2024衢州高一下学期6月期末考试数学含答案

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命题：邹仕超 刘志昌 柳爱萍 审题：陈 旭
考生须知：
1. 全卷分试卷和答题卷. 考试结束后, 将答题卷上交.
2. 试卷共 4 页, 有 4 大题, 19 小题. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
3. 请将答案做在答题卷的相应位置上, 写在试卷上无效.
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个符合
题目的要求.
1. 已知集合 A=1,2,4,6,7，B={1,3,4}，则 A∩B=
A. {1,4} B. {1,3,4} C. {1,3,4,6} D. {1,2,3,4,6,7}
2. 已知复数 z 满足 2z-iz=2 ，则复数 z 的虚部为
A. 45 B. 25 C. 45i D. 25i
3. “ x=π2 ” 是 “ sinx=1 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 将 10 个数据按照从小到大的顺序排列如下: 11,15,17,a,23,26,27,34,37,38，若该组数据的 40% 分
位数为 22，则 a=
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
5. 已知向量 a=1,b=2 ，且 a 与 b 的夹角为 45∘ ，则 b 在 a 方向上的投影向量为
A. 22a B. 2a C. 2b D. b
6. 如图， AC 是圆 O 的直径， ∠DCA=45∘，DA 垂直于圆 O 所在的平面，B 为圆周上不与点 A,C
重合的点， AM⊥DC 于 M,AN⊥DB 于 N ，则 下列结论不正确的是
A. 平面 ABC⊥ 平面 DAC
B. CB⊥ 平面 BAD
C. CD⊥ 平面 AMN
D. 平面 AMN⊥ 平面 DAB
7. 已知定义在 R 上的偶函数 fx 满足: 当 x≥0 时， fx=2x ，且 fx+1≤af2-x 对一切
x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围为
A. (-∞,18] B. 18,+∞ C. (0,8] D. [8,+∞)
8. 美国数学家 Jack Kiefer 于 1953 年提出 0.618 优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在
黄金分割点上来寻找最优选择. 我国著名数学家华罗庚于 20 世纪 60、70 年代对其进行简化、补
充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域. 黄金分割比，现给出三倍角公式
cs3α=4cs3α-3csα ，则 t 与 sin18∘ 的关系式正确的为
A. 2t=3sin18∘ B. t=2sin18∘ C. t=5sin18∘ D. t=6sin18∘
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 c=2 且 a+cb=sinA-sinBsinA-sinC ，则下列结论正确的是
A. C=π3 B. a 的取值范围为 (0,2]
C. ab 的最大值为 4 D. 若 D 为 AB 的中点,则 CD 的取值范围为 1,2
10. 一学生在求解以下问题“已知函数y=fx的图象关于直线x=2对称，关于3,6中心对称，且
f2=4，求S=f1+f2+⋯+f10的值”时，思路如下: 令
（，），由对称轴和对称中心可求得T=4，再由对称轴求φ，对称中心求b，根据
以上信息可得
A. φ=π2 B. b=6 C. S=60 D. S=58
11. 如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面 ABC 是等腰直角三角形， AB=BC=AA1=1 ,
点 D 为侧棱 BB1 上的动点， M 为线段 A1B1 中点. 则下列说法正确的是
A. 存在点 D ，使得 AD⊥ 平面 BCM
B. △ADC1 周长的最小值为 1+2+3
C. 三棱锥 C1-ABC 的外接球的体积为 32π
D. 平面 ADC1 与平面 ABC 的夹角正弦值的最小值为 33
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 a=1,2,b=-1,x ，若 a⊥b ，则 .
13. 已知 x>-12，y>-4 ，且 2x+y=1 ，则 12x+1+9y+4 的最小值为 .
14. 已知定义在 R 上的函数 y=fx+1-1 为奇函数，且函数 fx 在区间 [1,+∞) 上单调递增，
则 f3x-1+f2-x<2 的解集为 .
四、解答题： 本题共 5 个小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
15. （本小题满分 13 分）
已知函数 fx=3sin2x+cs2x .
（Ⅰ）求函数 fx 的最小正周期和对称中心;
（Ⅱ） 求函数 fx 在 0,π2 上的值域.
16. （本小题满分 15 分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形， PA⊥ 底面ABCD , PA=2,M 是
线段 PD 的中点
（Ⅰ）求证: PB// 平面 AMC ;
（Ⅱ）求三棱锥 P-ACM 的体积;
（Ⅲ）求直线 BM 与底面 ABCD 所成角的正切值.
17.（本小题满分15分）
2023 年起我国旅游按下重启键, 寒冬有尽, 春日可期, 先后出现了“淄博烧烤”, “尔滨与小土豆”, “天水麻辣烫”等现象级爆款, 之后各地文旅各出奇招, 衢州文旅也在各大平 台发布了衢州的宣传片: 孔子, 金庸, 搁袋饼纷纷出场. 现为进一步发展衢州文旅, 提升衢州经济, 在 5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查, 从饮食、住宿, 交通, 服务 等方面调查旅客满意度, 满意度采用百分制, 统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图,图中b=4a .
（Ⅰ）求图中 a 的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表);
（Ⅱ） 若有超过 60% 的人满意度在 75 分及以上,则认为该月文旅成绩合格. 衢州市 5 月份文旅成
绩合格了吗?
（Ⅲ）衢州文旅 6 月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查. 现知 6 月 1 日-6 月 7 日调查的 4
万份数据中其满意度的平均值为 80, 方差为 75; 6 月 8 日-6 月 14 日调查的 6 万份数据中其
满意度的平均值为 90, 方差为 70 . 由这些数据计算 6 月 1 日一 6 月 14 日的 总样本的平均
数与方差.
18. （本小题满分 17 分）
如图,三棱台 ABC-A1B1C1 中, △ABC 是边长为 2 的等边三角形,四边形 ACC1A1 是等 腰梯形,且
A1C1=AA1=1,D 为 A1C1 的中点.
（Ⅰ）证明: AC⊥BD ;
（Ⅱ）若过 B,B1,D 三点的平面截三棱台 ABC-A1B1C1 所得的截面面积为 9316 . 当二面角 A1-
AC-B 为锐二面角时,求二面角 B1-BC-A 的正弦值.
19. （本小题满分 17 分）
利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念,设 fx 定义在 a,b 上的函 数,若对
于a,b 中任意两点 x1,x2x1≠x2 ,都有 fx1-fx2≤kx1-x2k>0 ,则称 fx 是
“ k -利普希兹条件函数”.
（Ⅰ）判断函数 y=x+1,y=x2 在 R 上是否为“1-利普希兹条件函数”;
（Ⅱ）若函数 y=x+2x1≤x≤2 是 “ k -利普希兹条件函数”，求 k 的最小值;
（Ⅲ）设fx=sinx ,若存在 t∈R ,使 gx=tx+nt>1 是“2024-利普希兹条件函数”,
且关于x的方程 f2x=gfx+gfx+π2 在 x∈-π4,π4 上有两个不相等实根,
求 n 的取值范围.