[数学]山西省运城市三晋卓越联盟2023-2024学年高二下学期期中质量检测试题（解析版）

这是一份[数学]山西省运城市三晋卓越联盟2023-2024学年高二下学期期中质量检测试题（解析版），共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，4B， 已知随机变量，若，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围:人教版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知随机变量X的分布列为
则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】由分布列的性质，得，
即，
解得或，
当时，，不符合分布列的性质，所以.
故选：C.
2. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1
【答案】D
【解析】由，
得.
故选：D
3. 已知的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为（ ）
A. －32B. 32.C. －16D. 16
【答案】C
【解析】的展开式的二项式系数之和为，所以，
所以的二项展开式的通项为，
令，得，所以展开式中的系数为.
故选：C.
4. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ）
A. 11B. 12C. 12.5D. 13
【答案】A
【解析】，
因为经验回归方程经过样本中心，
所以，解得故选：A.
5. 已知随机变量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】随机变量，则有，
由，解得，
所以.
故选：.
6. 已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆的定义，可知，

所以当最小时，最大，
由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
当直线AB垂直于轴时，取得最小值，此时，
由解得，此时的离心率.
故选：A.
7. 已知数列满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
，因为对恒成立，
所以，所以的最小值是1.
故选：B.
8. 将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ）
A. 61个B. 65个C. 68个D. 71个
【答案】D
【解析】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，
因为都比大，所以只能为，或.
当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为，
所以有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”；
当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为，
剩余两个数排，有种选法，共有个“数列”；
当时，，从4，5，6，7中选2个数作为有种选法，
剩余2个数为，共有6个“数列”.
综上所述，满足条件的“数列”共有个.
故选：D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ）
A. 公差B.
C. D. 时，最小
【答案】AD
【解析】是等差数列的前项和，
设公差为，，即，
得，
所以，
即，
有，因为，所以，所以，故A正确，B错误；
，故错误；
时，时，所以当时，取得最小值，故D正确.
故选：AD
10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ）
A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法
B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法
C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法
D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法
【答案】ABC
【解析】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确；
若节目与节目不相邻，共有种不同安排方法，故B正确；
因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的，
所以共有种不同的安排方法，故C正确；
添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况，
共有种不同的安排方法，故D错误.
故选：.
11. 若关于的方程恰有三个不同的正实数根，则实数的值可能是（ ）
A. 7B. C. 8D. 9
【答案】CD
【解析】由题意可知：，可得，
因为，可变形为，
令，可得，
因为的定义域为，且，
当时，，
当时，，
可知函数在内单调递增，在内单调递减，
则，
且当时，，
当时，.
令，则，
当时，，
所以是方程的一个正实数根；
当时，令且1，
可得，
则，
两式相减可得，两式相加可得，
则，
整理得，
令，
可得，即关于的方程在内有实根，
令，则在内恒成立，
可知在内单调递增，且，
可知函数与在内有交点，
由图象可知，即，可得，
则，即，
所以实数的取值范围是，
对比选项可知：AB错误，CD正确.
故选：CD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售，经过统计发现销售量（单位:顶）与单价（单位:元）具有线性相关关系，且线性回归方程为，若想要销售量为80顶，则预计该遮阳帽的单价定为_____________元.
【答案】40
【解析】若销售量为80顶，则，解得，所以预计单价应定为40元.故答案为：40
13. 已知函数，点A是的图象上任意一点，过点A且垂直于轴的直线交函数的图象于点，过点A且垂直于轴的直线交函数的图象于点，则的面积的最小值是_____________.
【答案】2
【解析】由题意可知，函数的图象在函数的图象上方，
不妨设，
则，
则，
所以的面积，
令，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以的面积的最小值为.
故答案为：2.
14. 若三点在抛物线上，抛物线的焦点是的重心，则的最大值是____________.
【答案】10
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
不妨设，
则，
所以，
又，
所以当，
即点为坐标原点时，取得最大值10.
故答案为：.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表.
（1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关?
（2）小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率.
附:，其中.
解：（1）
零假设为:小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联，
由列联表中的数据，得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联；
（2）从已订购小米SU7的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，其中小米粉丝有人，非小米粉丝有人.
设3人中恰有2人是小米粉丝为事件，则．
16. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且.
（1）求证:;
（2）若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置.
解：（1）因，所以，
所以，
因为平面平面ABCD，平面平面平面，
所以平面ABCD，
因为平面ABCD，
所以，
因为四边形是矩形，所以，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，
所以，
因为
所以，即；
（2）由（1），得
设为平面的法向量，
则，令，得，所以.
设直线与平面所成角为，
则，
所以，因为，所以，
即是棱PD的中点.
17. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立.
（1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率；
（2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案，
方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验；
方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验.
若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好?
解：（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件，
则
所以.
所以两次实验恰好成功一次的概率.
（2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，
则、的取值均为，，，
所以，
，
，
所以.
，
，
，
所以.
因为，所以方案一略好.
18. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
（1）求双曲线的方程;
（2）已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上.
解：（1）由题意可知，
因为，所以.
设，则，所以，
又，
所以.
所以双曲线的方程为.
（2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾，
所以直线的斜率不能为0，
设的方程为.
联立，化简得
所以，所以，
，
直线AD的方程为，
直线BE的方程为.
联立直线AD与BE的方程，得，
所以，
所以，
所以.
所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上.
19. 我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为.
（1）求;
（2）若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值.
解：（1）.
（2）因为.
所以抽取家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得
所以.
由，得，
令，
则.，
所以，所以数列是递减数列，
因为，
所以整数的最小值是7.
5
10
15
1
2
3
4
5
10
11
13
15
已订购小米SU7
未订购小米SU7
总计
是小米粉丝
80
非小米粉丝
40
80
总计
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
已订购小米SU7
未订购小米SU7
总计
是小米粉丝
80
40
120
非小米粉丝
40
40
80
总计
120
80
200