陕西省西安市陕西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份陕西省西安市陕西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．(5分)命题p：,的否定是（ ）
A．：，B．：，
C．：，D．：，
2．(5分)已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
3．(5分)若,则“”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
4．(5分)色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标,现抽检一批产品测得数据如表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系,且,现有一组测量数据为,则该数据的残差为（ ）
A．1.4B．1.2C．-1.2D．-1.4
5．(5分)从编号为1,2,3,…,10,11的11个球中,取出5个球,使这5个球的编号之和为奇数,其取法总数为（ ）
A．2640B．462C．328D．236
6．(5分)现用甲、乙、丙、丁四台30打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台3D打印机设备在正常工作的状态下,打印出的零件内径尺寸Z(单位：mm)服从正态分布,且．根据要求,正式打印前需要对设备进行调试,调试时,四台设备各试打5个零件,打印出的零件内径尺寸(单位：mm)如下,根据上述信息判断,下列设备不需要调试的是（ ）
A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3
C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3
7．(5分)设随机变量X服从两点分布,若,则（ ）
A．0.21B．0.3C．0.4D．0.7
8．(5分)第14届国际数学教育大会(ICME-Internatinal Cngreasf Mathematics Educatin)在我国上海华东师范大学举行．如图是本次大会的会标,会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4,这是中国古代八进制计数符号,换算成现代十进制是,正是会议计划召开的年份,那么八进制换算成十进制数,则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1B．3C．5D．7
二、多选题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．(多选)(5分)某同学将收集到的六对数据制作成散点图如图,得到其经验回归方程为：,计算其相关系数为,决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为：,相关系数为,决定系数为．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．(多选)(5分)已知实数a,b,c,则下列命题中正确的是（ ）
A．若,,则B．若且,则
C．若,则D．若,则
11．(多选)(5分)已知随机事件A,B的对立事件分别为,B,若,,则（ ）
A．B．
C．若A,B独立,则D．若A,B互斥,则
12．(多选)(5分)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为,表示不超过x的最大整数,例如,．下列命题中正确的有（ ）
A．,
B．,,
C．,
D．,
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13．(5分)已知的展开式中二项式系数和为32,则展开式中的常数项为______．
14．(5分)已知,,,则的最小值是______．
15．(5分)第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办,这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增项目的比赛,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有______种．
16．(5分)设定义在R上的函数的值域为A,若集合A为有限集,且对任意,存在,使得,则满足条件的集合A的个数为______．
四、解答题：本题共5小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(12分)某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会,已知甲班艺术生占比8%,乙班艺术生占比6%,丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位,先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的,,．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
(1)求选到的学生是艺术生的概率；
(2)如果选到的学生是艺术生,判断其来自哪个班的可能性最大．
18．(12分)近年来,我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w(万)如下表：其中年对应的年份代码t为1-5．
(1)判断两个变量是否线性相关,并计算样本相关系数(精确到0.01)；
(2)(ⅰ)假设变量x与变量Y的n对观测数据为两个变量满足一元线性回归模型(随机误差),请写出参数b的最小二乘估计；
(ⅱ)令变量,,则变量x与变量Y满足一元线性回归模型,利用(ⅰ)中结论求y关于x的经验回归方程,并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数,,,,．
19．(12分)软笔书法又称中国书法,是我国的国粹之一,琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术,软笔书法不仅能够陶冶情操,培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力,拓展孩子的思维与手的灵活性,对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数(每人只学习一种书体),得到相关数据统计表如下：
(1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况,得到下表,其中a≤60．
若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关,求该培训机构学习软笔书法的女生的人数．
(2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,记4人中学习行书的人数为X,求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：，．
20．(17分)已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V～240V之间；③超过240V．在上述三种状态下,该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取件,记其中恰有2件不合格品的概率为,求p取得最大值时n的值．
附：若取,．
21．(17分)设函数,是函数的导函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若,试判断在区间上的零点的个数；
(3)若在上恒成立,求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．【解答】解：根据题意,命题p：,是全称量词命题,其否定是：,．
故选：C．
2．【解答】解：,,
则,故．故选：B．
3．【解答】解：A：,不能推出,
但由能推出,故A正确；
B：或,不能推出,由,也不能推出,故B错误；
C：,解得
或,不能推出,由,也能推出,故C错误；
D：,反之时,不一定大于2,如,,故D错误．
故选：A．
4．【解答】解：由题意可知,,
将代入方程,得,
所以,当,,
所以该数据的残差为．故选：D．
5．【解答】解：根据题意,将这11个数分为奇数与偶数两个组,偶数有5个数,奇数有6个数．
若取出的5个数的和为奇数,则取出的5个数必有1个奇数、或3个奇数、或5个奇数．
若有1个奇数时,有种取法,
若有3个奇数时,有种取法,
若有5个奇数,有种结果,
故符合题意的取法共种取法；故选：D．
6．【解答】解：依题意,,,
所以，，
所以打印出来的零件内径尺寸应满足,结合选项可知,不需要调试的为丙．故选：C．
7．【解答】解：因为随机变量X服从两点分布,所以,
又,所以解得,,
所以,．故选：A．
8．【解答】解：八进制
,
∵,,∴的个位是2,的个位是6,的个位是8,
∴8的次方的个位数字以8,4,2,6为一个周期,循环出现,
∴的个位数字为4,∴的个位数字为3．故选：B．
二、多选题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．【解答】解：由图可知两变量呈现正相关,故,,且,,所以选项A正确,B错误．
因为回归直线方程：的斜率大,且经过原来数据组的样本中心点,
回归直线方程：的斜率小,且经过去掉利群点后的数据组样本中心点,
所以,选项C正确,D错误．故选：AC．
10．【解答】解：对于A,因为,所以,又,所以,A错误；
对于B,因为,所以,所以,又,所以,故选项B正确；
对于C,因为,所以,所以,又,所以,故选项C正确；
对于D,当,,时,D显然错误．故选：BC．
11．【解答】解：对于A,因为,A正确,
对于B,,故B错误；
对于C,因为A,B独立,则,则,故C正确；
对于D,因为A,B互斥,,所以,,所以,故D正确．故选：ACD．
12．【解答】解：对于A,当时,,当时,,而,因此,A错误；
对于B,,,令,则,,因此,B正确；
对于C,取,,,则,,,显然,C错误；
对于D,,当时,,当时,,而,
因此,此时,D正确．故选：BD．
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13．【解答】解：由于二项式的系数和满足,解得；
故的展开式；
当时,展开式的常数项为．
故答案为：10．
14．【解答】解：∵,,,∴,
即解得,
故答案为：8．
15．【解答】解：根据题意,分2步进行分析：
①将5个新增项目的比赛项目分为3组,有种分组方法,
②将分好的3组安排到A,B,C三个场地,有种安排方法,则有种安排方法．
故答案为：150．
16．【解答】解：若A中最大元素为大于1的元素为a,则,不满足题意,
故A中最大元素不超过1,同理可得A中最小元素不小于-1,
若集合A中只有一个元素a,则,∴或,∴,或,
若集合A中有两个元素,则或,
当时,(舍)或,此时,∴,∴．
当时,,∴,∴,∴,∴,∴或(舍),
∴．若集合A中有三个元素,
则或或,
当时,或(舍),此时,,,
∴,或,解得,,舍去,
当时,,,∴,,∴,,即,
其集合A中有四个或四个以上元素,
则由上推导可得,,,矛盾,即此时A无解．
综上,所满足条件的集合A可以为,共5个．
故答案为：5．
四、解答题：本题共5小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：(1)设“任选一名学生恰好是艺术生”,“所选学生来自甲班”,“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”,
由题可知：,,,,,,
则选到的学生是艺术生的概率为：；
(2)由贝叶斯公式可得：若选到的学生是艺术生,
其来自丙班的可能性为；
其来自乙班的可能性为；
其来自甲班的可能性为；
所以其来自丙班的可能性最高．
18．【解答】解：(1)如图所示,通过做散点图发现,样本点大致分布在一条直线附近,
因此是线性相关；，
所以两变量有较强的正相关；
(2)(ⅰ),
要使残差平方和最小,当且仅当；
(ⅱ)∵,，由(ⅰ)知,
∴y关于x的经验回归方程为,∴,
∵，，∴,
当,(万),
因此,预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到37.5万辆．
19．【解答】解：(1)根据题意,完成列联表如下：
由题意可得,得．
易知a为5的倍数,且,所以,
所以该培训机构学习软笔书法的女生有(人)．
(2)因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为,
所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中,学习楷书的有(人),学习行书的有(人),所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
,,,,．
X的分布列为：
所以．
20．【解答】解：(1)记电压“不超过200V”、“在200V～240V之间”、“超过240V”分别为事件A,B,C,“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为,所以,
,
,
所以,该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n件,设不合格品件数为X,则,
所以,
由,
解得,所以当时,；
当时,,所以最大,因此当时,最大．
21．【解答】解：(1),则,,
故曲线在处的切线方程为；
(2)若,则,则,设,
则,,且,故函数为奇函数,
当时,,,这时,
又函数为奇函数,∴当时,,
综上,当时,单调递增,当时,单调递减,
又,,故在上恒成立,
∴在上没有零点,即零点个数为0；
(3)由可知,恒成立,
若,则恒成立,记,则
,
故当时,,单调递增,又,∴当时,,符合题意,
当时,有,与题设矛盾,
当时,令,则,
又,故在上有无穷多个零点,
设最小的零点为,则当时,,因此在上单调递增,
故当时,,故,
于是当时,,
则,与已知矛盾,故a的范围为．
色差x
22
24
26
28
色度y
16
19
20
21
年份代码t
1
2
3
4
5
销量w(万)
4
9
14
18
25
书体
楷书
行书
草书
隶书
篆书
人数
24
16
10
20
10
认真完成
不认真完成
总计
男生
a
女生
总计
60
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
认真完成
不认真完成
总计
男生
a
女生
总计
60
20
80
X
0
1
2
3
4
P