[数学]安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考试卷（解析版）

这是一份[数学]安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1. 若复数z满足，则（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 25
【答案】B
【解析】由题意有，故．
故选：B．
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【解析】依题意，记2个红球为，2个黑球为，
则从中任取2个球的总的基本事件为，
对于A，至少有一个黑球的基本事件为，
都是黑球的基本事件为，显然两个事件有交事件，所以不为互斥事件，故A错误；
对于B，至少有一个黑球的基本事件为，都是红球的基本事件为，
显然两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
对于C，恰有一个黑球的基本事件为，恰有两个黑球的基本事件为，
显然两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
对于D，至少有一个黑球的基本事件为，
至少有一个红球的基本事件为，显然两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
4. 已知命题p：，命题q：，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A. [﹣1，2]B. （﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D. （﹣1，2）
【答案】B
【解析】由得或，因为是的充分不必要条件，
所以是的充分不必要条件，所以，解得或.
故选：B.
5. 已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（ ）
A. 4B. 5C. 2D. 3
【答案】C
【解析】函数在递增，
且，，
所以函数存在唯一的零点，故.
故选：C.
6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D 若，，，则
【答案】D
【解析】，.
故选：D.
7. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，
则，所以灯亮的概率为
.
故选：B.
8. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（ ）
A. 平面B. 该二十四等边体的体积为
C. ME与PN所成的角为D. 该二十四等边体的外接球的表面积为
【答案】D
【解析】依题意，补齐正方体，如下图，
对于A，假设平面，平面，，，
二十四等边体就是一种半正多面体，
由对称性可知，六边形为正六边形，，
这与“”矛盾，所以假设不成立，A错误；
对于B，，正方体的棱长为，
该二十四等边体的体积为正方体体积去掉个三棱锥体积，
即，B错误；
对于C，，为异面直线与所成角（或补角），
在等边中，，C错误；
对于D，如图，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，
在等腰中，，在正方形中，，即外接球半径，
该二十四等边体的外接球的表面积，D正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 向量与夹角的取值范围是
C. 与共线的单位向量为D. 存在，使得
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，即，
又，则，故A正确；
对于B，设向量与的夹角为，
则，
因为，则，所以，即，
又，所以，即向量与夹角的取值范围是，故B正确；
对于C，与共线的单位向量为或，即或，故C错误；
对于D，假设存在，使得，
则，即，则，
所以，即，又，则，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（ ）
A. 2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势
B. 2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535
C. 2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差
D. 2017~2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例均大于80%
【答案】BC
【解析】对于选项A：由图知2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，
但人均消费支出2020年比2019年少，故A不正确；
对于选项B：由图可知2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为
，故B正确；
对于选项C：2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差为，
人均消费支出的极差为，
因为，所以人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差，故C正确；
对于选项D：2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为，
小于80%，故D不正确.
故选：BC.
11. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A. f(x)是偶函数B. f(x)在区间单调递增
C. f(x)在[－π，π]有4个零点D. f(x)的最大值为2
【答案】AD
【解析】A：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；
B：当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误；
C：当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，
又f(x)在[－π，π]上为偶函数，
∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；
D：∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，
当或时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选：AD.
12. 已知正方体，则（ ）
A. 直线与所成的角为60°B. 直线与所成的角为90°
C. 直线平面所成的角为45°D. 直线与平面所成的角为45°
【答案】ABC
【解析】对于A，连接，，由正方体的性质知：，
直线与所成的角即为与所成的角，
因为为等边三角形，所以直线与所成角为60°，故A正确；
对于B，连接，因为平面，平面，
所以，又因，，所以，
平面，所以平面，
平面，所以，所以直线与所成的角为90°，故B正确；
对于C，因为平面，所以直线平面所成的角为，
，所以直线平面所成的角为45°，故C正确；
对于D，连接交于点，因为平面，
平面，所以，又因为，
平面，所以平面，
所以直线与平面所成的角为，
设正方体的边长为，所以，
，所以，所以，
所以直线与平面所成的角为，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，
令，则，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】因为，故，即，
由于，故，
因为，故.
故答案为：.
15. 在中，若，则的形状为_________.
【答案】等腰或直角三角形
【解析】，
由正弦定理可得，
所以，
即，
，
或，
，或，因此为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
16. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________.
【答案】
【解析】从2至8的整数有2，3，4，5，6，7，8，互质的两个数有2和3，2和5，2和
7，3和4，3和5，3和7，3和8，4和5，4和7，5和6，5和7，5和8，6和7，7和8，
共14对，所以随机取2个数，互质的概率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求圆柱的侧面积的最大值及此时的值．
解：（1）设圆锥顶点为，底面圆心为，圆柱的底面半径为，
作出圆锥和圆柱的轴截面如下图所示，
，，则，
圆柱侧面积.
（2）由（1）知：，
当时，圆柱侧面积取得最大值.
18. 已知向量，，.
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值.
解：（1）根据题意，由于向量，
那么可知.
（2）根据题意，由于且，
那么.
19. 定义在上的奇函数，已知当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若使不等式成立，求实数m的取值范围．
解：（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
当时，，所以，
又，所以，，
即在上的解析式为.
（2）因为时，，
所以可化为，
整理得，
令，根据指数函数单调性可得，
与都是减函数，
所以也是减函数，
，
所以，故实数的取值范围是.
20. 在中，内角的对边分别为，设的面积为，满足.
（1）求角；
（2）若，求周长最大值.
解：（1）因为，所以，
因为，所以，所以，
由余弦定理，得，整理得，
由余弦定理，得，
因为，所以.
（2）因为，所以根据正弦定理，得，所以，
在中，由余弦定理，得，
整理得，
因为，所以，
整理可得即，当且仅当时等号成立，
所以取得最大值是，当时取到，
所以周长的最大值为.
21. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人500人．年龄在的老年人300人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．
（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
（2）已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差．
解：（1）频率分布直方图中，该地年龄在的老年人年收入的平均数约为：
，
由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，
年收入在万元以下的老年人所占比例为，
因此，第95百分位数一定位于内，
由，
可以估计该地年龄在的老年人年收入的第95百分位数为.
（2）设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为，
由（1）得，由题意得，，，，
则，
由，
可得，
即估计该地年龄在的老年人的年收入方差为3.
22. 如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，
（1）证明：平面平面；
（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．
解：（1）连接OM，MN，如图，是半圆上的两个三等分点，
则有，
而，即有都为正三角形，
因此，
四边形是菱形，，而，，平面，
因此平面，平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面平面，平面平面，
则点在底面圆内的射影在上，
因点在底面圆内的射影在上，因此，点在底面圆内的射影是与的交点，
即平面，有，，
，而，即有，
取的中点，连，于是得，
则有是二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值是.