贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试题

这是一份贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年高一（下）部分学校6月联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A．2B．3C．D．
2．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则或与异面
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形（ ）
6． 下列说法不正确的是（ ）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
7．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，若的余弦距离为．则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正方体中，4，E在线段上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中，真命题为（ ）
A．复数为纯虚数的充要条件是
B．复数的共轭复数为
C．复数的虚部为
D．复数，则
10．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．一定存在实数，使得成立
B．若，那么一定有
C．若，那么
D．若，那么，，一定相互平行
11．已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（ ）
A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，平面内一点，满足的最大值是 .
13．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 ．
14．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
16．为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.
（1）在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？
（2）求的值；
（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
17．已知向量．
（1）若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标；
（2）若向量，且，求向量夹角的余弦值．
18． 在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．
19．如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点.
（1）证明：平面．
（2）求异面直线与CD所成角的余弦值.
（3）在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求的值；若不存出在，说明理由.
答案解析部分
12．
13．
14．0.79
15．（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）解：（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
16．（1）解：因为月均用水量在内的家庭占，
所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户.
（2）解：由频率分布直方图，可得，则，
因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，
所以在，则，解得.
（3）解：估计这500个家庭的月均用水量的平均值为
.
17．（1）解：因为，所以．
因为，所以（，
即，解得，
则向量在向量上的投影向量为，其坐标为．
（2）解：由题意可得．
因为，所以，解得，
所以，则．
因为，所以．
18．（1）解：，，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
又，，则，
，又，
（2）解：点是内一动点，，
，，
，
由余弦定理，可得，
即，所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，；
（3）解：，，
，即平分，
，
所以，
又，，
所以，解得，，
则，则，即，
即．
19．（1）证明：由正三棱柱的定义可知△ABC是等边三角形，平面ABC．
因为平面ABC，所以.
因为△ABC是等边三角形，D为AB的中点，所以.
因为，平面，且，所以平面．
（2）解：如图，取的中点，连接，.易证，
则是异面直线与CD所成的角或补角.
设，则，，，，
故，即异面直线与CD所成角的余弦值为.
（3）解：在中，作，垂足为E.
因为平面，且平面，所以.
因为AB，平面，且，所以平面.
因为平面BCE，所以平面平面.
设，则，，故.
因为，
所以，
则，，
所以.
故在上存在点E，使得平面平面，此时.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
A
A
C
C
C
B,C,D
B,C,
A,C