【数学】2024年高考真题——上海卷（解析版）

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1.设全集,集合,则___.
【答案】
【解析】.故填.
2.已知则________.
【答案】
【解析】当时,.故填.
3.已知,则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由得,解得.故填.
4.已知,且是奇函数,则________.
【答案】0
【解析】是奇函数,,即,得.故填0.
5.已知,且,则的值为_________.
【答案】15
【解析】,解得.故填15.
6.在的二项展开式中,若各项系数和为32,则项的系数为_______.
【答案】10
【解析】的二项展开式的各项系数和为,解得,
该二项式的通项公式为,令,得,
项的系数为.故填10.
7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9,那么点到轴的距离为_______.
【答案】
【解析】设点点到准线的距离为,解得,将其代入抛物线方程,得,解得点到轴的距离为.故填.
8.某校举办科学竞技比赛,有种题库,题库有5000道题,题库有4000道题,题库有3000道题.小申已完成所有题,已知他回答题库的正确率是0.92,回答题库的正确率是0.86,回答题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是_______.
【答案】0.85
【解析】法一:由题意知,题库占比题库占比,
题库占比,所求正确率.
法二:所求正确率.故填0.85.
9.已知虚数,其实部为1,且,则实数为_______.
【答案】2
【解析】法一:设,
所以,
因为,所以,解得,所以
法二:设,则
解得故填2.
10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为_______.
【答案】329
【解析】要使集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中的元素互不相同,且至多只有一个奇数,其余都是偶数.
当三位数中个位为0时,这样的偶数有(个);
当三位数中个位不为0时,这样的偶数有(个),
故集合中元素个数的最大值为(个).故填329.
11.已知点在点正北方向,点在点的正东方向,,存在点满足,则_______. (精确到0.1度)
【答案】
【解析】如图,设,
,
在中,由正弦定理得,得;
在中,由正弦定理得,得;
在中,由余弦定理得,
即,即,
可解得.故填.
12.无穷等比数列满足首项,记,若对任意正整数,集合是闭区间,则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】不妨设,当时,;
当时,;
当时,,若均在区间中,则有
若均在区间中,则有;若分别在区间中,即,则,要使集合是闭区间,则,即;
当时,同理可得;以此类推,可得.故填.二、选择题(本大题共有4题,满分18分,其中第13-14题每题满分4分,第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.
13.已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是( )
A.气候温度高,海水表层温度就高
B.气候温度高,海水表层温度就低
C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势
D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势
【答案】
【解析】度量两个数值变量的关系强度的统计量是相关系数.相关系数总在-1到1之间.若相关系数为正值,则两个变量的值多为同时增加或减少;若相关系数为负值,则一个变量的值通常会随着另一个变量的减少而增加.故选C.
14.下列函数的最小正周期是的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于选项,周期,符合题意;
对于选项B,,周期,不符合题意;
对于选项,是常值函数,不存在最小正周期,不符合题意;
对于选项D,,周期,不符合题意,
综上知,故选A.
15.定义一个集合,集合元素是空间内的点集,任取,存在不全为0的实数,使得.已知,则的充分条件是( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】法一:假设,令,
对于选项,若,则,
得可取,满足条件;
对于选项,,则,
得可取,满足条件;对于选项,若,则
,得,不满足条件;对于选项,若
,则,得可取,满足条件.综上知,故选C.
法二:不全为,这三个向量不能构成空间的一个基底,很明显,当时,三个向量构成空间的一个基底,因此,由能推出,故选C.
16.已知函数的定义域为,定义集合,在使得的所有中,下列成立的是( )
A.存在,使得是偶函数
B.存在,使得的最大值是
C.存在,使得严格增
D.存在,使得在处取极小值
【答案】B
【解析】集合,
当时,,即函数在区间上严格增,选项A不成立;假设存在,使得严格增,则,与已知矛盾,选项不成立;
假设存在,使得在处取极小值,则存在,使得
,这与已知集合的定义矛盾,选项D不成立;对于选项B,可构造函数由图像知,该函数的最大值是,故选B.
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图为正四棱锥为底面的中心.
（1）若,求绕旋转一周,形成的几何体的体积;
（2）若为的中点,求直线与平面所成角的大小.
解：（1）四棱锥是正四棱锥,为底面的中心,
底面四边形是正方形,且底面,
又.
将绕旋转一周,所得几何体是以底面半径为3,高为4的圆锥,该圆锥的体积为.
（2）法一:连接.设,则
,
又分别是的中点,
,
.
底面平面平面底面,
又平面底面底面
平面,
又平面,又平面直线与平面所成角为.
法二:设,则,,又分别是的中点,.
在正四棱锥,易知与全等,又是的中点,,
又是的中点,,又平面,
又平面,又平面直线与平面所成角为.
法三:以所在射线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系,
,该四棱锥为正四棱锥,该四棱锥各棱长都相等,
设,则,由此可得,
,得,
设是平面的一个法向量,
则得,得,
,
设直线与平面所成角为,则,得.
直线与平面所成角的大小为.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知.
（1）若过点,求的解集;
（2）存在使得成等差数列,求的取值范围.
解：（1）将点代入,得,解得,
是严格增函数,,解得,
即的解集为.
（2）存在使得成等差数列,
,即有解,
得,且得(*)
法一:由得,设该方程的两根为,
且,则,
当时,得,此时,得两根都为负数,不满足(*)式;当时,得,此时,
得两根一正一负,正根满足(*)式,
由得.
法二:由得,
,即,又.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少?
（2）估计该地区初中学生的日均体育锻炼时长(精确到0.1);
（3）是否有的把握认为该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时有关?
(附:,其中)
解：（1）580人中体育锻炼时长不少于1小时的人数占比,
该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为.
（2）该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
(h).
（3）根据题意,作出列联表.
①提出原假设:成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关.
②确定显著性水平.
③计算.
④否定原假设,即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时有关.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知双曲线,左、右顶点分别为,过点的直线交双曲线于两点.
（1）若离心率,求的值;
（2）若是等腰三角形,且点在第一象限,求点的坐标;
（3）连接并延长,交双曲线于点,若,求的取值范围.
解：（1）由题意得,
解得(舍去负值).
（2）当时,双曲线是等腰三角形,
当以为底时,点在直线上,与点在第一象限矛盾,舍去;
当以为底时,,这与矛盾,舍去;当以为底时(如图),,设,则由得,又,得
,整理得,解得,即.
（3）法一:由题意知,渐近线方程为.
设点,则,设直线,
联立得,由已知,得
,即(*)
,
即,化简整理得,将(*)式
代入得,整理得,得
,又,解得,综上知,,
.
法二:由题意知,渐近线方程为.
设点,则,
当直线的斜率存在时,设直线,当时,,故,
联立得,由已知,得,
即(*)
,
,即,
整理得,代入式得
,整理得,
,解得,
;
当直线的斜率不存在时,此时,则,
,由得,解得.
综上知,的取值范围是.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于一个函数和一个点,令,若是取到最小值的点,则称点是在的“最近点”.
（1）对于,求证:对于点,存在点,使得点是在的“最近点”；
（2）对于,请判断是否存在一个点,它是在的“最近点”,且直线与在点处的切线垂直;
（3）已知在定义域上存在导函数,且函数在定义域上恒正.设点,若对任意的,存在点同时是在的“最近点”,试判断的单调性.
（1）证明：,当且仅当即时取等号,也即在时,取到最小值.故对于点,存在点,使得该点是在的“最近点”.
（2）解：根据题意，,
严格增,,列表如下:
当时,取到最小值,此时点,即点是在的“最近点”.
在点处的切线方程为,
又直线与在点处的切线垂直.
（3）解：法一:设,
,则
在区间内严格增,
又在处取极小值,
又的定义域为均是的极小值,,
得,解得,
由的任意性,可知在上严格减.
法二:设,
设,则是的最小值点,得,
即,
上述两式相加,整理得,
解得,即是
的最小值点,又的定义域均为是的极小值点,,得,解得,
由的任意性,可知在上严格减.
时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
其他
总计
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485
总计
222
358
580
0
-
0
极小值2
4