河北省部分高中2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省部分高中2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．集合,,若的充分条件是,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．复数的虚部是( )
A.-8B.C.8D.
3．如图在中，点D、E分别在边AB、BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则( )
A.-1B.C.D.
4．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务,每名志愿者只去一个场地,每个场地至少一名志愿者,若甲不去游泳场地,则不同的安排方法共有( )
A.12种B.18种C.24种D.36种
5．把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到图象关于原点对称的函数，则( )
A.B.为的一个对称中心
C.D.为的一条对称轴
6．已知函数的定义域为R，且，，则( )
A.B.为奇函数C.D.的周期为3
7．已知曲线，则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为中点，则r的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．直三棱柱中，点D是的中点，，
，点P为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是( )
A.
B.直线与直线所成角的余弦值是
C.点到平面的距离是
D.线段长的最小值是
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是( )
A.圆M上的点到原点的最大距离为
B.圆M上存在三个点到直线的距离为
C.若点在圆M上，则的最小值是
D.若圆M与圆有公共点，则
11．已知有三个不相等的零点，，且，则下列命题正确的是( )
A.存在实数k，使得
B.
C.
D.为定值
三、填空题
12．中，，，.则角A角分线的长为____.
13．某校高二学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______.(结果用分数表示)附参考数据：；；.
14．数列中，，.设是函数（且）的极值点.若表示不超过x的最大整数，则________.
四、解答题
15．为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.
(1) 求a的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件，求至少有一件的指标值在的概率；
(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为X，求X的分布列与数学期望.
16．已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点，在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线与x轴的交点为E，求的面积的最大值.
17．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值集合；
（3）若存在，且，求a的取值范围.
18．在四棱锥中，底面是正方形，若，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点P为四棱锥的侧面内（包含边界）的一点，且四棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值的最小值.
19．已知数列，即当时，，记
（1）求的值.
（2）求当，试用n，k的代数式表示
（3）对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中的元素个数.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意,的充分条件是,则实数m的取值范围是.
故选:B.
2．答案：A
解析：因为，所以复数的虚部是-8，
故选：A.
3．答案：A
解析：连结，
由题意可知，，
所以，则，
所以，所以，，
则，
故，
又，所以，，则，
故选：A
4．答案：C
解析：①游泳场地安排2人,则不同的安排方法有种;
②游泳场地只安排1人,则不同的安排方法有种.所以不同的安排方法有种.
5．答案：D
解析：把函数的图象向右平移个单位长度，
得，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，
得，即，
由函数图象关于原点对称，得，，得，，
由，当时，得，则，故A错误；
因为，故B错误，D正确；
，C错误.
故选：D.
6．答案：C
解析：令，得得或，
当时，令得不合题意，故，所以A错误；
令得，且的定义域为R，故为偶函数，所以B错误；
令，得，所以，
所以，则，则，
所以的周期为6，所以D错误；
令，得，因为
所以，所以，故C正确.
故选：C
7．答案：A
解析：曲线，，
又，当且仅当时取等号，
，
，，
，
的最大值为.
故选：A
8．答案：A
解析：
由题意得双曲线渐近线，，圆，
切点M在双曲线左支和右支之间，由对称性，不妨设切点M在x轴的上方；
设，，，则，，
因为直线的斜率，所以切线斜率.
因为①，②；
②-①得，
可得，
所以 ，，，故.
又在圆上，
所以.
因为切点M在x轴的上方，切线与双曲线交于两点，一条渐近线的斜率为，
所以有，代入，可得，
故，
即.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：在直棱柱中,
在中，，，
可得
，
所以，可得,
又，且两直线在平面内，
可得平面，
由平面,
所以，故必选项A正确；
已知，,
点D到平面的距离为，
所以,
,
所以，
设到平面的距离为h，
则，可得，故C选项正确；
取中点G，连接，又点D是的中点，
在直棱柱中可得，,
所以四边形为平行四边形，
则,，
取中点E,连接，又中点为G，
可得，，
在直角三角形中,
在直角三角形中,
在直角三角形中
在三角形中,
又，，所以直线与直线所成角为的补角，
所以直线与直线所成角的余弦值是，
故选项B错误;
取中点H,连接，，可得，，
又不在平面，在平面，
所以平面，
同理平面，
又,
所以可得平面平面，
所以点P的轨迹为线段，
因为,,
所以在三角形中由余弦定理可得,
可得,
所以,
设B到的距离为d，由等面积法可得
,解得，
可得长的最小值是，
故选项D正确；
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，，
的中点坐标为，，则的垂直平分线方程为，
即“欧拉线”为.
由“欧拉线”与圆相切，
到直线的距离，，
则圆的方程为：，
圆心到原点的距离为，则圆M上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆M上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设过与圆相切的直线方程为，即，
由，解得，的最小值是-1，故C错误；
的圆心坐标，半径为，
圆M的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆M有公共点，则圆心距的范围为，，解得，故D正确.
故选：BD
11．答案：BCD
解析：由方程，可得.
令，则有，即，
令函数，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，作出图象如图所示，
要使关于x的方程有三个不相等的实数解，，，
且，
结合图象可得关于t的方程一定有两个实根，，
且，或，，
令，若，，
则，故，
若，，则，无解，
综上：，故C正确；
由图结合单调性可知，故B正确；
若，则，又，故A不正确；
，
故D正确，
故选：BCD
12．答案：2
解析：在中，，，，
由余弦定理得，
由余弦定理得，
由题意可得，，，
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
①②得，，则，
在中，由余弦定理得.
故答案为：2.
13．答案：
解析：由题意可知，，事件为，，，
所以，，
，
由条件概率公式得，故答案为.
14．答案：1011
解析：，又是的极值点，所以，即，
又，所以，即.
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故.
故，
所以
.
故答案为：1011
15．答案：（1），优质率为；
（2）；
（3）分布列见解析；
解析：（1）因为，所以，
产品质量指标超过130的频率为，
所以这批产品的优质率为
（2）因为质量指标在和的频率分别为0.4和0.3.所以质量指标在产品中抽取7件，则质量指标在有件，质量指标在有件
所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在的概率为.
（3）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为.所以4件产品中优质产品的件数
则，，
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设椭圆方程为，因为，，，解得，，
所以椭圆方程为
（2）由题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，，
设，，，
与椭圆方程联立，消去x得，
所以，即，
由根与系数的关系得，
因为直线的方程为，
令，得，即，
又
，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积存在最大值，最大值是.
17．答案：（1）单调性见解析；
（2）；
（3）
解析：（1），
当时，，所以在R上单调递减；
当时，令，解得，在上单调递减，
令，解得，在上单调递增
（2）因为恒成立，而，所以.
由（1）可知：，
令函数，，
易知在上单调递增，在上单调递减，且，
要使得恒成立，则，即a的取值集合为
（3）由，
可得：.
设函数，，
即在和上存在零点
记是的导数，是的导数，是g的导数.
，，
在上，若，则；
若，则，，矛盾.
因此，为必要条件，下证充分性：
在上，，，，
即先负后正，因此先减后增，
由，，可知：在区间上有唯一零点
在上，g，.
由，，
可知先负后正，因此g先减后增，，，
可知先负后正，先减后增.
由，，可知先正后负，
因此先增后减，由，，
可知在区间上有唯一零点，符合题意
所以a的取值范围为
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取的中点为O，连接，.
因为，，则，
而，，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，且平面，
故平面，因为平面，故平面平面
（2）在平面内，过O作，交于T，因为，则.
结合（1）中的平面，且平面，
则，，故直线，，两两互相垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
故，，
因为，所以，
又因为点P为四棱锥的侧面内的一点（包含边界），
所以点P的轨迹是的中位线，
设，则，，
设与平面所成角为，
则，，
当时，取得最小值，
所以与平面所成角的正弦值的最小值为
19．答案：（1）1504；
（2），；
（3）1024
解析：（1）依题意：
由得，
所以
（2）①当k为奇数时，为偶数，
②当k为偶数时，为奇数，
综上，，；
（3）由（2知）知，当时，
，，，
因为是的整数倍，所以为整数，
所以k为奇数，由得，
所以满足条件的n的个数为，
所以集合中元素的个数为1024.
X
0
1
2
3
4
P