福建省安溪恒兴中学2023-2024学年高一下学期6月份质量检测数学试题

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数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．【解答】解：，则，其虚部为．故选：．
2．【解答】解：两条不同的直线，与两个不同的平面，，
对于，若，，则与平行或异面，故错误；
对于，若且，则由面面垂直的判定定理得，故正确；
对于，若，，则直线与有可是共面直线，故错误；
对于，若，，，则直线与相交、平行或异面，故错误．故选：．
3．【解答】解：正正，正反，正反，反反，故不是的子集，故错误；
事件 “第一枚硬币正面向上”，事件 “第二枚硬币反面向上”，
则，错误；
，（A）（B），则（A）（B），故与为相互独立事件，故正确；
可以同时发生，与不为互斥事件，故错误．故选：．
4．【解答】解：数据，，，的平均数和方差分别为5和4，
则数据，，，的平均数和方差分别为，．
故选：．
5．【解答】解：记“金、石、木”为，，，“土、竹、丝”为，，，则，，为打击乐器，
从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两 音”，
组成的基本事件包含：，，，，，，，，，，，，，， 共15种情况，其中“两音”同为打击乐器的有，，，共包含3种情况，
则“两音”同为打击乐器的概率．故选：．
6．【解答】解：根据正弦定理得：，，
若，则，显然不成立，故错误；
若，则，存在一个满足条件，故错误；
若，则，故可以是锐角，可以是钝角，
存在两个满足条件，故正确；
若，则，，存在一个满足条件，故错误．故选：．
7．【解答】解：设为中点，为中点，，，
则容器最多能盛水的体积为正方体在截面下方的部分，截面上方为棱台，
由题可知，可得为的中点，
又，所以，所以棱台
体积，
所求体积为．故选：．
8．【解答】解：对于，当投掷骰子出现结果为1，1，1，1，6时，满足平均数为2，
其方差，可以出现点数6，所以错误；
对于，当投掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，众数为2，可以出现点数6，所以错误；
对于，当投掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，所以错误；
对于，假设当投掷骰子出现的结果为，，3，，6时，满足中位数为3，方差为0.16，且出现点数6，假设其平均数为，则，
即，因为，
，
即，所以，则，
显然方差不成立，即一定没有出现点数6，所以正确．故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【解答】解：选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，错误；
选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，正确；
选项，设样本数据，，，为0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均数是5，，，，的平均数是5，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，错误．
选项，，，，正确．故选：．
10．【解答】解：对于，和互为共轭复数，则，故正确；
对于，不妨设，，，故错误；
对于，设，，满足，但，故错误；对于，设，
，
则，即，表示以为圆心，1为半径的圆，
，表示圆上的点到圆心的距离，故的最大值为，故正确．故选：．
11．【解答】解：对于，因为底面，平面，所以．
因为为正方形，所以，又，平面，平面，
所以平面．因为平面，所以．因为，为线段的中点，
所以，又因为，平面，平面，
所以平面．又因为平面，所以平面平面，故正确；
对于，由选项可知平面，
所以为直线与平面所成角，则，
不妨设，则在中，，在中，，
因为是线段上的动点，故，则，
所以直线与平面所成角正切值的最大值为，故正确；
对于，由选项可知平面，，平面，
所以，，则为二面角的平面角，
因为，所以二面角余弦值的最小值为，故正确；
对于，当与重合时，连接，连接，如图，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又为线段的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，即线段上存在点，使得平面，故错误．故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【解答】解：设上下底的半径分别为，则母线，高，构成一个直角三角形，
母线为斜边5，高为直角边4，通过勾股定理得到，即圆台的侧面积公式
，则
圆台的体积：．故答案为：．
13．【解答】解：是方程（其中，，的一个根，可得复数是方程（其中，，的另一个根，
则，，，
则．故答案为：7．
14．【解答】解：依题意，设的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，
则，则（负值舍去），
因为平面，，所以，即，则（负值舍去），
因为，所以为的外接圆的直径，即，
过作交于，连接，如图，
则二面角的平面角，
设，，则由，即
故，当且仅当时等号成立，
故，即二面角正切值的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
【解答】解：（1）原式；
（2）根据题意可知，复数在复平面对应的点位于第四象限，
则．
16．（本小题满分15分）
【解答】解：（1）证明：连接，交于点，连接，
在中，，分别为，的中点，所以，
因为面，面，所以面．
（2）取中点，连接，，因为，
所以，因为，，，
所以面，又面，
所以，又因为，所以面，
所以为与平面所成角，设，则，，
所以，
所以与平面所成角的正切值为．
17．（本小题满分15分）
【解答】解：（1）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：
，，，，，，，，，，，，，的频率分别为：
0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，
而，，
故这50个社区垃圾量的第分位数在，内，
设为，则，解得：．
（2）由（1）得该样本中“超标”社区的频率为，
这240个社区中“超标”社区的概率为0.2，
这240个“超标”社区的个数为．
（3）由题意得样本中“超标”社区共有个，
其中垃圾量为，的社区有个，
垃圾量为，的社区有个，
按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为，的社区有3个，分别记为，，，
按垃圾量为，的社区有2个，分别记为，，
从中选取2个基本事件为：
，，，，，，，，，，共10个，
其中所求事件“至少有1个垃圾量为，的社区”为：
，，，，，，，共7个，
重点监控社区中至少有1个垃圾量为，的社区的概率为：
．
18．（本小题满分17分）
【解答】解：（1）如图，连接，
因为面，面，面，
所以，，
在中，，
在中，，，
在中，，，
因为，
解得．
（2）如图，连接，设点到平面的距离为，
则直线与平面所成角的正弦值为，
因为，
所以，所以，当点在上时，由（1）可知点与点重合，
此时取最小值为，当平面平面时，点在上，
此时取最大值，因为，
所以，因为，所以，
所以直线与平面所成角正弦值的取值范围为，．
（本小题满分17分）
【解答】解：（1）按方案一进行第一次游戏，记甲的积分为，分析可知，，0，1，，
且出现的概率相同，均为，
按方案一进行第二次游戏，记甲的积分为，分析可知，，0，1，，
且出现的概率相同，均为，样本空间，，，0，1，，
每个样本点出现的概率相等，均为，
设按方案一进行两次游戏后甲的积分之和为1分为事件，
则，，，，所以（A）；
（2）甲应该选择方案二，理由如下：
设两次游戏甲的积分分别为，，两次游戏后甲的积分和超过1分记为事件．
若按方案一进行两次游戏，
由（1）知，，，，，，，
所以，
若按方案二进行两次游戏，则样本空间，，，1，，
每个样本点出现的概率相等，均为，
则，，，，所以，
因为，所以甲应该选择方案二．