2024年内蒙古高考数学模拟试题及参考答案

这是一份2024年内蒙古高考数学模拟试题及参考答案，共25页。试卷主要包含了已知a，b∈R，，则，已知集合等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：
①在抛物线上满足条件的点仅有一个；
②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；
③无论过点的直线在什么位置，总有；
④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )
A．B．C．D．
5．函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知a，b∈R，，则（ ）
A．b＝3aB．b＝6aC．b＝9aD．b＝12a
8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）

A．B．
C．D．
9．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为
A．B．C．D．
10．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．或D．或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________.
14．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.
15．若复数（是虚数单位），则________
16．已知函数，若，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
18．（12分）已知数列满足对任意都有，其前项和为，且是与的等比中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．
19．（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.
（1）求关于的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
20．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立．
21．（12分）设函数，，其中，为正实数.
（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；
（2）设，证明：对任意，都有.
22．（10分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】
的定义域为，，
当时，，故在单调递减；
不妨设，而，知在单调递减，
从而对任意、，恒有，
即，
，，
令，则，原不等式等价于在单调递减，即，
从而，因为，
所以实数a的取值范围是
故选：D.
【点睛】
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.
2、B
【解析】
计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.
【详解】
由题意可知，则对任意的，，则，，
由，得，，，
，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3、C
【解析】
①：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.
【详解】
解：对于①，设，由抛物线的方程得，则， 故，
所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；
对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，
故，
当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；
对于③，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：，
设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，
，整理得，则，所以
，
则
.故的倾斜角互补，所以，故③正确.
对于④，由题意知 ，由③知，
则 ，由，
知，即三点在同一条直线上，故④正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.
4、B
【解析】
设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．
5、D
【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.
【详解】
函数的定义域为，当时，，排除B和C；
当时，，排除A.
故选：D.
【点睛】
本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.
6、A
【解析】
在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
7、C
【解析】
两复数相等，实部与虚部对应相等.
【详解】
由，
得，即a，b＝1．
∴b＝9a．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数的概念，属于基础题.
8、B
【解析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的值.
【详解】
根据程序框图，执行循环前：，，，
执行第一次循环时：，，所以：不成立．
继续进行循环，…，
当，时，成立，，
由于不成立，执行下一次循环，
，，成立，，成立，输出的的值为.
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
9、B
【解析】
考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈3 2 是
第二圈7 3 是
第三圈15 4 是
第四圈31 5 否
故最后当i＜5时退出，
故选B．
10、D
【解析】
集合．为自然数集，由此能求出结果．
【详解】
解：集合．为自然数集，
在A中，，正确；
在B中，，正确；
在C中，，正确；
在D中，不是的子集，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11、B
【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.
【详解】
对于，图象如下图所示：
则函数在定义域上不单调，错误；
对于，的图象如下图所示：
则在定义域上单调递增，且值域为，正确；
对于，的图象如下图所示：
则函数单调递增，但值域为，错误；
对于，的图象如下图所示：
则函数在定义域上不单调，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.
12、D
【解析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.
【详解】
构造函数，
则
由题可知，所以在时为增函数；
由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；
又，即
即
又为开口向上的偶函数
所以，解得或
故选：D
【点睛】
此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解.
【详解】
由，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因为，所以，
因为，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.
14、
【解析】
由题意首先研究函数的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.
【详解】
当时，函数在区间上单调递增，
很明显，且存在唯一的实数满足，
当时，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，
考查函数在区间上的性质，
由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数有6个零点，即方程有6个根，
也就是有6个根，即与有6个不同交点，
注意到函数关于直线对称，则函数关于直线对称，
绘制函数的图像如图所示，
观察可得：，即.
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为．
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15、
【解析】
直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可．
【详解】
，．
【点睛】
本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用．
16、
【解析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.
【详解】
因为函数，其定义域为，
所以其定义域关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，因为，
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2)
【解析】
（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；
（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：

即


（2）由（1）知：
，

，即的取值范围为
【点睛】
本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.
18、（1）（2）4
【解析】
（1）利用判断是等差数列，利用求出，利用等比中项建立方程，求出公差可得.
（2）利用的通项公式,求出，用错位相减法求出，最后建立不等式求出最小的正整数.
【详解】
解：任意都有，
数列是等差数列，
，
又是与的等比中项，，设数列的公差为，且，
则，解得，
，
；
由题意可知 ，
①，
②，
①﹣②得：，
，
，
由得，，
，
，
满足条件的最小的正整数的值为．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列中，是最基本的两个量，一般可设出和，利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式
19、（1），（2）侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为
【解析】
试题分析：（1）由条件，，，所以S，；（2）令，所以得，通过求导分析，得在时取得极大值，也是最大值．
试题解析：
（1）设交于点，过作，垂足为，
在中，，，
在中，，
所以S，
（2）要使侧面积最大，由（1）得：

令，所以得，
由得：
当时，，当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在时取得极大值，也是最大值；
所以当时，侧面积取得最大值，
此时等腰三角形的腰长
答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．
20、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）由点可得,由,根据即可求解；
（2）设直线的方程为,联立可得,设,由韦达定理可得,再根据直线的斜率公式求得；由点B与点Q关于原点对称,可设,可求得,则,即可求证.
【详解】
解:（1）由题意可知,,
又,得,
所以椭圆的方程为
（2）证明:设直线的方程为，
联立,可得,
设,
则有,
因为,
所以,
又因为点B与点Q关于原点对称,所以,即,
则有,由点在椭圆上,得,所以,
所以,即，
所以存在实数,使成立
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力.
21、（1） （2）证明见解析
【解析】
(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.
【详解】
（1）解：因为函数的图象恒在的图象的下方，
所以在区间上恒成立.
设，其中，
所以，其中，.
①当，即时，，
所以函数在上单调递增，，
故成立，满足题意.
②当，即时，设，
则图象的对称轴，，，
所以在上存在唯一实根，设为，则，，，
所以在上单调递减，此时，不合题意.
综上可得，实数的取值范围是.
（2）证明：由题意得，
因为当时，，，
所以.
令，则，
所以在上单调递增，，即，
所以，从而.
由（1）知当时，在上恒成立，整理得.
令，则要证，只需证.
因为，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立.
综上可得，对任意，都有成立.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.
22、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；
（2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设，连接，如下图所示：
∵侧面为菱形，
∴，且为及的中点，
又，则为直角三角形，
，
又，
，即，
而为平面内的两条相交直线，
平面.
(2)
平面，
平面，
，即，
从而两两互相垂直.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系
，
为等边三角形，
，
，
，
设平面的法向量为，则，即，
∴可取，
设平面的法向量为，则.
同理可取
，
由图示可知二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.