平面
B. 四棱柱各面所在平面将空间分成27部分
C. 空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面
D. 若直线a在平面外，则平面内一定存在直线与a平行
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本事实可判断A错误，由四棱柱的空间结构可判断B正确；利用异面直线定义可得C错误；当直线和平面相交时可知D错误.
【详解】对于A，若空间中的三点共线，可以有无数个平面，即A错误；
对于B，如下图所示，四棱柱的上下底面所在平面将空间分成了三层，
每一层又被四个侧面分成了9个小部分，所以四棱柱各面所在平面将空间分成27部分,即B正确；
对于C，如选项B中图所示，与异面，与异面，但与在同一平面内，即C错误；
对于D，若直线a在平面外，当直线a在平面相交时，如下图所示：
则平面内不存在直线与a平行，即D错误.
故选：B
6. 若平面向量，，均是非零向量，则“”是“向量与共线”的（ ）
A. 充要条件B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算率和向量共线的条件，对充分性和必要性进行判断.
【详解】若平面向量，，均是非零向量，
①充分性：当时，
若，则，有且，所以向量与共线，
若，则有，有与共线，
充分性成立；
②必要性：当向量与共线时，设向量方向上的单位向量为，，
若向量与方向相同，有，，，
则，，
满足，
若向量与方向相反，有，，，
则，，
满足，
必要性成立；
所以“”是“向量与共线”的充要条件.
故选：A.
7. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ）
A. 米B. 50米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】由题意画出简图，运用正弦定理和锐角的正切函数的定义，可得所求值.
【详解】由题可得，，，
则，，

由正弦定理可得：，即，解得，
在中，.
故选：A
8. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（ ）
A B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数图象，再根据函数零点个数以及二次函数根的分布情况，可求得.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
结合图象可知，令，令，
则可得方程有两个不相等的实数根，不妨设；
所以，解得或；
若函数有6个不同的零点，
根据图象可知当时符合题意，此时无解；
当时，满足函数有6个不同的零点，
根据二次函数根的分布可知此时需满足，
解得，因此实数a的取值可以是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据解析式画出函数图象，结合图象交点个数分类讨论确定零点分布情况，即可求得实数a的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于，有如下说法，其中正确的是（ ）
A. 满足条件，，的三角形共有两个
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若是锐角三角形，则不等式恒成立
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理解三角形可判断A；根据诱导公式化为同名函数即可判断B；利用平方关系化为正弦，再由正弦定理角化边，然后利用余弦定理只能判断角C，可判断C；根据，结合诱导公式可判断D.
【详解】对A，中，，，，
由正弦定理有，则，
，则或，即满足条件的三角形共有两个，A选项正确；
对B，中，，有或，
则是直角三角形或钝角三角形，B选项错误；
对C，中，，
则，
由正弦定理可得，则，即为锐角，
角与角的大小未知，则不一定为锐角三角形，C选项错误；
对D，是锐角三角形，则，，有，
则，即化为恒成立，D选项正确.
故选：AD.
10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆台的高为2
B. 圆台的侧面积为
C. 圆台外接球的体积是
D. 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5
【答案】BCD
【解析】
【分析】在圆台轴截面利用勾股定理计算判断A选项；利用圆台的侧面积公式计算判断B选项；利用轴截面计算圆台外接球的半径，再利用球的体积公式计算得出结果判断C选项；在圆台的侧面上，从到的最短路径，在计算求得判断D选项；
【详解】对于A,如图所示，
过作交于点，过作交于点,
根据题意在中，,
故A错误；
对于B，圆台的侧面积为，故B正确；
对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：.
设，则，由，即，
解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确；
对于D，如图示，
在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确.
故选：BCD.
11. 关于函数（），如下结论中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的值域是
D. 函数在上单调递减
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，由可得的最小正周期不是；B选项，计算出，B正确；C选项，是的一个正周期，且关于直线对称，分和，求出；D选项，时，，由复合函数单调性可得答案.
【详解】A选项，，
故函数的最小正周期不是，A错误；
B选项，，
故函数的图象关于直线对称，B正确；
C选项，，
故是的一个正周期，
又的图象关于直线对称，
当时，，
因为，故，
当时，，
因为，故，
故当时，，
结合函数对称性可得，C错误；
D选项，时，
，
由于在上单调递减，且，
而在上单调递增，
由复合函数单调性可知，函数在上单调递减，D正确.
故选：BD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图所示，长方形的边长，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据直观图中线段长度和位置关系，还原出原图形即可求出对应的原图周长.
【详解】由直观图可知，所以可得，
由勾股定理可知，且在原图中，
根据直观图画法步骤还原原图如下：
其中，则，
因此原图形的周长为
故答案为：16
13. 在中，角所对的边分别为，，的角平分线交于点D，且，则的最小值为_____．
【答案】36
【解析】
【分析】由余弦定理得，利用三角形面积关系建立方程关系得，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可.
【详解】由题意，如图所示，中，由余弦定理得
，
因为，
所以.
因为为的角平分线，
所以的面积为，
即，故，且，
所以，
当且仅当，即取等号.
故的最小值为.
故答案为：.
14. 已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值.
【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则，设，
由，得，
整理得，即
因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，
PA长的最大值等于.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大值为点到圆心距离加上半径.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3）
（1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？
（2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？
【答案】（1）个；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出一个陀螺的体积，再求出其质量，然后可解；
（2）利用圆锥和圆柱的表面积公式求出一个陀螺的表面积，然后可得.
【小问1详解】
因为，所以，
圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为，
所以一个陀螺的体积为，质量为，
所以该箱中共有陀螺个.
【小问2详解】
易知，
则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为，
底面面积为，
所以一个陀螺的表面积为，
所以，
所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料.
16. 已知复数，是方程的解，复平面内表示的点A在第四象限，O是原点．
（1）点A关于虚轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
（2）将复数对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量，对应的复数为，求的值；
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）解方程得到，，然后根据对称性求对应的复数；
（2）根据旋转得到，然后根据复数乘方和除法运算法则计算.
【小问1详解】
对于方程，，所以，方程有两个不等的虚根，
因为复数、是方程的解，复平面内表示的点在第四象限，
所以z1，z2，
所以对应的复数为；
【小问2详解】
，．
因此，，
，．
．
17. 如图，在△ABC中，已知，，，且．
（1）若，求的值
（2）求．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由条件结合向量线性运算法则可得，得到，.
（2）法一：由（1）知，平方得,同理得，利用即可得到答案；
法二：以为轴，为原点，建立直角坐标系，写出各点坐标，得出答案.
【小问1详解】
由题意知，，则与的夹角为60°，，
如图，，，，
∴，
，．
【小问2详解】
由（1）同理可得，
，
∴，
，
∴，
.
法二： 以为轴，为原点，建立直角坐标系，
则，，，
，．
∴
．
18. 已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足，如图．
（ⅰ）若，求的面积；
（ⅱ）若，，，求的值．
【答案】（1）最小正周期，增区间为，；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，利用降幂公式和辅助角公式化简解析式，公式法求最小正周期，整体代入法求单调递增区间；
（2），得，面积公式求的面积；设，和中利用正弦定理列方程组求出即可.
【小问1详解】
，
∴最小正周期为，
由，，得，，
∴的单调递增区间为，；
【小问2详解】
（ⅰ），在中，因为，所以．
．
（ⅱ）设，则，，．
中，由，得
在中，由，得．
联立上式，并由，得，
整理得，所以，
因为，所以，
所以，解得，即的值为．
19. 若是定义在上增函数，其中，存在函数，，且函数图像上存在两点，图像上存在两点，其中两点横坐标相等，两点横坐标相等，且，则称在上可以对进行“型平行追逐”，即是在上的“型平行追逐函数”. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．
（1）求满足的的值；
（2）设函数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数是在上的“型平行追逐函数”，求正数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定的表达式，再解方程得到结果；
（2）计算的表达式，然后对分类讨论即可；
（3）将命题转化为在上不是单调函数，再通过对换元并分析单调性得到答案.
【小问1详解】
由于是奇函数，故，即恒成立，所以；
由于是偶函数，故，即恒成立，所以.
故，.
现要解方程，而，故命题等价于，即.
这是关于正实数的二次方程，解得，所以.
【小问2详解】
由于，
而单调递增，且对有，故当时，的取值范围是.
从而命题等价于对任意的，有，即.
若，则有，故条件对不成立，不符合要求；
若，则对有，符合要求.
所以的取值范围是.
【小问3详解】
我们有，.
根据题目定义，是在上的“型平行追逐函数”，当且仅当存在，满足.
换言之，函数在上不是单调函数.
由于
，
而在上递增，取值范围为.
故命题等价于在上不是单调函数.
对，我们知道在上递减，在上递增.
所以命题等价于，从而正数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对型函数的单调性的反复运用.