中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题14 等角存在性问题（2份打包，原卷版+教师版）

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除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．
回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：
（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；
（3）等腰三角形：等边对等角；
（4）全等（相似）三角形：对应角相等；
（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；
（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．
想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．
二、典例精析
如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C和点 SKIPIF 1 < 0 关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的横坐标．
【分析】
（1）抛物线： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意得： SKIPIF 1 < 0 坐标为（2，-4），
考虑到A、C、 SKIPIF 1 < 0 三点坐标均已知，故可求 SKIPIF 1 < 0 的三角函数值．
思路1：构造直角三角形
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3），
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
转化“ SKIPIF 1 < 0 ”为“ SKIPIF 1 < 0 ”，即 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，设PA解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将A（4，0）代入，得： SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，设PA解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将A（4，0）代入，得： SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
思路2：发现特殊角．
如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4），
故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，
考虑 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
下同思路1求解P点坐标．
三、中考真题演练
1．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求二次函数的表达式；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 SKIPIF 1 < 0 ，求P点的坐标．
2．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的解析式；
(3)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上对称轴右侧的点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的动点，若线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 （与点 SKIPIF 1 < 0 不重合），使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)请求出抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式．
(3)如图2，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移2个单位，得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，其中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)如图2，若抛物线经过原点 SKIPIF 1 < 0 ．
①求该抛物线的函数表达式；②求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 能否相等？若能，求符合条件的点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标；若不能，试说明理由．
5．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(3)点P是抛物线上的一动点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点P的坐标．
6．（2022·四川达州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
7．（2022·湖北黄石·模拟预测）如图：已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的解析式
(3)P为抛物线上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标．
8．（2022·湖南株洲·二模）如图1，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P是对称轴右侧抛物线上的点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求P点的坐标；
9.（2022·山东济宁·二模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，C点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的解析式；
(3)图2中，点C和点 SKIPIF 1 < 0 关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求M点的横坐标．