九年级数学下册专题01相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(原卷版+解析)

这是一份九年级数学下册专题01相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了 “A”字模型，如图，在中，点分别在上，且．， “X”字模型， “AX”字模型，5．故选等内容，欢迎下载使用。
A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3
1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC).
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．

例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片中，，，，若沿的垂直平分线线前下，则的长为 ．
例3．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______．
例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．
模型2. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD).
2）反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).
3）平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：
4）斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.
例1．（2022·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8B．10C．12D．14
例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
例4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．

下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，
则有，，∴．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．
(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．
模型3. “AX”字模型（“A8”模型）
【模型解读与图示】

图1 图2 图3
1）一“A”一“8”模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2）两“A”一“8”模型
条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：.
3）四“A”一“8”模型
条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
例3.（2023·安徽·九年级期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
课后专项训练
1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．
3．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．
4．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在中，点分别在边上，且，与四边形的面积的比为__________．
6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接，且，则_________．
7．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．
8．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．
9．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．
10．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在中，在上，，．
（1）求证：∽；（2）若，求的值．

11．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是△ABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．
过点C作CM∥DE交AB于点M，则，（依据），
∴＝，
∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即．
情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．…
（1）情况①中的依据指： ；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE:CE＝ ．
12．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：设与之间的距离为，则，．∴．
【探究】(1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．
证明：∵


(2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ．
∴ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ，∴．
(3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．
13．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读材料】
教材习题：如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析：由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取：构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
14．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，；
（ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程：
由测量知，， ，，，
∴，又∵①___________，
∴，∴．
又∵，∴②___________．
故小水池的最大宽度为___________．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
15.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中, , 点 是射线 上的动点, 点 是边 上的动点，且 , 射线 交射线 于点 ．
（1）如图 1, 如果 , 求 S△ADES△ODB 的值；
（2）联结, 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）当点在边上时, 联结, 求线段的长．
16．（2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
17．（2023·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．
（1）求证：AD＝DE；（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．
18．（2023·河南省淮滨县九年级期中） 如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．

（1）当时，如图，延长，交于点，①的长为________；②求证：．
（2）当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为________；________；
（3）当时，求的正弦值．
专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．
A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3
1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC).
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC，，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，
所以DE∥BC，所以△ADE∽△ABC∴ ∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案为：8．
【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．
例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片中，，，，若沿的垂直平分线线前下，则的长为 ．

【答案】
【分析】勾股定理求得，根据垂直平分线的性质得出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】在中，，，，∴，
∵是的垂直平分线，∴，，∴，
又∵，∴∴,∴解得：,故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
例3．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______．
【答案】1∶3
【分析】先设四边形和四边形的边长为x，然后根据AEM∽ABC可得，进而可求得AP＝2.5，EM＝5，然后分别求得S△AEM＝，S△ABC＝25，即可求得S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝，由此可得答案．
【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，
∴设四边形和四边形的边长为x，
则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x，
∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x，
∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得：x＝2.5，
∴AP＝2.5，EM＝5，∴S△AEM＝＝，
又∵S△ABC＝＝25， ∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝25－＝，
∴S△AEM∶S四边形BCME＝∶＝1∶3，故答案为：1∶3．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．
【答案】见解析
【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；
∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴,，∴．
模型2. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD).
2）反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).
3）平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：
4）斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.
例1．（2022·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，，则．
【详解】∵平行四边形ABCD∴，AD=BC
∵E为边AD的中点∴BC=2AE
∵∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF
如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，
则，
∴， ∵△AEF的面积为2∴故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．
例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD∴，∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，
∴，∴，
∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，
∵AE∥DF∴，∴； ∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，
∵AB＞FA，∴∴D选项不正确，符合题目要求． 故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴；
∴；

（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴；
∴；
（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，
∵，∴△OEF∽△OAM，∴，
设，则，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线，
∴，∴△OGF∽△OHN，∴，
∵OG=2GH，∴，∴，
∴，，∴，
由（2）可知．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
例4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．

下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，
则有，，∴．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．
(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【分析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入进而可证成立；
（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G，由题意可知，，代入求值即可；
（3）如图5，分别过作 ，由题意可知，，，有，，对计算求值即可．
(1)证明：如图，过点作，交的延长线于点

∴
故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE
∴ ∵∴．
(2)解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G∴由题意可知
∵D是BC的中点，为等边三角形∴，
在中∵
∴解得故答案为：．
(3)解：如图5，分别过作
∵图5同图1，故可知∵F为AB中点，CD=BC，∴
∵ ∴∴
∴
∵∴四边形BCEF的面积为故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形相似，等边三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于证明三角形相似．
模型3. “AX”字模型（“A8”模型）
【模型解读与图示】

图1 图2 图3
1）一“A”一“8”模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2）两“A”一“8”模型
条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：.
3）四“A”一“8”模型
条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
例2．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
【答案】（1）3；（2），证明见解析
【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解；
（2）根据题意分别证明，问题可证．
【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，，
，，
，，，
，，，
，，．
（2）当，时，由（1）可得
，，，，
，，，
又，，
，，，
，，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
例3.（2023·安徽·九年级期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【详解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，
∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，
∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；
（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，
∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；
（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，
同理，，，∴＝，
∴，即；
（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，
∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，
∴，∴EM＝，∴，
∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．
课后专项训练
1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再
根据外径的长度解答．
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．
【答案】
【分析】易证△AEF∽△ABC，得即即可求解．
【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，
∴，即
∵，，，∴，∴EF=，故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
3．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．
【答案】27
【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，∽，，，：：，
：：，即：：，．故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
4．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
【答案】18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18．
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．
5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在中，点分别在边上，且，与四边形的面积的比为__________．
【答案】
【分析】先证明，再根据相似三角形的性质，即可得到，进而即可求解．
【详解】解：∵，∴ ∴
∵∠B=∠B，∴，∴
∴与四边形的面积的比=．故答案是：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接，且，则_________．
【答案】6
【分析】过点D作DM⊥AF，可证明∠NDM=∠GDM，从而得，DN=DG，设DN=DG=x，列出比例式，求出x的值，进而即可求解．
【详解】解：过点D作DM⊥AF，则∠MAD+∠ADM=90°，
∵在矩形中，∠ADM+∠CDM=90°，∴∠MAD=∠CDM，∵AD∥BF，∴∠F=∠MAD，
∵，∴∠MAD=，∴∠CDM=，∴∠NDM=∠GDM，
∵∠NMD=∠GMD=90°，DM=DM，∴，∴DN=DG，
∵，，∴，设DN=DG=x，
∵AB∥CD，∴，∴，即：，解得：x=2，∴DN=DG=2，
∵AD∥BF，∴，∴，即：，解得：CF=6，故答案是：6．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，证明，是解题的关键．
7．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．
【答案】
【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．
【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB，
∴，∴即,
又∵，∴，解得,故填：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．
8．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．
【答案】1.2
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴3，故答案是：1.2．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键．
9．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．
【答案】2
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．
【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，∴EF＝AF，CE＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中
，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，
∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，
∴ ，∵BE＝8，∴ ，解得：GE＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
10．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在中，在上，，．

（1）求证：∽；（2）若，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是△ABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．
过点C作CM∥DE交AB于点M，则，（依据），
∴＝，
∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即．
情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．…
（1）情况①中的依据指： ；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE:CE＝ ．
【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）见解析；(3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理即可解决问题．
【详解】解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．
则有＝，＝，∴＝，
∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，∴＝1．
（3）∵＝1，AD:DB＝CF:FA＝2:3，
∴＝1，∴=．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：设与之间的距离为，则，．∴．
【探究】(1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．
证明：∵


(2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ．
∴ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ，∴．
(3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，由此即可得证；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；
（3）过点作于点，过点作于点，先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案．
(1)证明：，，．
(2)证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
．．．
由【探究】（1）可知，．
(3)解：过点作于点，过点作于点，则，
，，，
点所对应的刻度值分别为5，，0，
，，，
又，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
13．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读材料】
教材习题：如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析：由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取：构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
【答案】(1)见解析；(2)；【灵活应用】，
【分析】（1）过点作，证，即可得点是的中点；
（2）过点作，可证，得，由，，得，再证，可得，由平行线分线段成比例得，由，可得，，即可得出；
[灵活应用]：由题意可得，过点作，则，可得，进而可得，证，可知，过点作，则，，可得点在以为直径的半圆上运动，可求得运动的路径长度，过点作，则，，则点在以为直径的半圆上运动，可知扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：，，
，
过点作，则，，

是等腰直角三角形，则，，，
，，
又，，，点是的中点；
（2）过点作，则，

，，则，，
，，，，
又，，，
， ，则，
，；
[灵活应用]：是半圆的直径，点是半圆上一点，，
过点作，则，

，，
，，，
又，，，
过点作，则，，，
，，，则，
，点在以为直径的半圆上运动，
运动的路径长为： 过点作，则，，

，，点在以为直径的半圆上运动，
则扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差，
即：扫过的面积为故答案为：，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，圆周角定理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
14．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，；
（ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程：
由测量知，， ，，，
∴，又∵①___________，
∴，∴．
又∵，∴②___________．
故小水池的最大宽度为___________．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】(1)①；②(2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为，见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
【详解】（1）∵， ，，，∴，
又∵，∴，∴．
又∵，∴．故小水池的最大宽度为．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得，故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；

（ⅱ）用皮尺测得．求解过程：由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．在中，，
即，所以．同理，．在中，，
即，所以．所以．
故小水池的最大宽度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．
15.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中, , 点 是射线 上的动点, 点 是边 上的动点，且 , 射线 交射线 于点 ．
（1）如图 1, 如果 , 求 S△ADES△ODB 的值；
（2）联结, 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）当点在边上时, 联结, 求线段的长．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，
∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8；
∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED，
∴，∴S△ADES△ODB=0.32=0.09．
（2）∵ 是以为腰的等腰三角形，∴AE＝OE，
∵OC＝OE，∴设AE＝OE＝OC=x，
由（1）得，△ABC∽△OEC，∴，∴，
解得，，经检验，是原方程的解；则的长是为．

（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°，
∴A、B、O、E四点共圆，∴∠DBE＝∠AOD，∵，∴，
∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴，，∴，
设OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴，∴，
解得，，∴∴，
解得，，（舍去），则的长是为．
16．（2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或
【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；
（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；
（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．
【详解】解：（1）如图1，
在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，， ∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，
∴, ∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，
∴， ∴BN＝10；
（2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在，
∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，
当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，
∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，
当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，
∴BM＝9﹣2x，由得，，
∴， ∴y＝＝＝；
如图3，
当3＜x＜4.5时，由得，
∴CN＝， ∴y＝＝；
（3）如图4，∵，∴， ∴CG＝CB＝2， ∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，

当BM＝BE＝5时，9﹣2x＝5，∴x＝2，
如图5，当EM＝EB＝5时，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=，
如图6，当EM＝BM时，作MH⊥BE于H，
在Rt△BMH中，BH＝，cs∠MBH＝cs∠BEG＝，
∴BM＝，∴9﹣2x＝， ∴x＝，综上所述：x＝2或或．
【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键．
17．（2023·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．
（1）求证：AD＝DE；（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到， ，得到，整理得到 CE2＝AE•EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．
【详解】证明：（1）∵BC2＝CE•CA，∴，又∠ECB＝∠BCA，
∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，
∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，
∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；
（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，如图，
∵DF⊥AC，AC⊥BC，∴∠DFE＝∠BCA＝90°，∴DF∥BC，∴，
∵DC∥AB，∴，∴，∴CE2＝AE•EF，
∵AD＝DE，DF⊥AC，∴AF＝EF，∴CE2＝AE•AF．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2023·河南省淮滨县九年级期中） 如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．

（1）当时，如图，延长，交于点，①的长为________；②求证：．
（2）当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为________；________；
（3）当时，求的正弦值．
【答案】（1）①12；②见解析；（2），；（3）或．
【分析】（1）①根据△ABE∽△FCE，可得，即＝1，进而得到CF的长；②根据四边形ABCD为正方形，可得∠F＝∠BAF，由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，即可得出∠F＝∠MAF，进而得到AM＝FM．
（2）根据∠CAE＝∠CFE，可得FC＝AC，再根据等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，即可得到CF的长为12；由折叠可得，BE＝B'E，再根据等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，即可得出；
（3）分两种情况讨论：①点E在线段BC上，②点E在BC的延长线上，分别设DM＝x，根据Rt△ADM中，AM2＝AD2＋DM2，得到关于x的方程，求得x的值，最后根据进行计算即可．
【详解】解：①如图，由可得：，

∴，即，∴的长为．故答案为：．
②证明：∵四边形为正方形，∴，∴，
由折叠可知：，∴，∴．
（2）如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，
由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，∴∠CAE＝∠CFE，∴FC＝AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，∴CF＝12，即CF的长为12，
由折叠可得，BE＝B'E，∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，
∴；故答案为：；；
①当点在线段上时，如图3，的延长线交于点，
由可得：，∴，即，∴，
由②可知．设，则，则，
在中，，即，解得：，
则，∴．
②当点在的延长线上时，如图4
由可得：，∴，即，∴，
则，设，则，
在中，，即，解得：，
则，∴．
综上所述：当时，的正弦值为或．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题（3）的关键是运用分类讨论思想，依据勾股定理列方程进行计算求解，解题时注意分类思想与方程思想的运用．