2024成都石室中学高一下学期5月月考试题数学含解析

这是一份2024成都石室中学高一下学期5月月考试题数学含解析，共10页。试卷主要包含了 如图，已知平面，且，已知，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 在正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知平面，且.在梯形中，，且，.则下列结论正确的是（ ）
A.直线与可能为异面直线B.直线相交于一点
C.D.直线与可能为异面直线
4.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5. 雷锋塔，位于杭州西湖，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，雷锋塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ）
A. B. C. D.
6.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在上有最大值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若向量，则向量在向量上的投影向量为
C. 非零向量和满足，则与的夹角为
D. 点，与向量同方向的单位向量为
10.在边长为的正方体中，点是一个动点，且平面，则线段的长度可能是（ ）
A. B. C. D.
11.已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A.B.
C.在复平面内对应的点在实轴上D. 的最大值为
12.设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ）
A. B.
C. D.为偶函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.__________.
14.在中，若，则__________.
15.棱长为的正四面体的外接球的表面积为__________.
16.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值
为__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
已知为虚数单位，复数．
（Ⅰ）当实数取何值时，是实数；
（Ⅱ）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值.
18.（本小题12分）
如图，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求的值．
19.（本小题12分）
如图，在正三棱柱中，是的中点，．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
20.（本小题12分）
如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使位于处，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的大小．
21.（本小题12分）
在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围．
22.（本小题12分）
设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．
（Ⅰ）已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；
（Ⅱ）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届5月月考
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列各组向量中，能作为基底的是（ A ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 在正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（ C ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知平面，且.在梯形中，，且，.则下列结论正确的是（ B ）
A. 直线与可能为异面直线B. 直线相交于一点
C. D. 直线与可能为异面直线
4.已知，则的大小关系为（ D ）
A. B. C.D.
5. 雷锋塔，位于杭州西湖，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，雷锋塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ B ）
A. B. C. D.
6.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ A ）
A. B. C. D.
7. 在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（ C ）
A. B. C. D.
8.已知函数在上有最大值，且在上单调，则的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ BD ）
A. 若，则
B. 若向量，则向量在向量上的投影向量为
C. 非零向量和满足，则与的夹角为
D. 点，与向量同方向的单位向量为
10.在边长为的正方体中，点是一个动点，且平面，则线段的长度可能是（ C D ）
A. B. C. D.
11.已知是复数，且为纯虚数，则（ ABD ）
A.B.
C.在复平面内对应的点在实轴上D. 的最大值为
12.设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ABD ）
A. B.
C. D.为偶函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.__________.
14.在中，若，则_____或_____.
15.棱长为的正四面体的外接球的表面积为__________.
16.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值
为__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
已知为虚数单位，复数.
（Ⅰ）当实数取何值时，是实数；
（Ⅱ）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值.
【解析】
（Ⅰ）若复数是实数，则，……………3分
.……………4分
（Ⅱ）当时，，
把代入方程得：，
整理得：，……………8分
所以，解得.……………10分
18.（本小题12分）
如图所示，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求的值．
【解析】
（Ⅰ）以分别为轴建立平面直角坐标系；
故，……………3分
故；……………6分
（Ⅱ），则，则，
所以点的坐标为，
故，，……………9分
故，
可知当时，取得最小值．……………12分
19.（本小题12分）
如图，在正三棱柱中，是的中点，．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
【解析】
（Ⅰ）连接，设，连接．
由已知得，四边形为正方形，则为的中点.
因为是的中点，
所以．……………4分
又因为平面，
平面，
所以∥平面． ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∥平面，
所以与到平面的距离相等，
所以．……………8分
由题设及，得，且．
所以，
所以三棱锥的体积为． …………………12分
20.（本小题12分）
在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使位于处，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的大小．
【解析】
（Ⅰ） .……………2分
.
，，.
平面.……………6分
（Ⅱ）延长交于，连接.
由(Ⅰ)可知, ,又,
.,
，
平面，又平面
，
平面.
为直线与平面所成的角. ……………9分
在直角三角形中, ,
直线与平面所成的角为.……………12分
21.（本小题12分）
在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围．
【解析】
（Ⅰ），，
，
又，，
，又，，……………6分
（Ⅱ），，
，即平分，……………8分
所以，……………10分
又，，
，，，
．……………12分
22.（本小题12分）
设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．
（Ⅰ）已知函数，
求证：（ⅰ）；（ⅱ）函数为下凸函数；
（Ⅱ）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）（ⅰ）……………3分
（ⅱ）令，则
所以，即函数为下凸函数……………8分
（Ⅱ）因为函数在区间内为上凸函数
则对任意的，有恒成立
因为
则
因为
所以 ……………12分