高中数学解题方法技巧汇总

这是一份高中数学解题方法技巧汇总，共88页。
待定系数法 ………………………………… 14
定义法 ……………………………………… 19
数学归纳法 ………………………………… 23
参数法 ……………………………………… 28
反证法 ……………………………………… 32
消去法 ………………………………………
分析与综合法 ………………………………
特殊与一般法 ………………………………
类比与归纳法 …………………………
观察与实验法 …………………………
高中数学常用的数学思想 …………………… 35
数形结合思想 ……………………………… 35
分类讨论思想 ……………………………… 41
函数与方程思想 …………………………… 47
转化（化归）思想 ………………………… 54
高考热点问题和解题策略 …………………… 59
应用问题 …………………………………… 59
探索性问题 ………………………………… 65
选择题解答策略 …………………………… 71
填空题解答策略 …………………………… 77
附录 ………………………………………………………
高考数学试卷分析 …………………………
两套高考模拟试卷 …………………………
参考答案 ……………………………………
前 言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
第一章 高中数学解题基本方法
配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcsα＝（sinα＋csα）；
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a}中，aa+2aa+aa=25，则 a＋a＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. －1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为___________。
8. 已知〈β1，m∈R，x＝lgt＋lgs，y＝lgt＋lgs＋m(lgt＋lgs),
将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。
二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcsθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·csx＋sinx+csx的最大值是_________。
2.设f(x＋1)＝lg(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程＝3的解是_______________。
6.不等式lg(2－1) ·lg(2－2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+csx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；
2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝lg[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,lg4]；
3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；
4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
6小题：设lg(2－1)＝y，则y(y＋1)0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得 ∴ tax＋的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
函数y＝2x＋的值域是________________。
在等比数列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。
y D C
A B
O x
实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcsx＋4m－10,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
利用对应系数相等列方程；
由恒等的概念用数值代入法列方程；
利用定义本身的属性列方程；
利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
函数y＝a－bcs3x (b0，7－x>0，x>0。
设V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0）
要使用均值不等式，则
解得：a＝， b＝ ， x＝3 。
从而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。
所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
函数y＝lgx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A. 2>a>且a≠1 B. 0