辽宁省大连市重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份辽宁省大连市重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 满分：150分
第 = 1 \* ROMAN I卷 （选择题, 共60分）
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A. 5 B. C. D. -5
2.已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是《算经十书》中最重要的一种，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积的计算公式为弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称为弧田弦)围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6 m，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为eq \f(7,2) m2，则cs∠AOB＝( )
A．eq \f(1,25) B．eq \f(3,25) C．eq \f(1,5) D．eq \f(7,25)
4．黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，…，解得b＝eq \r(6)，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( )
A．A＝30°,B＝45° B．c＝1，csC＝eq \f(1,3) C．B＝60°，c＝3 D．C＝75°，A＝45°
5.若tan (α＋80°)＝4sin 420°，则tan (α＋20°)的值为( ）
A．－eq \f(\r(3),5) B．eq \f(\r(3),5) C．eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
6.把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转后,重合于向量且模相等,已知,则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是( )
A., B. C. D.
7.在三棱锥A－BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2eq \r(3)的等边三角形，且平面ABC⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为( )
A．8π B．12π C．16π D．20π
8.已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题(共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，全选对得满分，漏选得3分，选错得0分）
9．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若cs A＝cs B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
10.已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，则α的值为( )
A．eq \f(π,16) B．eq \f(11π,16) C．eq \f(9π,16) D．eq \f(7π,16)
11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝eq \f(π,3)，a＝7，则以下判断正确的是（ ）
A.△ABC的外接圆面积是eq \f(49π,3)；B.bcs C＋ccs B＝7；
C.b＋c可能等于16； D.作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是7eq \r(3).
12.已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A.DM与BC不可能垂直
B.BD⊥CM
C.存在一个位置，使△CDM为等边三角形
D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13.已知向量⊥,||=3,则·=
14.已知函数y＝sin (2x＋φ)(－eq \f(π,2)<φ15.若△ABC的面积为eq \f(eq \r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；eq \f(c,a)的取值范围是________．
16.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.
①
②翻折过程中，的长是定值；
③若，则；
④若，当三棱锥的体积最大时，
三棱锥的外接球的表面积是.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.(满分10分）已知函数f(x)＝4tan xsin (eq \f(π,2)－x)cs (x－eq \f(π,3))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上的单调性．
18.(满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A＋ eq \r(3)cs A＝2.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝ eq \f(π,4)；③c＝ eq \r(3)b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
19.(满分12分）设z+1为关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虚根,i是虚数单位.
(1)当z=-1+i时,求p,q的值;
(2)若q=1,在复平面上,设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,试求||的取值范围.
20.(满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知，.
（1）求证：平面平面；
（2）设几何体、的体积分别为、，求.
21.(满分12分）某市规划一个平面示意图为如右图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝eq \f(2π,3)，DE＝4 km，BC＝CD＝eq \r(3) km.
(1)求服务通道BE的长度；
(2)当∠AEB＝eq \f(π,4)时，求赛道BA的长度．
22．(满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，且AD⊥BC，四边形ABB1A1为正方形．
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
(2)若∠BAC＝60°，BC＝4，求点A1到平面AB1D的距离．
2019—2020学年度下学期期末考试
高一数学答案
1——8.CADDDBDC 9.ABD 10.AC 11.ABD 12. BCD
13.9 14. －eq \f(π,6) 15. eq \f(π,3) (2，＋∞) 16.②④
17.(1)f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，
f(x)＝4tan xcs xcs (x－eq \f(π,3))－eq \r(3)＝4sin xcs (x－eq \f(π,3))－eq \r(3)＝4sin x(eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x)－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sin (2x－eq \f(π,3))．所以，f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z.
所以，当x∈[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]时，f(x)在区间[－eq \f(π,12)，eq \f(π,4)]上单调递增，在区间[－eq \f(π,4)，－eq \f(π,12)]上单调递减．
18.(1)依题意得2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＝2，即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＝1，∵0(2)参考方案：选择①②.由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，得b＝ eq \f(a sin B,sin A)＝2 eq \r(2).
∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin (A＋B)＝sin A cs B＋cs A sin B＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4)，
∴S△ABC＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)×2×2 eq \r(2)× eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝ eq \r(3)＋1.
19.(1)∵z=-1+i,∴z+1=i,则方程x2+px+q=0的两根分别为i,-i.由根与系数的关系有
∴p=0,q=1;
(2)设z=a+bi(a,b∈R),若q=1,则z+1,是方程x2+px+1=0的两虚数根.则=a+1-bi.由题意可得:(z+1)=(a+1)2+b2=1.令a+1=cs θ,b=sin θ,θ∈[0,2π).
∵复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,∴||=
=∈[4,6].
20.（1）如图,矩形中，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴.又∵为圆的直径，∴，
∵，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.
另解：也可证明平面.
几何体是四棱锥、是三棱锥，
过点作，交于.∵平面平面，
∴平面.
则，
∴
21.解 (1)如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcs∠BCD＝9，∴BD＝3.
∵BC＝CD，∠BCD＝eq \f(2π,3)，∴∠CBD＝∠CDB＝eq \f(π,6)，
又∠CDE＝eq \f(2π,3)，∴∠BDE＝eq \f(π,2)，
在Rt△BDE中，BE＝eq \r(BD2＋DE2)＝5.
故服务通道BE的长度为5 km.
(2)在△BAE中，∠BAE＝eq \f(2π,3)，BE＝5，∠AEB＝eq \f(π,4)，由正弦定理得，eq \f(BE,sineq \f(2π,3))＝eq \f(BA,sineq \f(π,4))，
即eq \f(5,eq \f(eq \r(3),2))＝eq \f(BA,eq \f(eq \r(2),2))，得BA＝eq \f(5eq \r(6),3)，故赛道BA的长度为eq \f(5eq \r(6),3) km.
22.(1)连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为A1B的中点，∵D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.
(2)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC为它们的交线，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，
又∵B1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，且AD＝2eq \r(3)，B1D＝2eq \r(5).
同理可得，过D作DG⊥AB，则DG⊥面ABB1A1，且DG＝eq \r(3).
设A1到平面AB1D的距离为h，由等体积法可得：VA1－AB1D＝VD－AA1B1，即
eq \f(1,3)·eq \f(1,2)·AD·DB1·h＝eq \f(1,3)·eq \f(1,2)·AA1·A1B1·DG，即2eq \r(3)·2eq \r(5)·h＝4·4·eq \r(3)，∴h＝eq \f(4\r(5),5).
即点A1到平面AB1D的距离为eq \f(4\r(5),5).