2024年广东省广州市广东实验中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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2．选择题使用2B铅笔在答题卡上规定位置填涂，填空题和解答题使用黑色字迹签字笔在规定区域作答，超出范围作答无效；
3．本场考试不能使用计算器．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 当前，手机移动支付已成为当下流行消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作元，那么支出50元应记作为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正数与负数的意义，掌握与理解正数与负数的意义是解题的关键．
此题主要用正负数来表示具有意义相反的两个量，根据正数与负数的意义即可得出．
【详解】微信零钱收入与微信零钱支出是具有相反意义的量，
收入100元，记作元，那么支出50元应记作为元，
故选：B．
2. 剪纸是中国的传统艺术．下列剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，寻找对称中心、对称轴是解题的关键；根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可．
【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项合题意；
D．，故本选项不合题意．
故选：C.
4. 如图是某一物体的三视图，则此三视图对应的物体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题可利用排除法解答：从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除B，C，D．
【详解】解：B、从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故不符合题意；
C、从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故不符合题意；
D、从主视图和左视图可以看出这个几何体是由上、 下两部分组成的且宽相等，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查由三视图还原实物基本能力，还原实物的形状关键是能想象出三视图和立体图形之间的关系，从而得出该物体的形状．本题只从俯视图入手也可以准确快速解题．
5. 若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】第三象限上的点，横坐标小于0，纵坐标小于0，从而得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组，将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
∴，
不等式的解集为：，
在数轴上可表示为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于熟记平面直角坐标系上点的特点，列出不等式组．
6. 如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（ ）

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段之间的关系进行求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
故选：B．
7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故选：A．
8. 正方形网格中，如图放置，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作EF⊥OB，则求cs∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．
详解】解：如图，作EF⊥OB，
则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
故选A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数，本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．
9. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点．，，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．先判断二次函数图象开口向下，距离对称轴越远，其函数值越小，再根据二次函数的对称性求出对称轴，求出点、、到对称轴的距离即可判断．
【详解】解：∵二次函数中的，
∴抛物线开口向下，
∴距离对称轴越远，其函数值越小，
∵，，在的图象上，
∴对称轴为直线，
∵，，，
即点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∴，
故选：C．
10. 如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，连接，根据正方形的性质证明 ，得到，，证得是等腰直角三角形，过作，交于，然后证明，得 ，再根据等腰三角形的性质得 ，利用三角形的外角定义即可解决问题，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
过作，交于，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故答案为：．
12. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】运用平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；可得.
【详解】
故答案为
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握平方差公式是关键.
13. 如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_____cm．（结果用π表示）
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式进行求解即可．
【详解】设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r==6，
∴2πr=2π×6=12π，
故答案为12π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系．
14. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像及性质，待定系数法求函数解析式，坐标与轴对称，解题关键是求解反射后的直线方程．首先求出点关于y轴的对称点为，由对称可知反射光线所在直线过点，再由待定系数法求解反射光线所在直线即可求解．
【详解】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为：，过点，
，
，
的解析式为：，
反射后经过点，
，
．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________．
【答案】（3，2）
【解析】
【分析】先利用位似的性质得到，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
16. 如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点．
（1）______（填“，或”）：
（2）若，，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解．
【详解】解：（1）延长交于点，连接，如图：

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等角对等边，等边对等角，勾股定理，直角三角形的性质等；熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
三、解答题（共9题，共72分）
17. 解二元一次方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．利用加减消元法解二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为．
18. 如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据两直线平行得出内错角相等，再结合线段和的关系得出，即可证明．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴．
19. 先化简代数式，然后再从1，2，3中选择一个适当的数代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件可得，再代入，即可求解．
【详解】解：
，且，
∴，
当时，原式．
20. “校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如图：
（1）成绩前三名是2名男生和1名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
（2）赛前规定，成绩由高到低前的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不能获奖，见解析
【解析】
【分析】（1）画树状图，共有6个等可能的结果，恰好选中1男1女的结果有4个，再由概率公式求解即可；
（2）先求出参赛选手总人数为50人，再求出”和“”两分数段的百分比之和为，即可得出结论．
【详解】解：（1）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，恰好选中1男1女的结果有4个，
∴恰好选中1男1女的概率为；
（2）某参赛选手的比赛成绩为78分，不能获奖，理由如下：
参赛选手总人数为：（人），
则成绩在“”的所占百分比为：，
∴“”和“”两分数段的百分比之和为：，
即参赛选手的比赛成绩为78分，位于成绩由高到低前之后，所以不能获奖．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了扇形统计图和频数直方图．
21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中A）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时________（填“有”或“没有”）安全感；
（2）求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）有 （2）2.2米
【解析】
【分析】本题考查三角函数的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．
（1）过A作于F，于E，先利用锐角三角函数求得、，进而求得，与米比较大小可得结论；
（2）利用锐角三角函数求得、的长即可求解．
【小问1详解】
解：过A作于F，于E，则四边形是矩形，
∴，，
在中，米，，，
∴（米），（米），
∵米，
∴（米），
∴米，，
则人进出此遮阳棚时有安全感，
故答案为：有；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴（米），
∵米，
∴(米)，
即阴影的长为2.2米．
22. 如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标和点为中点，求出的值，根据旋转得出点的坐标，根据待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）作轴于，根据等角的余角相等可得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，求得，，，得到点的坐标，过作轴于，根据进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵点的坐标是，点为中点，
∴，，
将绕着点逆时针旋转得到，
即，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
故将代入，求得，
∴反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：作轴于，如图：
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于，如图：
∴
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求反比例函数解析式，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，割补法求几何图形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D．
（1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F．
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）5
【解析】
【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可；
（2）连接，则，而，则，所以，则，即可证明是的切线；
（3）作于点，则，可证明，设，由，得，则，再证明，得，则．
【小问1详解】
解：作法：1．延长；
2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、；
3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
4．作射线交的延长线于点；
5．连接交于点，
线段、、点就是所求的图形．
【小问2详解】
证明：连接，则，
，
的平分线交于，
，
，
，
交的延长线于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问3详解】
解：作于点，则
∵是的切线．
∴
平分，作于点，交的延长线于点，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的长是5．
【点睛】此题重点考查尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24. 如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连接、、、，设．
（1）的最小值是______；此时x的值是______．
（2）如图2，若的延长线交边于点，并且．
①求证：点是的中点；
②求的值．
（3）如图2，若的延长线交边于点，求线段的最小值．
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②
（3）
【解析】
【分析】（1）当，，三点共线时，的最小值，此时，由勾股定理求出的值，根据对称可得，，推得，，是等腰直角三角形，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出的值即可；
（2）①根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出，，结合对称的性质得出，，即可推得，，根据等角的余角相等得出，，根据等角对等边可得，同理可得，推得，即可证明；
②结合①得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，求出的值；
（3）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得，，根据对称可得，，，推得，，根据等边对等角可得，根据等角的余角相等可得，根据等角对等边可得，连接，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可得出是的角平分线，即可求得，作的外接圆，圆心为，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，过点作交于点，设的半径为，根据等腰直角三角形的性质和直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，，根据三角形的两边之和大于第三边得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：（1）当，，三点共线时，的最小值，此时，
∵正方形的边长为，
即，
∴，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，
故，，，
∴，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：；．
【小问2详解】
①证明：在正方形中，，，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
即为的中点；
②解：根据题意可得：，，，，
∴，
在中，，
即，
解得：．
【小问3详解】
解：在正方形中，，，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
连接，
则是角平分线，
∴，
∵，
∴，
作的外接圆，圆心为，如图：
∵，
∴，
过点作交于点，设的半径为，
则，，，
∵，
即，
解得：，
∴，
则的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形与折叠的综合应用，圆与三角形的综合应用，勾股定理，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系等，解题的关键是熟练掌握相关知识并作辅助线．
25. 在平面直角坐标系中，设直线的解析式为：（、为常数且），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线与双曲线的切点坐标；
（2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线的顶点坐标为，点为轴上一点．在平面内存在点，使，且这样的点有且只有一个，则点的坐标为______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）联立直线和双曲线的解析式得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，即可求解；
（2）联立直线与得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，求出切点的坐标，求出抛物线的表达式为：，联立直线与得到关于的一元二次方程，根据方程有唯一解，得出根的判别式，据此列出关于的一元二次方程，求出的值，即可得出抛物线的解析式；
（3）先求出点的坐标，判断出点是与轴的切点，过点作轴交于点，确定的中点，连接，求出的中点的坐标和点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，据此设点，则点，根据两点间的距离公式列出方程，求出的值，即可求解．
【小问1详解】
解：联立，得：，
整理得：，
解得：，
当时，，
则切点坐标为：．
【小问2详解】
解：存在，理由：
∵与相切，
联立，得，
整理得：
解得：，
当时，，
则切点为：；
∵直线与，都相切于同一点，
即与的切点在图象上，
将、代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵与相切，
联立，得，
整理得：，
则该一元二次方程有唯一解，即，
整理得：
解得：，
故抛物线的表达式为：．
小问3详解】
解：由（2）知，抛物线的表达式为：，则顶点的坐标为，
在平面内存在点，使，
即点、、在同一个上，
又∵点为轴上一点，且这样的点有且只有一个，
故点是与轴的切点，
如图：过点作轴交于点，确定的中点，连接，
∵，，
故中点的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
即直线的表达式为：，
则点在直线上，故设点，则点，
则，
∵，，
∴，
解得：，
故点
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的综合应用，圆周角定理，待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式等，确定出点所在的位置是解题的关键．