2024年广东省深圳市光明区实验学校中考三模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年广东省深圳市光明区实验学校中考三模数学试题（原卷版+解析版），共33页。试卷主要包含了 ﹣3的相反数是， 下列计算正确是， 一元一次不等式组 解集为等内容，欢迎下载使用。
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
3. 2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ）
A. 4B. C. 16D. 32
6. 一元一次不等式组 解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A. B. C. D.
8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ）

A. B.
C. D.
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 因式分解：_________.
12. 若分式有意义，则的取值范围是______．
13. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是_________．

14. 如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 __．
15. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________．

三．解答题（共55分）
16. 计算：
17. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：
，，，，，
随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ；
（2） ，并补全图中的频数分布直方图；
（3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分；
（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
18. 如图，已知，点M是上的一个定点．

（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．
19. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．

（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
20. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元．
（1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价；
（2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值．
21 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
22. （1）观察猜想：
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．
（2）类比探究：
如图3，当，时，请求出的值及的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．
光明区实验学校2023-2024学年第二学期九年级模拟考试数学试卷（三模）
一．选择题（每题3分，共30分）
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和合并同类项等方面的计算能力，运用相关运算方法进行逐一计算、辨别．关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
【详解】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：C．
3. 2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示．绝对值大于等于10的数用科学记数法可表示为的形式，其中，为正整数．
【详解】解：34.45亿．
故选：B．
4. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
【详解】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
5. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ）
A. 4B. C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可．
【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且，
∴，且相似比为，
∴与的周长比为：，
∵的周长为8，
∴的周长为16．
故选：C．
6. 一元一次不等式组 解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，，
，
同理可得，，
又双翼边缘的端点与之间的距离为，
，
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设第一次分钱的人数为x人，根据“第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得：
．
故选：C
9. 如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得到，推出，设，由可得，进而根据锐角三角函数得到，则，根据三角形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键．
10. 如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取的中点F,连接
根据题意得到和，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当时，得，结合三角形面积公式求解即可；（2）当时，得，，和，结合；（3）当时，点、都在上，结合和求面积即可．
【详解】解：如图，取的中点F，连接，

，
点、是中点，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
当时，点在上，点在上，，
；
如图，当时，点在上，点在上，

，
，，，
；
如图，当时，点、都在上，

，
综上判断选项A的图象符合题意．
故选：A．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 因式分解：_________.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再按照平方差公式进行分解即可得到答案；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，掌握平方差公式是解题的关键；
12. 若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，要使分式有意义，则，即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：要使分式有意义，则，
∴，
故答案为：．
13. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是_________．

【答案】
【解析】
【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为，
∵正方形的边长为，
∴面积为，
设不规则部分面积为，
则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
14. 如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点的判定和性质，过点B作轴于点E，设，则点，进而得，由得，证得，则，，可得点，进而得，则，，再根据的面积为1，得，即，由此解出k即可．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示：
设，
点在反比例函数的图象上，且轴于点，
点的坐标为，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，，
点在反比例函数的图象上，且轴于点，
点的坐标为，
，
，
，
的面积为1，
，
即，
解得：．
故答案为：．
15. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________．

【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
三．解答题（共55分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的性质及45°角的正切值计算解题即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整指数幂、正切等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：
，，，，，
随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ；
（2） ，并补全图中的频数分布直方图；
（3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分；
（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
【答案】（1）
（2），补全如图所示
（3）
（4）乙将获得“环保之星”称号
【解析】
【分析】（）直接即可；
（）根据“”组即可；
（）根据中位数的概念即可；
（）根据的权重分别计算即可；
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答．
【小问1详解】
“组”所对应的扇形的圆心角是:，
故答案为：；
【小问2详解】
，并补全频数分布直方图如图，
故答案为：；
【小问3详解】
由（）得：，即抽取名学生，
即中位数排在第，位的平均数，为，
故答案为：；
【小问4详解】
甲：，
乙：，
∵，
∴乙将获得“环保之星”称号．
18. 如图，已知，点M是上的一个定点．

（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件；
（2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
；
【小问2详解】
解：∵和为的切线，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的劣弧与所围成图形的面积
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
19. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．

（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则根据平行线的判定方法得到，再利用平行线的性质得到，加上，从而得到；
（2）根据圆周角定理得，再证明，利用相似三角形的性质得到，则，接着利用正弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
小问1详解】
证明：连接，如图，

为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
．
20. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元．
（1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价；
（2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值．
【答案】（1）30元 （2）；最大值160元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确列出分式方程，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元，根据“第二批所购数量是第一批购进数量3倍”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）由题意得得出与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元．
【小问2详解】
解：由题意得：，
当时，有最大值160元，
答：最大值为160元．
21. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【解析】
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；

把代入得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
22. （1）观察猜想：
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．
（2）类比探究：
如图3，当，时，请求出的值及的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．
【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2
【解析】
【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°；
（2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°；
（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD=
DM=2．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，
∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形，
∴，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∆BAD~∆CAE，
∴，∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=45°，
故答案是：，45°；
（2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，
∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，
∴，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∆BAD~∆CAE，
∴，∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=30°；
（3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∆ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAM=45°，，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM，
∴∆BAD~∆CAM，
∴∠ABD=∠ACM，，
又∵BD=6，
∴CM==3，
∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90°
∴∠ABD+∠BCD=180°，
∴∠ACM+∠BCD=180°，
∴∠DCM=90°，
∴DM=，
∴AD=DM=2，
即A，D两点之间的距离是2．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．