2024成都中考数学第一轮专题复习 特殊三角形存在性问题 教学课件

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习 特殊三角形存在性问题 教学课件，共30页。PPT课件主要包含了第1题图，解题关键点，第2题图，第2题解图①，第2题解图②，第2题解图③，第2题解图④，第3题图，第3题解图①，第3题解图②等内容，欢迎下载使用。
类型三　特殊三角形存在性问题(8年2考：2023.25，2019.28 )
1. 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，直线y＝－x＋b经过B，C两点，抛物线的顶点记为D.(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
解：(1)将B(3，0)代入y＝－x＋b中，得－3＋b＝0，解得b＝3，∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋3，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3).
将B(3，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋2x＋c中，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴点D的坐标为(1，4)；
(2)若点P是对称轴右侧，且位于第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，当△PBC的面积是△OBC面积的 时，求点P的坐标；
设点P的横坐标为n(1＜n＜3)，则P(n，－n2＋2n＋3)，F(n，－n＋3).∴PF＝(－n2＋2n＋3)－(－n＋3)＝－n2＋3n.∴S△PBC＝S△PCF＋S△PBF＝ PF·OE＋ PF·BE＝ PF(OE＋BE)＝ PF·OB＝ (－n2＋3n)×3＝－ n2＋ n.又∵△PBC的面积是△OBC面积的 ，∴－ n2＋ n＝ × .解得n1＝1(不合题意，舍去)，n2＝2.当n＝2时，y＝－22＋2×2＋3＝3.∴点P的坐标为(2，3)；
(3)在(2)的条件下，对称轴上是否存在一点Q，使得△BPQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
①当∠BPQ＝90°时，BP2＋PQ2＝BQ2，即m2－6m＋20＝m2＋4，解得m＝ ，∴Q(1， )；②当∠PBQ＝90°时，BP2＋BQ2＝PQ2，即10＋m2＋4＝m2－6m＋10，解得m＝－ ，∴Q(1，－ )；
③当∠PQB＝90°时，PQ2＋BQ2＝BP2，即m2－6m＋10＋m2＋4＝10，解得m＝1或m＝2，∴Q(1，1)或Q(1，2)；综上所述，点Q的坐标为(1，－ )或(1， )或(1，1)或(1，2).
若△BPQ为直角三角形，可分∠BPQ＝90°，∠PBQ＝90°，∠PQB＝90°三种情况讨论．
2. (2023广元)如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式；
(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，∴EF＝BF，∵∠DFE＝90°－∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°.∴△DFE≌△GBF，∴GF＝DE，GB＝FD，设F(1，m)，则DE＝m，DG＝DF＋FG＝GB＋FG＝3＋m，∴E(1＋m，3＋m)，∵E点在抛物线y＝－ x2＋x＋4上∴3＋m＝－ (1＋m)2＋(1＋m)＋4解得m＝－3(舍去)或m＝1，∴F(1，1)；
如解图②，当E点与A点重合点F在x轴下方时，
∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，∴GF＝ AB＝3此时F(1，－3)；
如解图③，当E点与A点重合，点F在x轴上方时，同理可得点F(1，3).
当F在x轴下方，如解图④，同理可得△DFE≌△GBF，GF＝DE，GB＝FD.设F(1，n)，则E(1－n，n－3)，把E(1－n，n－3)代入y＝－ x2＋x＋4，得n－3＝－ (1－n)2＋(1－n)＋4，解得n＝3(舍去)或n＝－5，∴F(1，－5).
综上所述，点F的坐标为(1，1)或(1，－3)或F(1，3)或(1，－5)；
(3)如图②，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM＋ ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
∴直线AP的解析式为y＝ x＋ ，直线BP的解析式为y＝ x＋ ，对于y＝ x＋ ，当x＝0时，y＝ ，即M ，对于y＝ x＋ ，当x＝0时，y＝ ，即N ，∵P(s，t)在抛物线上，则t＝－ s2＋s＋4＝－ (s－4)(s＋2)，∴OM＋ ON＝ ＋ × ＝ ＝ ＝6，∴OM＋ ON为定值6.
3. (2019成都B卷28题12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，5)，与x轴相交于B(－1，0)，C(3，0)两点．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；
(2)∵抛物线与x轴的交点为B(－1，0)，C(3，0)，∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1.如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则点H的坐标为(1，0)，BH＝2，
由翻折得BC′＝BC＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理得，C′H＝ ＝ ＝2 ，∴点C′的坐标为(1，2 )，tan ∠C′BH＝ ＝ ＝ ，∴∠C′BH＝60°.由翻折得∠DBH＝ ∠C′BH＝30°，∴在Rt△BHD中，DH＝BH·tan ∠DBH＝2tan 30°＝ ，∴点D的坐标为(1， )；
(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP，∴BQ＝C′P.∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP.
又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上．设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则 解得 ∴直线BP的函数表达式为y＝ x＋ ；
②如解图②，当点P在x轴下方时，点Q在x轴下方，∵△QCP，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝C′C，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°，∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ，∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴∠CC′Q＝ ∠CC′B＝30°，∴∠CBP＝30°，
设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB·tan ∠CBP＝OB·tan 30°＝1× ＝ ，∴点E的坐标为(0，－ ).设直线BP的函数表达式为y＝k′x＋b′(k′≠0)，则 解得 ∴直线BP的函数表达式为y＝－ x－ .综上所述，直线BP的函数表达式为y＝ x＋ 或y＝－ x－ .
分点P，Q在x轴上方和x轴下方两种情况求解．
4. (2023成都B卷25题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过点P(4，－3)，与y轴交于点A(0，1)，直线y＝kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
当t＝－2－2 时，－ t2＋1＝－ ×(－2－2 )2＋1＝－5－2 ，B(－2－2 ，－5－2 ).当t＝－2＋2 时，－ t2＋1＝－ ×(－2＋2 )2＋1＝－5＋2 ，B(－2＋2 ，－5＋2 )，综上所述，满足题意的点B的坐标为(－4，－3)或(－2－2 ，－5－2 )或(－2＋2 ，－5＋2 )；
△ABP是以AB为腰的等腰三角形，有两种情况：AB＝AP，AB＝BP.
(3)过点M(0，m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
设直线AB的表达式为y＝px＋q，则 解得 ∴直线AB的表达式为y＝ x＋1，令y＝m，由y＝ x＋1＝m得x＝ ，∴D( ，m).同理可得直线AC的表达式为y＝ x＋1，则E( ，m)，过点E作EQ⊥x轴于点Q，过点D作DN⊥x轴于点N，
则∠EQO＝∠OND＝90°，EQ＝ND＝m，QO＝－ ，ON＝ ，若OD⊥OE，则∠EOD＝90°，∴∠QEO＋∠QOE＝∠DON＋∠QOE＝90°，∴∠QEO＝∠DON，∴△EQO∽△OND，∴ ＝ ，则 ＝ ，