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高中物理重难点96讲专题27圆周运动的动力学分析之水平面内的圆周运动(原卷版+解析)
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这是一份高中物理重难点96讲专题27圆周运动的动力学分析之水平面内的圆周运动(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了匀速圆周运动的特点，变速圆周运动的特点，向心力表达式，圆周运动动力学分析的主要步骤，5cm F=1，48m/s等内容，欢迎下载使用。
2.变速圆周运动的特点：合力方向和加速度方向一定不指向圆心，但向心力和向心加速度方向一定指向圆心（时刻改变！！！），分析变速圆周运动向心力的来源时，把物体的受力分解为沿着半径方向和切线方向两个分力，则指向圆心方向的合力提供物体圆周运动的向心力。
3.向心力表达式：Fn＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝mreq \f(4π2,T2)
4.圆周运动动力学分析的主要步骤
(1)确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面、圆心、半径；
(2)分析物体的受力情况，画出受力分析图，用分析出的力确定合力的表达式(沿半径方向指向圆心的合力!)；
(3)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、半径等，确定向心力表达式；
(4)列方程求解（核心方程F合＝F向 ， F合为沿半径方向指向圆心的合力!）
考点一 水平面内的圆周运动
1.向心力的来源及常见的运动模型（向心力表达式以meq \f(v2,r)或mω2r为例）
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.常见的运动模型（向心力表达式以meq \f(v2,r)或mω2r为例）
1.（2022·北京市陈经纶中学高三阶段练习）(多选)有关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
B．如图乙，小球在光滑而固定的竖直圆锥筒内做匀速圆周运动，合力指向运动轨迹的圆心
C．如图丙，小球在细绳作用下做匀速圆周运动，重力与拉力的合力必指向圆心（不计阻力）
D．如图丁，物体M紧贴圆筒壁随圆筒一起做圆周运动，摩擦力提供向心力
2．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是（ ）
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为a方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为d方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为c方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向为d方向
3．如图所示，光滑小球串在三杆夹角均为120°的Y形杆上，三杆结点为O，Y形杆的一杆竖直，并绕该竖直杆匀速旋转，使小球维持在距O点l处，重力加速度为g，则Y形杆旋转的角速度ω为（ ）
A．2g3lB．23g3lC．2glD．23gl
4．（2022·四川眉山·高一期末）自新冠疫情发生以来，无人机已经成为战疫利器之一，如图所示，某质量为m的无人机以恒定速率v在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，半径为R，重力加速度为g。在图示位置，空气对无人机的作用力方向和大小为（ ）
A．竖直向上，F=mgB．水平向右，F=mv2R
C．斜向右上方，F=mg2−v4R2D．斜向右上方，F=mg2+v4R2
5．（2022·广西桂林·高一期末）“空中飞椅”是大型游乐场的常规游乐项目，下图为“空中飞椅”结构简图，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。若座椅和人的总质量为m，不计钢绳的质量，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）。
A．座椅和人受到重力、钢绳的拉力和向心力的作用 B．座椅和人的向心力大小为mω2Lsinθ
C．钢绳的拉力大小为mgcsθ D．转盘匀速转动时，人处于平衡状态
6．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角为θ，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小物块做圆周运动的向心力由陶罐的支持力提供，方向指向O点
B．小物块做圆周运动的向心力大小为mgtanθ，方向与OO′垂直
C．小物块做圆周运动的角速度大小为gtanθR
D．如果转台的转速稍稍增大，小物块相对陶壁有向下的运动趋势
7．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．球B的角速度一定小于球A的角速度 B．球B对筒壁的压力一定大于球A对筒壁的压力
C．球B运动的周期一定大于球A运动的周期 D．球B的线速度一定小于球A的线速度
8.(多选)如图，两弹性轻绳一端系在天花板的O点，另一端分别系着质量均为m的小球a、b，并让两小球都以O′为圆心在同一水平面上做匀速圆周运动。已知两弹性绳的弹力都与其伸长量成正比，且原长恰好都等于OO′，则( )
A．小球a、b的运动周期相同
B．小球a的向心力大于小球b的向心力
C．小球a、b的线速度大小相同
D．弹性绳1的劲度系数大于弹性绳2的劲度系数
9．(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔（小孔光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中P′位置），两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断中正确的是（ ）
A．细线所受的拉力变小 B．小球P运动的角速度变小
C．Q受到桌面的静摩擦力变大 D．小球P运动的向心加速度变大
10．（2022·湖北武汉·模拟）(多选)如图所示，水平转台边缘固定一光滑竖直卡槽，与轻质杆右端固定在一起的轻质小球可以沿卡槽上、下自由移动，由于卡槽的作用，轻质杆始终沿转台的半径方向且保持水平，劲度系数为k=50N/m的轻弹簧一端固定在竖直转轴上，另一端与轻质杆共同连在质量m=0.1kg的小球上，当转台以角速度ω=3rad/s绕转轴匀速转动时，轻弹簧与竖直方向的夹角θ=37°。已知转台半径R=10cm，轻质杆的长度L=4cm，重力加速度g取10m/s，sin37°=0.6，cs37°=0.8下列说法正确的是（ ）
A．轻弹簧的伸长量为103cm B．轻弹簧的伸长量为2.5cm
C．轻质杆中的弹力大小为0.696N D．轻质杆中的弹力大小为7.5N
11．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列判断中正确的是（ ）
=A．A物的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
12．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数均为μ， A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）
A．绳中无拉力时，A、B物体受到的摩擦力大小相等
B．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于μgr
C．若转台转动的角速度为6μgr，则A、B一起相对转台向B离心的方向滑动
D．物体A所受的摩擦力方向一定指向圆心
13．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上（绳子无拉力）。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块b所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（ω2）的变化关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022·山东·模拟预测）如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B及物体 C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度需要满足ω≤μgr D．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
15．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高三阶段练习）如图所示，“V”形光滑支架下端用铰链固定于水平地面上，支架两臂与水平面间夹角θ均为53°，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为l的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，上端与一小球相接触不连接，该臂上端有一挡板。已知小球质量为m，支架每臂长为3l2，支架静止时弹簧被压缩了l3，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO′以角速度ω匀速转动。sin53°=45，cs53°=35，求：
（1）轻弹簧的劲度系数k；
（2）轻弹簧恰为原长时，支架的角速度ω0；
（3）当ω=12ω0及ω=2ω0时轻弹簧弹力的大小。
16．如图所示，倾角为θ=30°的固定斜面上放置一物体A，细线通过两光滑定滑轮与小球B连接，斜面上方的线与斜面平行，当小球B竖直下垂静止时，物块A刚好静止在斜面上；当小球B在水平面内做匀速圆周运动时，物块A也刚好能静止于斜面上。已知此时悬线长为L，与竖直方向的夹角φ=60°，B物体的质量为m，重力加速度为g，求：
（1）B在水平面内做匀速圆周运动的周期；
（2）A物体的质量。
考点二 水平面内圆周运动的临界问题
1.在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键．
2.常见的临界状态和临界条件
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
3．临界问题的分析方法
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
17．如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ。若最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，要使a不下落，圆筒转动的转速n至少应为（ ）
A．12πμgrB．2πμgrC．12πgμrD．2πμrg
(多选)如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的张力一定不为零
B．桶对物块的弹力一定不为为零
C．若转动的角速度增大，桶对物块的弹力保持不变
D．若转动的角速度减小，绳的张力可能不变也可能减小
19．（2022·重庆第二外国语学校高三期末）(多选)如图，小球（可视作质点）和a、b两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中b绳长Lb=2m，小球随杆一起在水平面内匀速转动．当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角θ1=45°,θ2=60°,g=10m/s2。若a、b两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是（ ）
A．3.5m/sB．4m/sC．4.5m/sD．5m/s
20.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．当ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D．当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
21．如图，水平桌面中心O处有一个小孔，用细绳穿过光滑小孔，绳两端分别连接质量M=2kg的物体A和m=1kg的物体B，A到圆孔的距离为0.5m。（物体可以看成质点，g取10m/s2）
（1）如果水平桌面光滑且固定，要使物体B能静止，求A物体做匀速圆周运动的线速度v0的大小；
（2）如果水平桌面粗糙，物体A与水平桌面间摩擦因数为μ=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使此水平桌面绕过O点的竖直轴匀速转动，则其角速度ω在什么范围内，A可与水平桌面保持相对静止状态？
考点三 离心运动
1．物体做离心运动的本质：做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。
2．物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力．
离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力
F合和所需向心力(meq \f(v2,r)或mω2r)的大小关系决定．(如图所示)
(1)当F合＝mω2r，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(2)当F合>mω2r，“提供”超过“需要”，物体做近心运动；
(3)当0≤F合22．假设地球吸引月球的万有引力在某一年瞬时突然消失，则月球将（ ）
A．落到地球表面B．静止在地球上空某一点不动
C．沿月亮轨道的切线方向飞出D．沿地球和月亮的连线远离地球飞出
23．如图，光滑水平面上，质量为m的小球，在细绳拉力F的作用下，以速度v做半径为r的匀速圆周运动。（ ）
A．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变小，则小球将沿轨迹a运动
B．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变大，则小球将沿轨迹b运动
C．若小球沿顺时针运动到图示位置时，绳子突然断裂，则小球将沿轨迹c运动
D．无论绳子上的力如何变化，小球都将沿圆周运动
专题27 圆周运动的动力学分析之水平面内的圆周运动
1.匀速圆周运动的特点：线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、转速都恒定不变；合力、向心力、加速度、向心加速度的大小都恒定不变，方向一定始终指向圆心（时刻改变！！！）。
2.变速圆周运动的特点：合力方向和加速度方向一定不指向圆心，但向心力和向心加速度方向一定指向圆心（时刻改变！！！），分析变速圆周运动向心力的来源时，把物体的受力分解为沿着半径方向和切线方向两个分力，则指向圆心方向的合力提供物体圆周运动的向心力。
3.向心力表达式：Fn＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝mreq \f(4π2,T2)
4.圆周运动动力学分析的主要步骤
(1)确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面、圆心、半径；
(2)分析物体的受力情况，画出受力分析图，用分析出的力确定合力的表达式(沿半径方向指向圆心的合力!)；
(3)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、半径等，确定向心力表达式；
(4)列方程求解（核心方程F合＝F向 ， F合为沿半径方向指向圆心的合力!）
考点一 水平面内的圆周运动
1.向心力的来源及常见的运动模型（向心力表达式以meq \f(v2,r)或mω2r为例）
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.常见的运动模型（向心力表达式以meq \f(v2,r)或mω2r为例）
1.（2022·北京市陈经纶中学高三阶段练习）(多选)有关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
B．如图乙，小球在光滑而固定的竖直圆锥筒内做匀速圆周运动，合力指向运动轨迹的圆心
C．如图丙，小球在细绳作用下做匀速圆周运动，重力与拉力的合力必指向圆心（不计阻力）
D．如图丁，物体M紧贴圆筒壁随圆筒一起做圆周运动，摩擦力提供向心力
【答案】BC
【解析】
火车转弯时，刚好由重力和支持力的合力提供向心力时，有mgtanθ=mv2r，
解得：v=grtanθ
火车转弯小于规定速度行驶时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，则火车做近心运动的趋势，所以车轮内轨的轮缘对内轨有挤压，故A错误；
B．小球在光滑而固定的竖直圆锥筒内做匀速圆周运动，合力既向心力，指向运动轨迹的圆心，故B正确；
C．小球在细绳作用下做匀速圆周运动，重力与拉力的合力必指向圆心提供向心力，故C正确；
D．物体M紧贴圆筒壁随圆筒一起做圆周运动，摩擦力平衡重力，弹力提供向心力，故D错误。
2．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是（ ）
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为a方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为d方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为c方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向为d方向
【答案】D
【解析】
A．圆盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力（摩擦力）提供圆周运动向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，沿c的方向，故A错误；
BC．当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b，故BC错误；
D．当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d，故D正确。
3．如图所示，光滑小球串在三杆夹角均为120°的Y形杆上，三杆结点为O，Y形杆的一杆竖直，并绕该竖直杆匀速旋转，使小球维持在距O点l处，重力加速度为g，则Y形杆旋转的角速度ω为（ ）
A．2g3lB．23g3lC．2glD．23gl
【答案】A
【解析】
小球在水平面内做匀速圆周运动，圆周半径为r=lsin60°=32l
小球所受的合力提供向心力，即Fn=mgtan30°=33mg
由向心力公式Fn=mω2r
可得ω=Fnmr=33mg32ml=2g3l 故选A。
4．（2022·四川眉山·高一期末）自新冠疫情发生以来，无人机已经成为战疫利器之一，如图所示，某质量为m的无人机以恒定速率v在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，半径为R，重力加速度为g。在图示位置，空气对无人机的作用力方向和大小为（ ）
A．竖直向上，F=mgB．水平向右，F=mv2R
C．斜向右上方，F=mg2−v4R2D．斜向右上方，F=mg2+v4R2
【答案】D
【解析】
根据题意，对无人机由牛顿第二定律有F合=mv2R
对无人机受力分析，受重力mg，空气对无人机的作用力F，如图所示
则有F=m2g2+m2v4R2=mg2+v4R2 方向斜向右上方。
5．（2022·广西桂林·高一期末）“空中飞椅”是大型游乐场的常规游乐项目，下图为“空中飞椅”结构简图，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。若座椅和人的总质量为m，不计钢绳的质量，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）。
A．座椅和人受到重力、钢绳的拉力和向心力的作用 B．座椅和人的向心力大小为mω2Lsinθ
C．钢绳的拉力大小为mgcsθ D．转盘匀速转动时，人处于平衡状态
【答案】C
【解析】
A．由题意可知，座椅和人受到重力、钢绳的拉力作用，如图所示，向心力是效果力，并不是座椅和人受到的力，即是重力与钢绳拉力的合力，A错误；
B．当转盘以角速度ω匀速转动时，座椅和人的向心力大小由牛顿第二定律可为F=mω2r+Lsinθ
B错误；
C．由解析图可知，钢绳的拉力大小为T=mgcsθC正确；
D．转盘匀速转动时，人随转盘一起做匀速圆周运动，有向心加速度，由牛顿第二定律可知，人受的合力不等于零，不是处于平衡状态，D错误。
6．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角为θ，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小物块做圆周运动的向心力由陶罐的支持力提供，方向指向O点
B．小物块做圆周运动的向心力大小为mgtanθ，方向与OO′垂直
C．小物块做圆周运动的角速度大小为gtanθR
D．如果转台的转速稍稍增大，小物块相对陶壁有向下的运动趋势
【答案】B
【解析】
小物块受力情况如图
A．小物块做圆周运动的向心力由重力和陶罐的支持力的合力提供，方向与OO′垂直，A错误；
B．由受力分析可知，小物块做圆周运动的向心力大小为mgtanθ，方向与OO′垂直，B正确；
C．设小物块做圆周运动的半径为r，满足mgtanθ=mω2r=mω2Rsinθ
得ω=gtanθRsinθ=gRcsθ所以C错误；
D．如果转台转速稍稍增大，小物块相对陶壁有沿壁斜向上的运动趋势，D错误。
7．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．球B的角速度一定小于球A的角速度 B．球B对筒壁的压力一定大于球A对筒壁的压力
C．球B运动的周期一定大于球A运动的周期 D．球B的线速度一定小于球A的线速度
【答案】D
【解析】
A．对A和B球受力分析如图所示
由于两个小球所受合力都指向圆心，可知FA心=mgtanθ=FB心
根据牛顿第二定律F向=mω2r
可知运动轨道半径越小，角速度越大，A错误；
B．小球对筒壁的压力FN=mgsinθ
可知两球对筒壁压力相等，B错误；
C．根据F向=m(2πT)2r
可知轨道半径越小，周期越短，因此C错误；
D．根据F向=mv2r
可知轨道半径越小线速度越小，D正确。故选D。
8.(多选)如图，两弹性轻绳一端系在天花板的O点，另一端分别系着质量均为m的小球a、b，并让两小球都以O′为圆心在同一水平面上做匀速圆周运动。已知两弹性绳的弹力都与其伸长量成正比，且原长恰好都等于OO′，则( )
A．小球a、b的运动周期相同
B．小球a的向心力大于小球b的向心力
C．小球a、b的线速度大小相同
D．弹性绳1的劲度系数大于弹性绳2的劲度系数
【答案】AD
【解析】
设弹性轻绳与竖直方向的夹角为θ，原长为L，
小球受到绳子的弹力和重力的合力提供向心力，有mgtan θ＝meq \f(4π2,T2)L·tan θ＝meq \f(v2,Ltan θ)，解得运动周期为T＝2π eq \r(\f(L,g))，线速度为v＝eq \r(gL)·tan θ，则小球a、b的运行周期相同，线速度大小不等，故A正确，C错误。小球a的绳与竖直方向的夹角小，所以小球a的向心力小于小球b的向心力，故B错误。轻绳的弹力F＝eq \f(mg,cs θ)，轻绳的伸长量x＝eq \f(L,cs θ)－L，根据胡克定律可知，弹性绳的劲度系数k＝eq \f(F,x)＝eq \f(mg,L1－cs θ)，小球a的绳与竖直方向的夹角小，弹性绳1的劲度系数大于弹性绳2的劲度系数，故D正确。
9．(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔（小孔光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中P′位置），两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断中正确的是（ ）
A．细线所受的拉力变小 B．小球P运动的角速度变小
C．Q受到桌面的静摩擦力变大 D．小球P运动的向心加速度变大
【答案】CD
【解析】
ABC．设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L。P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图
则有 FT=mgcsθ mgtanθ=mω2Lsinθ
解得角速度ω=gLcsθ 周期T=2πω
使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，csθ减小，则细线拉力FT增大，角速度增大，周期T减小。对Q球，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力变大，故AB错误，C正确；
D．小球P运动的向心加速度为a=gtanθ
因θ增大，则向心加速度变大，故D正确；故选CD。
10．（2022·湖北武汉·模拟）(多选)如图所示，水平转台边缘固定一光滑竖直卡槽，与轻质杆右端固定在一起的轻质小球可以沿卡槽上、下自由移动，由于卡槽的作用，轻质杆始终沿转台的半径方向且保持水平，劲度系数为k=50N/m的轻弹簧一端固定在竖直转轴上，另一端与轻质杆共同连在质量m=0.1kg的小球上，当转台以角速度ω=3rad/s绕转轴匀速转动时，轻弹簧与竖直方向的夹角θ=37°。已知转台半径R=10cm，轻质杆的长度L=4cm，重力加速度g取10m/s，sin37°=0.6，cs37°=0.8下列说法正确的是（ ）
A．轻弹簧的伸长量为103cm B．轻弹簧的伸长量为2.5cm
C．轻质杆中的弹力大小为0.696N D．轻质杆中的弹力大小为7.5N
【答案】BC
【解析】
AB．设弹簧的原长和拉伸后的长度分别为l0、l1，由几何关系可得l1sinθ=R−L
小球做匀速圆周运动，竖直方向满足Fcsθ=mg
又F=k(l1−l0)
联立解得l1=10cm l0=7.5cm F=1.25N 轻弹簧的伸长量为2.5cm，选项A错误，B正确；
CD．水平方向由牛顿第二定律可得 Fsinθ−T=mrω2
其中 r=R−L
联立解得轻杆上的拉力大小为 T=0.696N 选项C正确，D错误；
11．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列判断中正确的是（ ）
A．A物的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
【答案】C
【解析】
A．三物体均相对圆盘静止，角速度相同；由于C物体的转动半径最大，根据a=rω2，C物体的向心加速度最大，故A项错误；
B．B物体所受摩擦力fB=mRω2
C物体所受摩擦力fC=m⋅2Rω2故B项错误；
CD．A物体恰相对圆盘静止时k⋅2mg=2mRωA2
B物体恰相对圆盘静止时kmg=mRωB2
C物体恰相对圆盘静止时kmg=m⋅2RωC2
解得ωC<ωB=ωA
所以C物体最先滑动，A、B两物体同时滑动，故C项正确，D项错误。
12．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数均为μ， A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）
A．绳中无拉力时，A、B物体受到的摩擦力大小相等
B．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于μgr
C．若转台转动的角速度为6μgr，则A、B一起相对转台向B离心的方向滑动
D．物体A所受的摩擦力方向一定指向圆心
【答案】C
【解析】
A．绳中无拉力时，两物体所受的静摩擦力提供向心力，由于向心力大小不等，所以摩擦力大小也不相等，故Ａ错误。
B．由于A物体的旋转半径大，所以A物体相对转台的摩擦力先达到滑动摩擦力，此时有μmg=1.5mω2r
解得ω>2μg3r
即当ω>2μg3r时，绳中有拉力，故B错误。
CD．当ω>2μg3r后，对A、B分别有FT+FfA=1.5mω2r FT+FfB=2mω2r
联立解得FfB−FfA=0.5mω2r
当转台的转速小时，所受的摩擦力均为静摩擦力， 当A的摩擦力达到滑动摩擦力后，随角速度的增大，B所受的静摩擦力增大，直到达到滑动摩擦力，之后A的摩擦力先减少，再反向增大，最后达到滑动摩擦力时，A、B一起相对转台向B离心的方向滑动，滑动时有 2μmg+μmg=0.5mω2r
解得 ω=6μgr 故D错误，C正确。 故选C。
13．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上（绳子无拉力）。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块b所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（ω2）的变化关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
转动过程中a、b角速度相同，当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，绳子拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为fa=mraω2，fb=mrbω2
因为rb>ra，故fb>fa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f0时绳子开始出现拉力，此后b受到的摩擦力保持不变，故fb−ω2图像刚开始为一段过原点的倾斜直线（斜率为mrb），后为水平直线（大小恒为f0）。故选A。
14．（2022·山东·模拟预测）如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B及物体 C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度需要满足ω≤μgr D．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
【答案】B
【解析】
AB．由于物体 A、B及物体 C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，则B对A的摩擦力有0由于角速度大小不确定，B对A的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg，物体做匀速圆周运动，由静摩擦力提供向心力，则fA=3mω2rA错误，B正确；
CD．若物体A达到最大静摩擦力，则3μmg=3mω12r
解得ω1=μgr
若转台对物体B达到最大静摩擦力，对AB整体有5μmg=5mω22r
解得ω2=μgr
若物体C达到最大静摩擦力，则μmg=mω32×1.5r
解得ω3=2μg3r
可知ω1=ω2>ω3
由于物体 A、B及物体 C均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3=2μg3r
该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C物体，CD错误。故选B。
15．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高三阶段练习）如图所示，“V”形光滑支架下端用铰链固定于水平地面上，支架两臂与水平面间夹角θ均为53°，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为l的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，上端与一小球相接触不连接，该臂上端有一挡板。已知小球质量为m，支架每臂长为3l2，支架静止时弹簧被压缩了l3，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO′以角速度ω匀速转动。sin53°=45，cs53°=35，求：
（1）轻弹簧的劲度系数k；
（2）轻弹簧恰为原长时，支架的角速度ω0；
（3）当ω=12ω0及ω=2ω0时轻弹簧弹力的大小。
【答案】（1）k=12mg5l；（2）ω0=20g9l；（3）36mg55；0
【解析】
（1）受力分析如图
支架静止时弹簧被压缩了l3 kl3=mgsinθ 解得 k=12mg5l
（2）轻弹簧恰为原长时，如图所示，支架的角速度ω0 mgtanθ=mω02lcsθ 解得ω0=20g9l
（3）当ω=12ω0时，弹簧处理压缩态Ncsθ+kxsinθ=mg Nsinθ−(kx)csθ=mω2(l−x)csθ
解得轻弹簧弹力kx=36mg55
当ω=2ω0时弹簧脱离接触kx=0N
16．如图所示，倾角为θ=30°的固定斜面上放置一物体A，细线通过两光滑定滑轮与小球B连接，斜面上方的线与斜面平行，当小球B竖直下垂静止时，物块A刚好静止在斜面上；当小球B在水平面内做匀速圆周运动时，物块A也刚好能静止于斜面上。已知此时悬线长为L，与竖直方向的夹角φ=60°，B物体的质量为m，重力加速度为g，求：
（1）B在水平面内做匀速圆周运动的周期；
（2）A物体的质量。
【答案】（1）2π2Lg；（2）3m
【解析】
（1）对小球受力分析，如图所示，由解析图可得F=mgtan60∘=3mg
B在水平面内做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律，则有F=m4π2TLsin60∘
解得T=2π2Lg
（2）当小球B竖直下垂静止时，物块A刚好静止在斜面上，设物块A的质量为M，由题意可知，此时物块A与斜面间的静摩擦力方向向上，由平衡条件可知mg+Ff=Mgsin30°
解得Ff=12Mg−mg
由解析图可知F1=mg2+3mg2=2mg
当小球B在水平面内做匀速圆周运动时，物块A也刚好能静止于斜面上，此时物块A与斜面间的摩擦力方向向下，由平衡条件可得2mg=Mgsin30∘+Ff
联立解得 M=3m
考点二 水平面内圆周运动的临界问题
1.在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键．
2.常见的临界状态和临界条件
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
3．临界问题的分析方法
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
17．如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ。若最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，要使a不下落，圆筒转动的转速n至少应为（ ）
A．12πμgrB．2πμgrC．12πgμrD．2πμrg
【答案】C
【解析】
要使得小物块不下落，必须使得最大静摩擦力大于等于重力，因此当转速最小时，最大静摩擦力等于重力，则mg=μFN FN=mv2r n=v2πr
解得n=12πgμr 故选C。
(多选)如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的张力一定不为零
B．桶对物块的弹力一定不为为零
C．若转动的角速度增大，桶对物块的弹力保持不变
D．若转动的角速度减小，绳的张力可能不变也可能减小
【答案】AD
【解析】
A．当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，不可能为零，A正确；
B．由于桶的内壁光滑，绳的拉力沿竖直向上的分力与重力平衡，若绳的拉力沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力可能为零，B错误；
C．由题图知，若它们以更大的角速度一起转动，则绳子与竖直方向的夹角不变，因为绳的拉力竖直方向的分力与重力平衡，绳子拉力不变，水平方向的分力大小不变，物块所需向心力增大，则桶对物块的弹力会增大，C错误；
D．当转动的角速度减小，物块所需的向心力从大于绳子拉力在水平方向的分力减小到恰好等于绳的拉力沿水平方向的分力过程中，绳子拉力大小不变，若物块所需的向心力从恰好等于绳的拉力沿水平方向的分力继续减小，则物块不再贴着圆桶内壁，绳子与竖直方向夹角减小，设为θ，
根据竖直方向平衡条件可得Tcsθ=mg可得T=mgcsθ θ减小，绳子拉力T减小，D正确。故选AD。
19．（2022·重庆第二外国语学校高三期末）(多选)如图，小球（可视作质点）和a、b两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中b绳长Lb=2m，小球随杆一起在水平面内匀速转动．当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角θ1=45°,θ2=60°,g=10m/s2。若a、b两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是（ ）
A．3.5m/sB．4m/sC．4.5m/sD．5m/s
【答案】CD
【解析】
当a绳恰好拉直，但Tb=0时，细杆的转动角速度为v1，
有Tacs45°=mg Tasin45°=mv12Lbsin60°
解得v1≈4.16m/s
当b绳恰好拉直，但Ta=0时，细杆的转动角速度为v2，
有Tbcs60°=mg Tbsin60°=mv22Lbsin60°
解得v2≈5.48m/s
要使两绳都拉紧4.16m/s≤v≤5.48m/s故选CD。
20.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．当ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D．当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
【答案】BC
【解析】
转速较小时， 小球紧贴圆锥面，则FTcs θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcs θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当转速达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mω02lsin θ，解得ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球已经离开斜面，小球受重力、拉力的作用，D错误．
21．如图，水平桌面中心O处有一个小孔，用细绳穿过光滑小孔，绳两端分别连接质量M=2kg的物体A和m=1kg的物体B，A到圆孔的距离为0.5m。（物体可以看成质点，g取10m/s2）
（1）如果水平桌面光滑且固定，要使物体B能静止，求A物体做匀速圆周运动的线速度v0的大小；
（2）如果水平桌面粗糙，物体A与水平桌面间摩擦因数为μ=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使此水平桌面绕过O点的竖直轴匀速转动，则其角速度ω在什么范围内，A可与水平桌面保持相对静止状态？
【答案】（1）52m/s；（2）2rad/s⩽ω⩽4rad/s
【解析】
若水平桌面光滑固定，则A做圆周运动靠拉力提供向心力，
则有F=Mv02R F=mg
解得v0=mgRM=52m/s
若水平桌面粗糙，当角速度最大时，
有F+Ffm=Mω12r F=mg Ffm=μMg
代入数据解得ω1=mg+FfmMr=4rad/s
当角速度最小时，有F−Ffm=Mω22r F=mg Ffm=μMg
代入数据解得ω2=mg−FfmMr=2rad/s
所以2rad/s⩽ω⩽4rad/s时A可与平面处于相对静止状态。
考点三 离心运动
1．物体做离心运动的本质：做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。
2．物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力．
离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力
F合和所需向心力(meq \f(v2,r)或mω2r)的大小关系决定．(如图所示)
(1)当F合＝mω2r，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(2)当F合>mω2r，“提供”超过“需要”，物体做近心运动；
(3)当0≤F合22．假设地球吸引月球的万有引力在某一年瞬时突然消失，则月球将（ ）
A．落到地球表面B．静止在地球上空某一点不动
C．沿月亮轨道的切线方向飞出D．沿地球和月亮的连线远离地球飞出
【答案】C
【解析】
假设地球吸引月球的万有引力在某一瞬时，突然消失，月球将沿月球轨道切线方向飞出，做离心运动，故C正确，ABD错误。
23．如图，光滑水平面上，质量为m的小球，在细绳拉力F的作用下，以速度v做半径为r的匀速圆周运动。（ ）
A．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变小，则小球将沿轨迹a运动
B．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变大，则小球将沿轨迹b运动
C．若小球沿顺时针运动到图示位置时，绳子突然断裂，则小球将沿轨迹c运动
D．无论绳子上的力如何变化，小球都将沿圆周运动
【答案】C
【解析】
A．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变小，向心力不足小球做离心运动，则小球将沿轨迹b运动，A错误；
B．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变大，小球做向心运动，则小球将沿轨迹a运动，B错误；
C．若小球沿顺时针运动到图示位置时，绳子突然断裂，向心力消失，小球沿着切线运动，则小球将沿轨迹c运动，C正确；
D．无论绳子上的力如何变化，小球都不能沿圆周运动，D错误。
2.变速圆周运动的特点：合力方向和加速度方向一定不指向圆心，但向心力和向心加速度方向一定指向圆心（时刻改变！！！），分析变速圆周运动向心力的来源时，把物体的受力分解为沿着半径方向和切线方向两个分力，则指向圆心方向的合力提供物体圆周运动的向心力。
3.向心力表达式：Fn＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝mreq \f(4π2,T2)
4.圆周运动动力学分析的主要步骤
(1)确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面、圆心、半径；
(2)分析物体的受力情况，画出受力分析图，用分析出的力确定合力的表达式(沿半径方向指向圆心的合力!)；
(3)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、半径等，确定向心力表达式；
(4)列方程求解（核心方程F合＝F向 ， F合为沿半径方向指向圆心的合力!）
考点一 水平面内的圆周运动
1.向心力的来源及常见的运动模型（向心力表达式以meq \f(v2,r)或mω2r为例）
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.常见的运动模型（向心力表达式以meq \f(v2,r)或mω2r为例）
1.（2022·北京市陈经纶中学高三阶段练习）(多选)有关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
B．如图乙，小球在光滑而固定的竖直圆锥筒内做匀速圆周运动，合力指向运动轨迹的圆心
C．如图丙，小球在细绳作用下做匀速圆周运动，重力与拉力的合力必指向圆心（不计阻力）
D．如图丁，物体M紧贴圆筒壁随圆筒一起做圆周运动，摩擦力提供向心力
2．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是（ ）
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为a方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为d方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为c方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向为d方向
3．如图所示，光滑小球串在三杆夹角均为120°的Y形杆上，三杆结点为O，Y形杆的一杆竖直，并绕该竖直杆匀速旋转，使小球维持在距O点l处，重力加速度为g，则Y形杆旋转的角速度ω为（ ）
A．2g3lB．23g3lC．2glD．23gl
4．（2022·四川眉山·高一期末）自新冠疫情发生以来，无人机已经成为战疫利器之一，如图所示，某质量为m的无人机以恒定速率v在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，半径为R，重力加速度为g。在图示位置，空气对无人机的作用力方向和大小为（ ）
A．竖直向上，F=mgB．水平向右，F=mv2R
C．斜向右上方，F=mg2−v4R2D．斜向右上方，F=mg2+v4R2
5．（2022·广西桂林·高一期末）“空中飞椅”是大型游乐场的常规游乐项目，下图为“空中飞椅”结构简图，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。若座椅和人的总质量为m，不计钢绳的质量，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）。
A．座椅和人受到重力、钢绳的拉力和向心力的作用 B．座椅和人的向心力大小为mω2Lsinθ
C．钢绳的拉力大小为mgcsθ D．转盘匀速转动时，人处于平衡状态
6．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角为θ，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小物块做圆周运动的向心力由陶罐的支持力提供，方向指向O点
B．小物块做圆周运动的向心力大小为mgtanθ，方向与OO′垂直
C．小物块做圆周运动的角速度大小为gtanθR
D．如果转台的转速稍稍增大，小物块相对陶壁有向下的运动趋势
7．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．球B的角速度一定小于球A的角速度 B．球B对筒壁的压力一定大于球A对筒壁的压力
C．球B运动的周期一定大于球A运动的周期 D．球B的线速度一定小于球A的线速度
8.(多选)如图，两弹性轻绳一端系在天花板的O点，另一端分别系着质量均为m的小球a、b，并让两小球都以O′为圆心在同一水平面上做匀速圆周运动。已知两弹性绳的弹力都与其伸长量成正比，且原长恰好都等于OO′，则( )
A．小球a、b的运动周期相同
B．小球a的向心力大于小球b的向心力
C．小球a、b的线速度大小相同
D．弹性绳1的劲度系数大于弹性绳2的劲度系数
9．(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔（小孔光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中P′位置），两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断中正确的是（ ）
A．细线所受的拉力变小 B．小球P运动的角速度变小
C．Q受到桌面的静摩擦力变大 D．小球P运动的向心加速度变大
10．（2022·湖北武汉·模拟）(多选)如图所示，水平转台边缘固定一光滑竖直卡槽，与轻质杆右端固定在一起的轻质小球可以沿卡槽上、下自由移动，由于卡槽的作用，轻质杆始终沿转台的半径方向且保持水平，劲度系数为k=50N/m的轻弹簧一端固定在竖直转轴上，另一端与轻质杆共同连在质量m=0.1kg的小球上，当转台以角速度ω=3rad/s绕转轴匀速转动时，轻弹簧与竖直方向的夹角θ=37°。已知转台半径R=10cm，轻质杆的长度L=4cm，重力加速度g取10m/s，sin37°=0.6，cs37°=0.8下列说法正确的是（ ）
A．轻弹簧的伸长量为103cm B．轻弹簧的伸长量为2.5cm
C．轻质杆中的弹力大小为0.696N D．轻质杆中的弹力大小为7.5N
11．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列判断中正确的是（ ）
=A．A物的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
12．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数均为μ， A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）
A．绳中无拉力时，A、B物体受到的摩擦力大小相等
B．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于μgr
C．若转台转动的角速度为6μgr，则A、B一起相对转台向B离心的方向滑动
D．物体A所受的摩擦力方向一定指向圆心
13．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上（绳子无拉力）。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块b所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（ω2）的变化关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022·山东·模拟预测）如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B及物体 C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度需要满足ω≤μgr D．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
15．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高三阶段练习）如图所示，“V”形光滑支架下端用铰链固定于水平地面上，支架两臂与水平面间夹角θ均为53°，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为l的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，上端与一小球相接触不连接，该臂上端有一挡板。已知小球质量为m，支架每臂长为3l2，支架静止时弹簧被压缩了l3，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO′以角速度ω匀速转动。sin53°=45，cs53°=35，求：
（1）轻弹簧的劲度系数k；
（2）轻弹簧恰为原长时，支架的角速度ω0；
（3）当ω=12ω0及ω=2ω0时轻弹簧弹力的大小。
16．如图所示，倾角为θ=30°的固定斜面上放置一物体A，细线通过两光滑定滑轮与小球B连接，斜面上方的线与斜面平行，当小球B竖直下垂静止时，物块A刚好静止在斜面上；当小球B在水平面内做匀速圆周运动时，物块A也刚好能静止于斜面上。已知此时悬线长为L，与竖直方向的夹角φ=60°，B物体的质量为m，重力加速度为g，求：
（1）B在水平面内做匀速圆周运动的周期；
（2）A物体的质量。
考点二 水平面内圆周运动的临界问题
1.在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键．
2.常见的临界状态和临界条件
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
3．临界问题的分析方法
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
17．如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ。若最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，要使a不下落，圆筒转动的转速n至少应为（ ）
A．12πμgrB．2πμgrC．12πgμrD．2πμrg
(多选)如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的张力一定不为零
B．桶对物块的弹力一定不为为零
C．若转动的角速度增大，桶对物块的弹力保持不变
D．若转动的角速度减小，绳的张力可能不变也可能减小
19．（2022·重庆第二外国语学校高三期末）(多选)如图，小球（可视作质点）和a、b两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中b绳长Lb=2m，小球随杆一起在水平面内匀速转动．当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角θ1=45°,θ2=60°,g=10m/s2。若a、b两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是（ ）
A．3.5m/sB．4m/sC．4.5m/sD．5m/s
20.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．当ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D．当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
21．如图，水平桌面中心O处有一个小孔，用细绳穿过光滑小孔，绳两端分别连接质量M=2kg的物体A和m=1kg的物体B，A到圆孔的距离为0.5m。（物体可以看成质点，g取10m/s2）
（1）如果水平桌面光滑且固定，要使物体B能静止，求A物体做匀速圆周运动的线速度v0的大小；
（2）如果水平桌面粗糙，物体A与水平桌面间摩擦因数为μ=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使此水平桌面绕过O点的竖直轴匀速转动，则其角速度ω在什么范围内，A可与水平桌面保持相对静止状态？
考点三 离心运动
1．物体做离心运动的本质：做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。
2．物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力．
离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力
F合和所需向心力(meq \f(v2,r)或mω2r)的大小关系决定．(如图所示)
(1)当F合＝mω2r，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(2)当F合>mω2r，“提供”超过“需要”，物体做近心运动；
(3)当0≤F合
A．落到地球表面B．静止在地球上空某一点不动
C．沿月亮轨道的切线方向飞出D．沿地球和月亮的连线远离地球飞出
23．如图，光滑水平面上，质量为m的小球，在细绳拉力F的作用下，以速度v做半径为r的匀速圆周运动。（ ）
A．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变小，则小球将沿轨迹a运动
B．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变大，则小球将沿轨迹b运动
C．若小球沿顺时针运动到图示位置时，绳子突然断裂，则小球将沿轨迹c运动
D．无论绳子上的力如何变化，小球都将沿圆周运动
专题27 圆周运动的动力学分析之水平面内的圆周运动
1.匀速圆周运动的特点：线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、转速都恒定不变；合力、向心力、加速度、向心加速度的大小都恒定不变，方向一定始终指向圆心（时刻改变！！！）。
2.变速圆周运动的特点：合力方向和加速度方向一定不指向圆心，但向心力和向心加速度方向一定指向圆心（时刻改变！！！），分析变速圆周运动向心力的来源时，把物体的受力分解为沿着半径方向和切线方向两个分力，则指向圆心方向的合力提供物体圆周运动的向心力。
3.向心力表达式：Fn＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝mreq \f(4π2,T2)
4.圆周运动动力学分析的主要步骤
(1)确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面、圆心、半径；
(2)分析物体的受力情况，画出受力分析图，用分析出的力确定合力的表达式(沿半径方向指向圆心的合力!)；
(3)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、半径等，确定向心力表达式；
(4)列方程求解（核心方程F合＝F向 ， F合为沿半径方向指向圆心的合力!）
考点一 水平面内的圆周运动
1.向心力的来源及常见的运动模型（向心力表达式以meq \f(v2,r)或mω2r为例）
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.常见的运动模型（向心力表达式以meq \f(v2,r)或mω2r为例）
1.（2022·北京市陈经纶中学高三阶段练习）(多选)有关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
B．如图乙，小球在光滑而固定的竖直圆锥筒内做匀速圆周运动，合力指向运动轨迹的圆心
C．如图丙，小球在细绳作用下做匀速圆周运动，重力与拉力的合力必指向圆心（不计阻力）
D．如图丁，物体M紧贴圆筒壁随圆筒一起做圆周运动，摩擦力提供向心力
【答案】BC
【解析】
火车转弯时，刚好由重力和支持力的合力提供向心力时，有mgtanθ=mv2r，
解得：v=grtanθ
火车转弯小于规定速度行驶时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，则火车做近心运动的趋势，所以车轮内轨的轮缘对内轨有挤压，故A错误；
B．小球在光滑而固定的竖直圆锥筒内做匀速圆周运动，合力既向心力，指向运动轨迹的圆心，故B正确；
C．小球在细绳作用下做匀速圆周运动，重力与拉力的合力必指向圆心提供向心力，故C正确；
D．物体M紧贴圆筒壁随圆筒一起做圆周运动，摩擦力平衡重力，弹力提供向心力，故D错误。
2．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是（ ）
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为a方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为d方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为c方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向为d方向
【答案】D
【解析】
A．圆盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力（摩擦力）提供圆周运动向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，沿c的方向，故A错误；
BC．当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b，故BC错误；
D．当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d，故D正确。
3．如图所示，光滑小球串在三杆夹角均为120°的Y形杆上，三杆结点为O，Y形杆的一杆竖直，并绕该竖直杆匀速旋转，使小球维持在距O点l处，重力加速度为g，则Y形杆旋转的角速度ω为（ ）
A．2g3lB．23g3lC．2glD．23gl
【答案】A
【解析】
小球在水平面内做匀速圆周运动，圆周半径为r=lsin60°=32l
小球所受的合力提供向心力，即Fn=mgtan30°=33mg
由向心力公式Fn=mω2r
可得ω=Fnmr=33mg32ml=2g3l 故选A。
4．（2022·四川眉山·高一期末）自新冠疫情发生以来，无人机已经成为战疫利器之一，如图所示，某质量为m的无人机以恒定速率v在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，半径为R，重力加速度为g。在图示位置，空气对无人机的作用力方向和大小为（ ）
A．竖直向上，F=mgB．水平向右，F=mv2R
C．斜向右上方，F=mg2−v4R2D．斜向右上方，F=mg2+v4R2
【答案】D
【解析】
根据题意，对无人机由牛顿第二定律有F合=mv2R
对无人机受力分析，受重力mg，空气对无人机的作用力F，如图所示
则有F=m2g2+m2v4R2=mg2+v4R2 方向斜向右上方。
5．（2022·广西桂林·高一期末）“空中飞椅”是大型游乐场的常规游乐项目，下图为“空中飞椅”结构简图，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。若座椅和人的总质量为m，不计钢绳的质量，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）。
A．座椅和人受到重力、钢绳的拉力和向心力的作用 B．座椅和人的向心力大小为mω2Lsinθ
C．钢绳的拉力大小为mgcsθ D．转盘匀速转动时，人处于平衡状态
【答案】C
【解析】
A．由题意可知，座椅和人受到重力、钢绳的拉力作用，如图所示，向心力是效果力，并不是座椅和人受到的力，即是重力与钢绳拉力的合力，A错误；
B．当转盘以角速度ω匀速转动时，座椅和人的向心力大小由牛顿第二定律可为F=mω2r+Lsinθ
B错误；
C．由解析图可知，钢绳的拉力大小为T=mgcsθC正确；
D．转盘匀速转动时，人随转盘一起做匀速圆周运动，有向心加速度，由牛顿第二定律可知，人受的合力不等于零，不是处于平衡状态，D错误。
6．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角为θ，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小物块做圆周运动的向心力由陶罐的支持力提供，方向指向O点
B．小物块做圆周运动的向心力大小为mgtanθ，方向与OO′垂直
C．小物块做圆周运动的角速度大小为gtanθR
D．如果转台的转速稍稍增大，小物块相对陶壁有向下的运动趋势
【答案】B
【解析】
小物块受力情况如图
A．小物块做圆周运动的向心力由重力和陶罐的支持力的合力提供，方向与OO′垂直，A错误；
B．由受力分析可知，小物块做圆周运动的向心力大小为mgtanθ，方向与OO′垂直，B正确；
C．设小物块做圆周运动的半径为r，满足mgtanθ=mω2r=mω2Rsinθ
得ω=gtanθRsinθ=gRcsθ所以C错误；
D．如果转台转速稍稍增大，小物块相对陶壁有沿壁斜向上的运动趋势，D错误。
7．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．球B的角速度一定小于球A的角速度 B．球B对筒壁的压力一定大于球A对筒壁的压力
C．球B运动的周期一定大于球A运动的周期 D．球B的线速度一定小于球A的线速度
【答案】D
【解析】
A．对A和B球受力分析如图所示
由于两个小球所受合力都指向圆心，可知FA心=mgtanθ=FB心
根据牛顿第二定律F向=mω2r
可知运动轨道半径越小，角速度越大，A错误；
B．小球对筒壁的压力FN=mgsinθ
可知两球对筒壁压力相等，B错误；
C．根据F向=m(2πT)2r
可知轨道半径越小，周期越短，因此C错误；
D．根据F向=mv2r
可知轨道半径越小线速度越小，D正确。故选D。
8.(多选)如图，两弹性轻绳一端系在天花板的O点，另一端分别系着质量均为m的小球a、b，并让两小球都以O′为圆心在同一水平面上做匀速圆周运动。已知两弹性绳的弹力都与其伸长量成正比，且原长恰好都等于OO′，则( )
A．小球a、b的运动周期相同
B．小球a的向心力大于小球b的向心力
C．小球a、b的线速度大小相同
D．弹性绳1的劲度系数大于弹性绳2的劲度系数
【答案】AD
【解析】
设弹性轻绳与竖直方向的夹角为θ，原长为L，
小球受到绳子的弹力和重力的合力提供向心力，有mgtan θ＝meq \f(4π2,T2)L·tan θ＝meq \f(v2,Ltan θ)，解得运动周期为T＝2π eq \r(\f(L,g))，线速度为v＝eq \r(gL)·tan θ，则小球a、b的运行周期相同，线速度大小不等，故A正确，C错误。小球a的绳与竖直方向的夹角小，所以小球a的向心力小于小球b的向心力，故B错误。轻绳的弹力F＝eq \f(mg,cs θ)，轻绳的伸长量x＝eq \f(L,cs θ)－L，根据胡克定律可知，弹性绳的劲度系数k＝eq \f(F,x)＝eq \f(mg,L1－cs θ)，小球a的绳与竖直方向的夹角小，弹性绳1的劲度系数大于弹性绳2的劲度系数，故D正确。
9．(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔（小孔光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中P′位置），两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断中正确的是（ ）
A．细线所受的拉力变小 B．小球P运动的角速度变小
C．Q受到桌面的静摩擦力变大 D．小球P运动的向心加速度变大
【答案】CD
【解析】
ABC．设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L。P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图
则有 FT=mgcsθ mgtanθ=mω2Lsinθ
解得角速度ω=gLcsθ 周期T=2πω
使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，csθ减小，则细线拉力FT增大，角速度增大，周期T减小。对Q球，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力变大，故AB错误，C正确；
D．小球P运动的向心加速度为a=gtanθ
因θ增大，则向心加速度变大，故D正确；故选CD。
10．（2022·湖北武汉·模拟）(多选)如图所示，水平转台边缘固定一光滑竖直卡槽，与轻质杆右端固定在一起的轻质小球可以沿卡槽上、下自由移动，由于卡槽的作用，轻质杆始终沿转台的半径方向且保持水平，劲度系数为k=50N/m的轻弹簧一端固定在竖直转轴上，另一端与轻质杆共同连在质量m=0.1kg的小球上，当转台以角速度ω=3rad/s绕转轴匀速转动时，轻弹簧与竖直方向的夹角θ=37°。已知转台半径R=10cm，轻质杆的长度L=4cm，重力加速度g取10m/s，sin37°=0.6，cs37°=0.8下列说法正确的是（ ）
A．轻弹簧的伸长量为103cm B．轻弹簧的伸长量为2.5cm
C．轻质杆中的弹力大小为0.696N D．轻质杆中的弹力大小为7.5N
【答案】BC
【解析】
AB．设弹簧的原长和拉伸后的长度分别为l0、l1，由几何关系可得l1sinθ=R−L
小球做匀速圆周运动，竖直方向满足Fcsθ=mg
又F=k(l1−l0)
联立解得l1=10cm l0=7.5cm F=1.25N 轻弹簧的伸长量为2.5cm，选项A错误，B正确；
CD．水平方向由牛顿第二定律可得 Fsinθ−T=mrω2
其中 r=R−L
联立解得轻杆上的拉力大小为 T=0.696N 选项C正确，D错误；
11．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列判断中正确的是（ ）
A．A物的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
【答案】C
【解析】
A．三物体均相对圆盘静止，角速度相同；由于C物体的转动半径最大，根据a=rω2，C物体的向心加速度最大，故A项错误；
B．B物体所受摩擦力fB=mRω2
C物体所受摩擦力fC=m⋅2Rω2故B项错误；
CD．A物体恰相对圆盘静止时k⋅2mg=2mRωA2
B物体恰相对圆盘静止时kmg=mRωB2
C物体恰相对圆盘静止时kmg=m⋅2RωC2
解得ωC<ωB=ωA
所以C物体最先滑动，A、B两物体同时滑动，故C项正确，D项错误。
12．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数均为μ， A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）
A．绳中无拉力时，A、B物体受到的摩擦力大小相等
B．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于μgr
C．若转台转动的角速度为6μgr，则A、B一起相对转台向B离心的方向滑动
D．物体A所受的摩擦力方向一定指向圆心
【答案】C
【解析】
A．绳中无拉力时，两物体所受的静摩擦力提供向心力，由于向心力大小不等，所以摩擦力大小也不相等，故Ａ错误。
B．由于A物体的旋转半径大，所以A物体相对转台的摩擦力先达到滑动摩擦力，此时有μmg=1.5mω2r
解得ω>2μg3r
即当ω>2μg3r时，绳中有拉力，故B错误。
CD．当ω>2μg3r后，对A、B分别有FT+FfA=1.5mω2r FT+FfB=2mω2r
联立解得FfB−FfA=0.5mω2r
当转台的转速小时，所受的摩擦力均为静摩擦力， 当A的摩擦力达到滑动摩擦力后，随角速度的增大，B所受的静摩擦力增大，直到达到滑动摩擦力，之后A的摩擦力先减少，再反向增大，最后达到滑动摩擦力时，A、B一起相对转台向B离心的方向滑动，滑动时有 2μmg+μmg=0.5mω2r
解得 ω=6μgr 故D错误，C正确。 故选C。
13．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上（绳子无拉力）。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块b所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（ω2）的变化关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
转动过程中a、b角速度相同，当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，绳子拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为fa=mraω2，fb=mrbω2
因为rb>ra，故fb>fa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f0时绳子开始出现拉力，此后b受到的摩擦力保持不变，故fb−ω2图像刚开始为一段过原点的倾斜直线（斜率为mrb），后为水平直线（大小恒为f0）。故选A。
14．（2022·山东·模拟预测）如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B及物体 C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度需要满足ω≤μgr D．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
【答案】B
【解析】
AB．由于物体 A、B及物体 C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，则B对A的摩擦力有0
CD．若物体A达到最大静摩擦力，则3μmg=3mω12r
解得ω1=μgr
若转台对物体B达到最大静摩擦力，对AB整体有5μmg=5mω22r
解得ω2=μgr
若物体C达到最大静摩擦力，则μmg=mω32×1.5r
解得ω3=2μg3r
可知ω1=ω2>ω3
由于物体 A、B及物体 C均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3=2μg3r
该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C物体，CD错误。故选B。
15．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高三阶段练习）如图所示，“V”形光滑支架下端用铰链固定于水平地面上，支架两臂与水平面间夹角θ均为53°，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为l的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，上端与一小球相接触不连接，该臂上端有一挡板。已知小球质量为m，支架每臂长为3l2，支架静止时弹簧被压缩了l3，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO′以角速度ω匀速转动。sin53°=45，cs53°=35，求：
（1）轻弹簧的劲度系数k；
（2）轻弹簧恰为原长时，支架的角速度ω0；
（3）当ω=12ω0及ω=2ω0时轻弹簧弹力的大小。
【答案】（1）k=12mg5l；（2）ω0=20g9l；（3）36mg55；0
【解析】
（1）受力分析如图
支架静止时弹簧被压缩了l3 kl3=mgsinθ 解得 k=12mg5l
（2）轻弹簧恰为原长时，如图所示，支架的角速度ω0 mgtanθ=mω02lcsθ 解得ω0=20g9l
（3）当ω=12ω0时，弹簧处理压缩态Ncsθ+kxsinθ=mg Nsinθ−(kx)csθ=mω2(l−x)csθ
解得轻弹簧弹力kx=36mg55
当ω=2ω0时弹簧脱离接触kx=0N
16．如图所示，倾角为θ=30°的固定斜面上放置一物体A，细线通过两光滑定滑轮与小球B连接，斜面上方的线与斜面平行，当小球B竖直下垂静止时，物块A刚好静止在斜面上；当小球B在水平面内做匀速圆周运动时，物块A也刚好能静止于斜面上。已知此时悬线长为L，与竖直方向的夹角φ=60°，B物体的质量为m，重力加速度为g，求：
（1）B在水平面内做匀速圆周运动的周期；
（2）A物体的质量。
【答案】（1）2π2Lg；（2）3m
【解析】
（1）对小球受力分析，如图所示，由解析图可得F=mgtan60∘=3mg
B在水平面内做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律，则有F=m4π2TLsin60∘
解得T=2π2Lg
（2）当小球B竖直下垂静止时，物块A刚好静止在斜面上，设物块A的质量为M，由题意可知，此时物块A与斜面间的静摩擦力方向向上，由平衡条件可知mg+Ff=Mgsin30°
解得Ff=12Mg−mg
由解析图可知F1=mg2+3mg2=2mg
当小球B在水平面内做匀速圆周运动时，物块A也刚好能静止于斜面上，此时物块A与斜面间的摩擦力方向向下，由平衡条件可得2mg=Mgsin30∘+Ff
联立解得 M=3m
考点二 水平面内圆周运动的临界问题
1.在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键．
2.常见的临界状态和临界条件
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
3．临界问题的分析方法
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
17．如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ。若最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，要使a不下落，圆筒转动的转速n至少应为（ ）
A．12πμgrB．2πμgrC．12πgμrD．2πμrg
【答案】C
【解析】
要使得小物块不下落，必须使得最大静摩擦力大于等于重力，因此当转速最小时，最大静摩擦力等于重力，则mg=μFN FN=mv2r n=v2πr
解得n=12πgμr 故选C。
(多选)如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的张力一定不为零
B．桶对物块的弹力一定不为为零
C．若转动的角速度增大，桶对物块的弹力保持不变
D．若转动的角速度减小，绳的张力可能不变也可能减小
【答案】AD
【解析】
A．当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，不可能为零，A正确；
B．由于桶的内壁光滑，绳的拉力沿竖直向上的分力与重力平衡，若绳的拉力沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力可能为零，B错误；
C．由题图知，若它们以更大的角速度一起转动，则绳子与竖直方向的夹角不变，因为绳的拉力竖直方向的分力与重力平衡，绳子拉力不变，水平方向的分力大小不变，物块所需向心力增大，则桶对物块的弹力会增大，C错误；
D．当转动的角速度减小，物块所需的向心力从大于绳子拉力在水平方向的分力减小到恰好等于绳的拉力沿水平方向的分力过程中，绳子拉力大小不变，若物块所需的向心力从恰好等于绳的拉力沿水平方向的分力继续减小，则物块不再贴着圆桶内壁，绳子与竖直方向夹角减小，设为θ，
根据竖直方向平衡条件可得Tcsθ=mg可得T=mgcsθ θ减小，绳子拉力T减小，D正确。故选AD。
19．（2022·重庆第二外国语学校高三期末）(多选)如图，小球（可视作质点）和a、b两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中b绳长Lb=2m，小球随杆一起在水平面内匀速转动．当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角θ1=45°,θ2=60°,g=10m/s2。若a、b两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是（ ）
A．3.5m/sB．4m/sC．4.5m/sD．5m/s
【答案】CD
【解析】
当a绳恰好拉直，但Tb=0时，细杆的转动角速度为v1，
有Tacs45°=mg Tasin45°=mv12Lbsin60°
解得v1≈4.16m/s
当b绳恰好拉直，但Ta=0时，细杆的转动角速度为v2，
有Tbcs60°=mg Tbsin60°=mv22Lbsin60°
解得v2≈5.48m/s
要使两绳都拉紧4.16m/s≤v≤5.48m/s故选CD。
20.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．当ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D．当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
【答案】BC
【解析】
转速较小时， 小球紧贴圆锥面，则FTcs θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcs θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当转速达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mω02lsin θ，解得ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球已经离开斜面，小球受重力、拉力的作用，D错误．
21．如图，水平桌面中心O处有一个小孔，用细绳穿过光滑小孔，绳两端分别连接质量M=2kg的物体A和m=1kg的物体B，A到圆孔的距离为0.5m。（物体可以看成质点，g取10m/s2）
（1）如果水平桌面光滑且固定，要使物体B能静止，求A物体做匀速圆周运动的线速度v0的大小；
（2）如果水平桌面粗糙，物体A与水平桌面间摩擦因数为μ=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使此水平桌面绕过O点的竖直轴匀速转动，则其角速度ω在什么范围内，A可与水平桌面保持相对静止状态？
【答案】（1）52m/s；（2）2rad/s⩽ω⩽4rad/s
【解析】
若水平桌面光滑固定，则A做圆周运动靠拉力提供向心力，
则有F=Mv02R F=mg
解得v0=mgRM=52m/s
若水平桌面粗糙，当角速度最大时，
有F+Ffm=Mω12r F=mg Ffm=μMg
代入数据解得ω1=mg+FfmMr=4rad/s
当角速度最小时，有F−Ffm=Mω22r F=mg Ffm=μMg
代入数据解得ω2=mg−FfmMr=2rad/s
所以2rad/s⩽ω⩽4rad/s时A可与平面处于相对静止状态。
考点三 离心运动
1．物体做离心运动的本质：做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。
2．物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力．
离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力
F合和所需向心力(meq \f(v2,r)或mω2r)的大小关系决定．(如图所示)
(1)当F合＝mω2r，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(2)当F合>mω2r，“提供”超过“需要”，物体做近心运动；
(3)当0≤F合
A．落到地球表面B．静止在地球上空某一点不动
C．沿月亮轨道的切线方向飞出D．沿地球和月亮的连线远离地球飞出
【答案】C
【解析】
假设地球吸引月球的万有引力在某一瞬时，突然消失，月球将沿月球轨道切线方向飞出，做离心运动，故C正确，ABD错误。
23．如图，光滑水平面上，质量为m的小球，在细绳拉力F的作用下，以速度v做半径为r的匀速圆周运动。（ ）
A．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变小，则小球将沿轨迹a运动
B．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变大，则小球将沿轨迹b运动
C．若小球沿顺时针运动到图示位置时，绳子突然断裂，则小球将沿轨迹c运动
D．无论绳子上的力如何变化，小球都将沿圆周运动
【答案】C
【解析】
A．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变小，向心力不足小球做离心运动，则小球将沿轨迹b运动，A错误；
B．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变大，小球做向心运动，则小球将沿轨迹a运动，B错误；
C．若小球沿顺时针运动到图示位置时，绳子突然断裂，向心力消失，小球沿着切线运动，则小球将沿轨迹c运动，C正确；
D．无论绳子上的力如何变化，小球都不能沿圆周运动，D错误。
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