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人教版七年级数学上册专题01绝对值中的四类最值模型(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学上册专题01绝对值中的四类最值模型(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了的最小值模型， 绝对值的最值的其他应用，1，5有最小值，7等内容，欢迎下载使用。
绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。
模型1.的最小值模型
【模型解读】式子在时，取得最小值为。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
例1．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．
回答下列问题：(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是____，数轴上表示和3的两点之间的距离是____；
(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_________；
(3)①找出所有使得的整数x；②求的最小值．
例2．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
变式1．（2022·浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
模型2.的最小值和最大值模型
【模型解读】式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
例1.（2022·浙江·温州七年级月考）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
例2．（2022·重庆·七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；（4）关于x的式子的取值范围是_______．
变式1．（2022·陕西西安·七年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______．
变式2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，．
(1)仔细阅读表格并对照数轴填空：
(2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？
变式3．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．
模型3.的最小值模型
【模型解读及原理】
①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③当有（奇数）个绝对值相加：
且，则取中间数，即时，取得最小值；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，
则取中间段，即当时，取得最小值为：。
例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．
例2．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________；
(2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________；
【拓展应用】(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
(4)结合几何意义，求最小值.
例2．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为 ，此时x的取值为 ．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值
问题二：已知点在数轴上表示的数分别为
（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)
（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离
（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．
①；②；③
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_______；③若点P在点B右侧，化简______；
④由图可知，的最小值是______．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
变式3．（2022·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 ___．
模型4. 绝对值的最值的其他应用
例1．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式1．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______．
变式2．（2022·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
变式3．（2022秋·成都市七年级专题练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：(1)若，则______．若，则_____．
(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当，求的最大值和最小值．
课后专项训练
1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
3．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是 _____．
②的最小值是 _____．③的最小值是 _____．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；
(2)若，则_________，若，则________；
【应用】(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
5．（2022秋·全国·七年级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______．（2）①若，则______；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____．
【拓展延伸】（5）当____时，有最小值，最小值是_____．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）当取最小值时，符合条件的整数有 ．
（4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解．
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为 ；如果，那么x为 ．
(3)若点A表示的整数为x，则当x为 时，与的值相等．
(4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A、B两点间的距离记为d，则d和a、b数量关系为 ．
(3)若点C表示的数为x，|取得的最小值是 ．
(4)应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车 辆，8辆，4辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
9．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
(1)如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 ___________（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：①满足的x的值是 ___________，
②设，当x的取值在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ___________；当x的取值在 ___________的范围时，的最小值是 ___________；
(3)求的最小值以及此时x的值；
(4)若对任意有理数x都成立，求a的最大值．
10．（2022秋·重庆綦江·七年级校考阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b．
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A、B两点间的距离记为d，由（1）显然有．为此，我们可以这样理解：表示数轴上数x与数 这两点之间的距离，表示数轴上数x与数 这两点之间的距离．
(3)根据前面（1）（2）中获取的知识解决下面的问题．
若记式子的最小值为m，式子的最大值为n，求的值
11．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
①；②；③
从而化简代数式时可分以下种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上所述：原式，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当时，_____．（2）化简代数式：。（3）直接写出的最大值______．
12．（2022秋·浙江·七年级专题练习）我们知道的几何意义是表示在数轴上数对应的点与原点的距离；即， 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 、对应点之间的距离．如图，数轴上数对应的点为点A，数对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB==．
（1）可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；（2）请根据上述材料内容解方程；
（3）式子的最小值为 ； （4）式子的最大值为 ．
13．（2023秋·北京·七年级校考期中）（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；
当A、B两点都不在原点时：
①如图乙，点A、B都在原点的右边，；
如图丙，点A、B都在原点的左边，；
如图丁，点A、B在原点的两边，．
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
（2）回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果，那么______；
当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是______．
当代数式取最小值时，相应的x的值是______．
当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是______．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之间的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
15．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知数轴上点A、B分别表示的数是、,记A、B两点间的距离为AB。（1） 若a=6,b=4,则AB= ；若a=-6,b=4,则AB= ；
（2） 若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？
（3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和.
（4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为 ，|x-1|-|x+2|取得最大值为 .分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
无法确定
当时
的值为定值，即为
当
无法确定
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
的值为定值，即为—
当时
当
的值为定值，即为
8
5
4
0
，两点间的距离
4
8
4
a
6
2
b
4
0
4
A、B两点的距离
a
6
6
2
b
2
0
0
1.5
A、B两点的距离
4
6
6
5
专题01 绝对值中的四类最值模型
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。本专题就绝对值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。
绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。
模型1.的最小值模型
【模型解读】式子在时，取得最小值为。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
例1．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________；
(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；
(3)①找出所有使得的整数x；②求的最小值．
【答案】(1)5，5(2)3，(3)①，0，1，2． ②4
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得之间的距离为；当时，即时，可求得x的值；（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）就有，可得这样的整数是；
②对x进行讨论，可得的最小值．
【详解】（1）表示和2的两点之间的距离是，
表示和3的两点之间的距离是；故答案为：5，5；
（2）由题意可得，，∴或，∴或；故答案为：3，．
（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2），
就有，因此这样的整数是；
②对x进行讨论：
当时，，恒成立；
当时，；
当时，；
综上，的最小值为4．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键．
例2．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6
【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．
【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，
当点在线段上，，
当点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是5；
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或；
（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3)
【分析】（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离， 紧紧抓住在数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣解题即可．（2）根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．（3）把原题看成点x到点-1和点2的距离之和，即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；故答案为：3，3，4；
（2）解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，
根据题意得，即，所以x=1或-3，故答案为，1或-3；
（3）解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值，重点是读懂题干的两点间的距离以及绝对值的意义是解题的关键．
变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．
【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；
（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2
当x＜﹣5时，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，
﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）
当﹣5＜x＜2时，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，
∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1
当x＞2时，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．
【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
模型2.的最小值和最大值模型
【模型解读】式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
例1.（2022·浙江·温州七年级月考）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
例2．（2022·重庆·七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；（4）关于x的式子的取值范围是_______．
【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为，|x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等，
因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1，故答案为：0，1；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3，
因此x的最大值为3，最小值为-1；故答案为：-1，3；
（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得，x≤-1，即x的最大值为-1，故答案为：-1；
（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案为：大于或等于3．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
变式1．（2022·陕西西安·七年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______．
【答案】4
【分析】分、、三种情况进行讨论求解，分别确定最大值即可得出结论．
【详解】解：根据题意，表示x到-1和3的距离之差，又-1和3的距离为，则
当时，；
当时，，则，此时无最大值；
当时，，
综上，的最大值为4，故答案为：4．
【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义，理解题意，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
变式2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，．
(1)仔细阅读表格并对照数轴填空：
(2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？
【答案】(1)填表见解析；(2)；(3)当，的值总是一个固定值，为；(4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3．
【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案；
（3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论；
（4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解．
【详解】（1）解：填表如下：
（2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；；
（3）解：根据的几何意义是，到的距离之和，
如果值总是一个固定值，则，这个固定值为：；
（4）解：当时，，
当时，，
当时，，故的最大值为；
根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短，
即当时 得到的值最小为3．
【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值．
变式3．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．
【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【分析】（1）根据题意即可列式解答；
（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；
（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，
数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ；
（2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离，
①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；
②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；
③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2
（3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4，
的最大值是6，的最大值是8，
∴的最大值是2+4+6+8=20
【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．
模型3.的最小值模型
【模型解读及原理】
①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③当有（奇数）个绝对值相加：
且，则取中间数，即时，取得最小值；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，
则取中间段，即当时，取得最小值为：。
例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．
【答案】509040
【分析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．
【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，
最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）
＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040
∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．
【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．
例2．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________；
(2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________；
【拓展应用】(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
(4)结合几何意义，求最小值.
【答案】(1)或 (2)−10；30 (3)村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁
(4)的最小值为6
【分析】（1）根据题意可得，求出b的值即可；
（2）由题意可得，再分别求出，即可；
（3）设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，得出，然后分别求出结果即可；
（4）由绝对值的几何意义可得，当时，的值最小．
【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，b，
∴，解得或，故答案为：或；
（2）解：∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，∴，∴，，故答案为：−10，30；
（3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：，，，
∴，∴，，
答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁．
（4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
∴当时，的值最小，
∴，
∴的最小值为6．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
例2．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为 ，此时x的取值为 ．
解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，…，2014对应的点的距离和最小，
故当1007≤x≤1008时，距离和最小，可取x＝1007，则此时距离和为：
1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007
＝1014049，即原式的最小值为1014049；
当x＝1008时，最小值也为1014049，故1007≤x≤1008．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值
问题二：已知点在数轴上表示的数分别为
（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)
（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离
（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．
①；②；③
【答案】问题一：见解析；问题二：（1）|m-n|；（2）-2；（3）|x-2|+|x+3|的最小值是5，|x-2|+|x+3|+|x+5|的最小值为7，的最小值为50
【分析】问题一：根据A，B两点距离小于8，大于4，且a=-3.5，据此可求出b，再根据C在之间，求出c值；
问题二：（1）结合数轴可以比较直观的A、B两点的距离，从而可以得到d；
（2）根据（1）的结论即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义即可求解.
【详解】解：问题一：如图：
∴b=-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，-0，1，2，3，4，
c=1，2，3，4或-8，-9，-10，-11；
问题二：
（1）A、B两点的距离为d，则d=|m-n|；
（2）由（1）的结论可知|x+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-2的点的距离；
（3）①∵动点C表示的数为x，
∵|x-2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示2 的点的距离，
|x+3|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-3 的点的距离，
∴当动点C在2和-3之间时，|x-2|+|x+3|有最小值，
∴|x-2|+|x+3|的最小值是2+3=5；
②∵|x+5|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-5 的点的距离，
∴当动点C表示-3时，|x-2|+|x+3|+|x+5|有最小值7，
③|x-2|，|x-4|，|x-6|，…，|x-20|分别表示数轴上表示数x的点到表示2，4，6，…，20 的点的距离，
∴当动点C在10和12之间时，18+14+…+2=50
有最小值50.
【点睛】此题综合考查了数轴，以及有理数的绝对值计算在实际问题的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出计算式即可解决问题，体现了数形结合的优点．
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_______；③若点P在点B右侧，化简______；
④由图可知，的最小值是______．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．
【分析】（1）①根据绝对值的性质进行去绝对值即可；②根据绝对值的性质进行去绝对值即可；
③根据绝对值的性质进行去绝对值即可；④结合数轴进行求解即可；
（2）分别讨论当P点在2的右侧即时，当P点在-3的左侧即时，当P点在-3和1之间时即时，当P点在1和2之间时即时，的值的情况，即可得到答案；
（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，则路程之和，然后同（2）进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时，∴，
∴，故答案为：；
②∵P在线段AB上，∴，
∴，故答案为：；
③∵点P在点B右侧，∴，
∴，故答案为：；
④由图可知当P在 A点左侧时，
由图可知当P在 AB之间时，
由图可知当P在 B点右侧时，
∴的最小值为3，故答案为：3；
（2）当P点在2的右侧即时，∴，
当P点在-3的左侧即时，
∴
当P点在-3和1之间时即时，
∴，
∴此时，
当P点在1和2之间时即时，∴，
∴此时，∴综上所述，的最小值为5，故答案为：5；
（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，
由题意得：路程之和
当时，
；
当时，
；
当时，
；
∴此时；
当时，
；
当时，
；
∴此时；∴s的最小值为1400，此时，
∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法．
变式3．（2022·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 _______．
【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54
【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案；
（3）由题意得到，，则，即可得到答案；
（4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和，
∵，∴，故答案为：7；
（3）∵，，
∴，故答案为：4
（4）∵，
∴
，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取，当时，有最小值，
此时原式＝＝54，故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
模型4. 绝对值的最值的其他应用
例1．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．
【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，共有12种不同的结果，故②错误；
③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
∴当，，都取最小值时，
，
此时，的最小值为，故③正确；故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
变式1．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______．
【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；（2）利用新定义计算求未知数x；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【详解】（1）解：，故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，∴，解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，有最小值1，故答案为：1；
②由题意可知：，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
∴的最小值：．故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
变式2．（2022·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9
【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解；
（3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解．
【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；数列﹣2，1，7；数列7，﹣2，1；数列7，1，﹣2；数列1，7，﹣2；数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，，，∴数列﹣2，1，7的价值是 ；
同理可求：数列7，﹣2，1的价值是2；数列7，1，﹣2的价值是2；数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是；综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2；
（3）解：若这些数列的价值的最小值为1，
则或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，，∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则，∴a＝8，不符合，舍去；综上，a的值为2或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
变式3．（2022秋·成都市七年级专题练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：(1)若，则______．若，则_____．
(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当，求的最大值和最小值．
【答案】(1)0；或0；(2)；；(3)最大值是15；最小值是；
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；（2）根据数轴的定义和绝对值的意义进行计算，即可得到答案；（3）由绝对值意义和数轴的定义，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可
【详解】（1）解：∵表示数轴上表示x的点到表示1和1的距离相等，
∴到1和1距离相等的点表示的数为：；
∵，表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于5，
∴或；故答案为：0；或0；
（2）解：∵，表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于4，
又∵，∴能取到的数在和1之间，即，
∴能取到的最小值是，最大值是；故答案为：；；
（3）解：根据题意，∵，，，
∴，
∵，∴，，，
∴，，，∴当，，时，有最大值，
∴最大值为：；∴当，，时，有最小值，
∴最小值为：；
【点睛】本题考查了绝对值意义、最值、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键．
课后专项训练
1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】以和3为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【详解】解：如图，
当时，，，
；
当时，，，；
当时，，，；
综上所述，当时，取得最小值，
所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和3为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
【答案】2
【详解】试题解析：|x-1|-|x+6|的最大值为1-（-6）=1+6=7，
则代数式的最大值为7-5=2．
点睛：|x-1|-|x+6|表示数轴上表示x的点到1与-6之差，最大值为1-（-6）.
3．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是 _____．
②的最小值是 _____．③的最小值是 _____．
【答案】 表示数x与数1的两点之间的距离 2 4
【分析】①根据数轴上两点的距离公式求解即可；
②根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值；
③根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值．
【详解】解：①表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离；
故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离；
②分类讨论：
1）当时，，∴当时，有最小值3；
2）当时，，∴当x=2时，有最小值2；
3）当时，，此时最小值大于2；
4）当时，，此时最小值大于3；
综上可知，当时，且最小值为2；故答案为：2；
③根据的几何意义，可表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和．于是可分以下五个情况讨论：
1）当时，；
2）当时；
3）当时，；
4）当时，；
5）当时，；
综上所述，当时，有最小值4，故答案为：4．
【点睛】本题考查在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简．掌握数轴上两点之间的距离的求法和绝对值的几何意义是解题的关键．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；
(2)若，则_________，若，则________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9，与的距离(2)或7.1，(3)5(4)有最小值，7
【分析】（1）根据数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将转化为即可得到结论；（2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或，数轴上表示的点和到表示3的点距离相等的点所表示的数为；（3）根据题意，表示a到的距离加上到2的距离，由于位于和2之间，即和2的两点距离之和，即可得到结论；
（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当时取得最小值，求出具体结果即可．
【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，
，即可表示为到的距离，故答案为：9；与的距离；
（2）解：，到3.1的距离为4，，，
，到的距离和到3的距离相同，，
故答案为：或7.1；；
（3）解：可表示a到的距离加上到2的距离且位于和2之间，
原式可看作与2之间的距离，；
（4）解：可表示为到的距离加上到的距离加上到1的距离，
当时，该式取得最小值，此时．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
5．（2022秋·全国·七年级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______．（2）①若，则______；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____．
【拓展延伸】（5）当____时，有最小值，最小值是_____．
【答案】探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）2，4
【分析】探索：（1）数轴上两数之间的距离计算用大数减去小数即可；
（2）①根据材料判断式子的意义，然后得到x的值；②根据距离可直接得到x的取值，求和即可；
动手折一折：（3）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可；
（4）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可；
（5）根据式子的实际意义可知，当x=2时式子有最小值．
【详解】解：探索：（1）4-（-2）=6；
（2）①由材料可知中x表示数轴上到-1的距离是3的数∴x=-4或2；
②由题可知x所表示的数可为-2，-1，0，1，2，3∴-2-1+0+1+2+3=3
【动手折一折】（3）由题可知折叠是点是原点∴3表示的点与-3表示的点重合
（4）①由题可知折叠点是-1∴10表示的点和-12表示的点重合
②∵A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020
∴A，B（A在B的左侧）两点到-1的距离均为1010
∴A表示的数=-1010-1=-1011，B表示的数=1010-1=1009；
③由题意有：-1-a=b+1即b+a=-2
【拓展延伸】（5）根据材料可知表示数轴上一数x到-1和2和3的距离和，当x=2时，式子有最小值，最小值为4
故答案为：探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）2，4
【点睛】本题主要考查绝对值实际意义，结合数轴，判断式子的实际意义是解题的关键．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）当取最小值时，符合条件的整数有 ．
（4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解．
【答案】（1）；（2）；或；（3），，，；（4）；
【分析】（1）根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据两点间的距离及绝对值的性质，可得答案；
（3）根据数轴上的几何意义，可得当−1≤x≤2时，它的最小值为3，从而得出符合条件的整数；
（4）根据数轴上的几何意义，可得当x=2时，y有最小值．
【详解】解：（1）|1−（−3）|＝4；|（−2）-（-5）|＝3；故答案为：4；3；
（2）|x−（−1）|＝|x＋1|或|（−1）−x|＝|x＋1|；
若，得x＋1＝2或x＋1＝−2，解得x＝1或x＝−3；故答案为：|x＋1|；或；
（3）当x＜−1时，＝−x-1+2-x＝−2x+1，
当−1≤x≤2时，＝x＋1+2-x＝3，
当x＞2时，＝x+1＋x-2＝2x-1，
在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2的距离之和，所以当−1≤x≤2时，它的最小值为3．故当取最小值时，符合条件的整数有，，，；故答案为：，，，；
（4）在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2和到3的距离之和，所以当x=2时，y有最小值为4．故答案为： ；
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为 ；如果，那么x为 ．
(3)若点A表示的整数为x，则当x为 时，与的值相等．
(4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
【答案】(1)画图见解析，，，(2)，2或(3)(4)，7
【分析】（1）先在数轴上画出B、C，然后根据数轴上两点距离公式求出即可；
（2）根据数轴上两点距离公式可得，再由得到绝对值方程，解方程即可；
（3）根据题意得到，解绝对值方程即可得到答案；
（4）分，和三种情况去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
B点表示的数，C点表示的数1，的距离是；故答案为：，，；
（2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为：，
∵，∴，∴或，∴或，故答案为：，2或；
（3）解：由题意得，∴或，∴， 故答案为：；
（4）解：当时，；
当时，；当时，；
∴当时，有最小值7，故答案为：，7．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，用数轴表示有理数，解绝对值方程，化简绝对值，熟知数轴与绝对值的相关知识是解题的关键．
8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A、B两点间的距离记为d，则d和a、b数量关系为 ．
(3)若点C表示的数为x，|取得的最小值是 ．
(4)应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车 辆，8辆，4辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
【答案】(1) ，，，，，(2)|a﹣b|(3)3(4)辆
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式两数之差的绝对值即可得到答案；
（2）根据数轴上两点间距离公式两数之差的绝对值即可得到答案；
（3）根据两点间距离公式可知 代表点C到 ，2距离之和，当点C在 ，2之间时最小，即可得到答案；（4）先算出总车数，在算出4个点相等的量10，分别画出调配方案选取最少的数量即可．
【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式可得，
，，，，，，
故答案为： ，，，，，；
（2）解：由数轴上两点间距离公式得，
A和B之间的距离 ，故答案为：；
（3）解：∵ ，2距离是 ，
∴C在 ，2之间时，取得的值最小，最小值是3；故答案为：3；
（4））解：应用：根据题意，共有5种调配方案，如下图所示：
由上可知，调出的最小车辆数为： 辆．
【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间距离及规律．
9．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
(1)如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 ___________（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：①满足的x的值是 ___________，
②设，当x的取值在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ___________；当x的取值在 ___________的范围时，的最小值是 ___________；
(3)求的最小值以及此时x的值；
(4)若对任意有理数x都成立，求a的最大值．
【答案】(1)(2)①，4，②4；不小于0且不大于2；2(3)4，2(4)4
【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；
（3），根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式并仿照（3），可得答案．
【详解】（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为．故答案为：；
（2）①满足的x的所有值是、4．故答案为：，4；
②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，
这个最小值是4；
当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，取得最小值，这个最小值是2；
故答案为：4；不小于0且不大于2；2；
（3）由分析可知，当时能同时满足要求，把代入原式；
（4）根据题意得求a的最大值，就是求的最小值，
∵，
要使的值最小，x的值取到0之间（包括、0）的任意一个数，
要使的值最小，x取1到2之间（包括1、2）的任意一个数，
显然当x取1到2之间（包括1、2）的任意一个数能同时满足要求，
∴当时，得，即a的最大值为4；
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
10．（2022秋·重庆綦江·七年级校考阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b．
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A、B两点间的距离记为d，由（1）显然有．为此，我们可以这样理解：表示数轴上数x与数 这两点之间的距离，表示数轴上数x与数 这两点之间的距离．
(3)根据前面（1）（2）中获取的知识解决下面的问题．
若记式子的最小值为m，式子的最大值为n，求的值
【答案】(1)见解析(2)5；(3)
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，即可求解；（2）根据数轴上两点间的距离，即可求解；
（3）根据数轴上两点间的距离以及绝对值的几何意义，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，填写表格如下：
（2）解：根据题意得：表示数轴上数x与数5这两点之间的距离，表示数轴上数x与数这两点之间的距离．故答案为：5；
（3）解：根据题意得：分别表示数轴上数x与数，数x与2， 数x与5之间的距离的和，∴当时，数轴上数x与数，2，5之间的距离的和最小，即，
表示数轴上数x与数，数x与数3之间的距离的差，
∴当时，表示数轴上数x与数，数x与数3之间的距离的差最大，
即，∴．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义是解题的关键．
11．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
①；②；③
从而化简代数式时可分以下种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上所述：原式，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当时，______．（2）化简代数式：
（3）直接写出的最大值______．
【答案】（1）；（2）原式；（3）
【分析】（1）根据绝对值的意义可得结论；（2）零点值x=2和x=4可将全体实数分为不重复不遗漏的如下三种情况：、、分该三种情况找出的值；（3）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．
【详解】解：（1）当时，．故答案为：
（2）化简代数式：分为以下三种情况讨论：
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
综上所述：原式
（3）的最大值：
当时，原式，
当时，原式，，
当时，原式，
则的最大值为．
【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．
12．（2022秋·浙江·七年级专题练习）我们知道的几何意义是表示在数轴上数对应的点与原点的距离；即， 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 、对应点之间的距离．如图，数轴上数对应的点为点A，数对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB==．
（1）可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；（2）请根据上述材料内容解方程；
（3）式子的最小值为 ； （4）式子的最大值为 ．
【答案】（1），；（2）或0；（3）2；（4）3
【分析】（1）把|x+1|变形为|x-(-1)|可以得到解答．
（2）画出到-1对应的点距离为1的点，再找出其所对应的数即可；
（3）根据|x+1|+|x−1| 表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和进行求解；
(4)|x+1|−|x−2| 表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差求解 ．
【详解】解：（1)∵|x+1| =|x-(-1)|，
∴|x+1| 可以表示数 x对应的点和数-1对应的点之间的距离；故答案为x，-1；
（2）由(1)知，|x+1| 表示数 x对应的点和数-1对应的点之间的距离，
∴|x+1|=1 的解即为到-1对应的点距离为1的点所表示的数，所以由下图可得x=-2或x=0；
（3）∵|x+1|+|x−1| 表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和，
又当x表示的点在-1和1表示的点之间(包括-1和1）时，|x+1|+|x−1|取得最小值，最小值即为-1和1表示的点之间的距离，为2；
（4）∵|x+1|−|x−2| 表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差，
∴当x-1时，|x+1|−|x−2|= -3，
当x2时，|x+1|−|x−2|=3，
当时，-3<|x+1|−|x−2|<3，∴式子 |x+1|−|x−2| 的最大值为3．
【点睛】本题考查绝对值算式的几何意义，利用绝对值算式的几何意义把绝对值算式的计算转化为数轴上两点距离的求法是解题关键．
13．（2023秋·北京·七年级校考期中）（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；
当A、B两点都不在原点时：
①如图乙，点A、B都在原点的右边，；
如图丙，点A、B都在原点的左边，；
如图丁，点A、B在原点的两边，．
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
（2）回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果，那么______；
当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是______．
当代数式取最小值时，相应的x的值是______．
当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是______．
【答案】①3，3，4；②，1或3；③；④；⑤
【分析】①根据中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解；
②根据，即可直接写出结果；③表示数轴上一点到与5两点的距离的和，当这点是或5，以及它们之间时和最小，最小距离是与5之间的距离；④代数式表示数轴上一点到1、与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当时和最小，最小值是5到的距离；
⑤代数式表示数轴上一点到5与两点的距离的差，当点小于等于时差最大，最大值是5与之间的距离．
【详解】解：①，，；故答案为：3；3；4；
②数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，
当AB=2时，则则或故答案为：；1或3；
③表示数轴上一点到与5两点的距离的和，当这点在和5之间时和最小，最小距离是： 故答案为：；
④代数式表示数轴上一点到1、与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当时和最小，最小值是5到的距离，是 故答案为：；
⑤代数式表示数轴上一点到5与两点的距离的差，当点所表示的数小于等于时差最大，最大值是5与之间的距离，是7．故答案是：．
【点睛】此题考查的是数轴与绝对值的关系，掌握两点之间的距离公式是解决此题的关键．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之间的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
【答案】（1）4，3；（2）|x-1|, |x+3|;（3）7, 10;（4）2
【分析】（1）直接代入公式即可;（2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可；（3）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+ 3|+|x-4|的值最小; 当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+ 2|+ |x-3|+ |x+4|值最小;（4） 分3种情况讨论，|x-1|-|x-3|的值最大.
【详解】解：（1）6﹣2=4, 1-(-2)=3 所以,数轴上表示2和6两点之间的距离是4,数轴上表示1和-2的两点之间的距离为3；答案为: 4, 3;
（2）根据两点间距离公式可知:数轴上表示x和1两点之间的距离为|x-1|,数轴上表示x和-3两点之间的距离为|x+ 3| 故答案为: |x-1|, |x+3|;
(3)x+3=0,x-4=0,解得x=-3,x=4；
当x＜-3时，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1＞7
当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7
当x＞4时，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7
x对应点在点-4和3之间时的任意一点,|x-3|+ |x+4|的最小值为7；
同理,分5种情况说明：当x＜-4时，原式=-4x-2＞14
当-4≤x＜-2时，原式=-2x+6, 10≤原式≤14
当-2≤x≤1时，原式=10,
当1＜x≤3时，原式=2x+8, 10＜原式≤14
当x＞3时，原式=4x+2＞14
由此可得，当-2≤x≤1时原式值最小，最小值是10，
∴当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+2|十|x-3|+ |x+4|的最小值为10, 故答案为: 7, 10;
(4) ∵x-1=0,x-3=0∴x=1,或x=3
∴当x≤1时，|x-1|-|x-3|=1-x-(3-x)= -2，
当x≥3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2
当1＜x＜3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(3-x)=2x-4,-2＜2x-4＜2
∴当x≥3时，|x-1|-|x-3|最大，最大值是2 故答案为: 2
【点睛】此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，,体现了数形结合的优点.
15．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知数轴上点A、B分别表示的数是、,记A、B两点间的距离为AB。（1） 若a=6,b=4,则AB= ；若a=-6,b=4,则AB= ；
（2） 若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？
（3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和.
（4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为 ，|x-1|-|x+2|取得最大值为 .
【答案】(1)2;10;(2)d=|a-b|;(3)±1, ±2,±3, ±4, ±5，0;和为0; (4)3,3.
【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解；（2）根据计算结果列出算式即可；
（3）求出-5到5的距离正好等于10,可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可；
（4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，则|x-1|+|x+2|表示两个距离的和，|x-1|-|x+2|表示两个距离的差，根据此意义即可求得．
【详解】解：（1）若a=6,b=4,则AB=6-4=2；若a=-6,b=4,则AB=4-（-6）=10；
（2）d和a、b之间的数量关系：d=|a-b|；
（3）∵5-（-5）=5+5=10，∴点P在5和-5之间
∴符合条件的整数点P表示的数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，
∴这些整数的和=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=0；
（4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，
∵1到-2的距离是1-（-2）=3，
∴当点C在-1到2（含-1和2）之间时，|x-1|+|x+2|取得的值最小，最小值是3；
当点C在2的左边（含2）时，|x-1|-|x+2|取得的值最大，最大值是3.
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
无法确定
当时
的值为定值，即为
当
无法确定
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
的值为定值，即为—
当时
当
的值为定值，即为
8
5
4
0
，两点间的距离
4
8
4
8
5
4
0
，两点间的距离
4
8
4
15
3.5
a
6
2
b
4
0
4
A、B两点的距离
a
6
6
2
b
2
0
0
1.5
A、B两点的距离
4
6
6
5
a
6
6
2
b
2
0
0
1.5
A、B两点的距离
4
6
6
5
绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。
模型1.的最小值模型
【模型解读】式子在时，取得最小值为。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
例1．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．
回答下列问题：(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是____，数轴上表示和3的两点之间的距离是____；
(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_________；
(3)①找出所有使得的整数x；②求的最小值．
例2．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
变式1．（2022·浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
模型2.的最小值和最大值模型
【模型解读】式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
例1.（2022·浙江·温州七年级月考）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
例2．（2022·重庆·七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；（4）关于x的式子的取值范围是_______．
变式1．（2022·陕西西安·七年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______．
变式2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，．
(1)仔细阅读表格并对照数轴填空：
(2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？
变式3．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．
模型3.的最小值模型
【模型解读及原理】
①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③当有（奇数）个绝对值相加：
且，则取中间数，即时，取得最小值；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，
则取中间段，即当时，取得最小值为：。
例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．
例2．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________；
(2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________；
【拓展应用】(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
(4)结合几何意义，求最小值.
例2．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为 ，此时x的取值为 ．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值
问题二：已知点在数轴上表示的数分别为
（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)
（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离
（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．
①；②；③
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_______；③若点P在点B右侧，化简______；
④由图可知，的最小值是______．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
变式3．（2022·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 ___．
模型4. 绝对值的最值的其他应用
例1．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式1．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______．
变式2．（2022·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
变式3．（2022秋·成都市七年级专题练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：(1)若，则______．若，则_____．
(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当，求的最大值和最小值．
课后专项训练
1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
3．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是 _____．
②的最小值是 _____．③的最小值是 _____．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；
(2)若，则_________，若，则________；
【应用】(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
5．（2022秋·全国·七年级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______．（2）①若，则______；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____．
【拓展延伸】（5）当____时，有最小值，最小值是_____．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）当取最小值时，符合条件的整数有 ．
（4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解．
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为 ；如果，那么x为 ．
(3)若点A表示的整数为x，则当x为 时，与的值相等．
(4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A、B两点间的距离记为d，则d和a、b数量关系为 ．
(3)若点C表示的数为x，|取得的最小值是 ．
(4)应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车 辆，8辆，4辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
9．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
(1)如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 ___________（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：①满足的x的值是 ___________，
②设，当x的取值在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ___________；当x的取值在 ___________的范围时，的最小值是 ___________；
(3)求的最小值以及此时x的值；
(4)若对任意有理数x都成立，求a的最大值．
10．（2022秋·重庆綦江·七年级校考阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b．
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A、B两点间的距离记为d，由（1）显然有．为此，我们可以这样理解：表示数轴上数x与数 这两点之间的距离，表示数轴上数x与数 这两点之间的距离．
(3)根据前面（1）（2）中获取的知识解决下面的问题．
若记式子的最小值为m，式子的最大值为n，求的值
11．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
①；②；③
从而化简代数式时可分以下种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上所述：原式，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当时，_____．（2）化简代数式：。（3）直接写出的最大值______．
12．（2022秋·浙江·七年级专题练习）我们知道的几何意义是表示在数轴上数对应的点与原点的距离；即， 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 、对应点之间的距离．如图，数轴上数对应的点为点A，数对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB==．
（1）可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；（2）请根据上述材料内容解方程；
（3）式子的最小值为 ； （4）式子的最大值为 ．
13．（2023秋·北京·七年级校考期中）（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；
当A、B两点都不在原点时：
①如图乙，点A、B都在原点的右边，；
如图丙，点A、B都在原点的左边，；
如图丁，点A、B在原点的两边，．
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
（2）回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果，那么______；
当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是______．
当代数式取最小值时，相应的x的值是______．
当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是______．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之间的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
15．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知数轴上点A、B分别表示的数是、,记A、B两点间的距离为AB。（1） 若a=6,b=4,则AB= ；若a=-6,b=4,则AB= ；
（2） 若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？
（3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和.
（4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为 ，|x-1|-|x+2|取得最大值为 .分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
无法确定
当时
的值为定值，即为
当
无法确定
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
的值为定值，即为—
当时
当
的值为定值，即为
8
5
4
0
，两点间的距离
4
8
4
a
6
2
b
4
0
4
A、B两点的距离
a
6
6
2
b
2
0
0
1.5
A、B两点的距离
4
6
6
5
专题01 绝对值中的四类最值模型
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。本专题就绝对值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。
绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。
模型1.的最小值模型
【模型解读】式子在时，取得最小值为。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
例1．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________；
(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；
(3)①找出所有使得的整数x；②求的最小值．
【答案】(1)5，5(2)3，(3)①，0，1，2． ②4
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得之间的距离为；当时，即时，可求得x的值；（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）就有，可得这样的整数是；
②对x进行讨论，可得的最小值．
【详解】（1）表示和2的两点之间的距离是，
表示和3的两点之间的距离是；故答案为：5，5；
（2）由题意可得，，∴或，∴或；故答案为：3，．
（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2），
就有，因此这样的整数是；
②对x进行讨论：
当时，，恒成立；
当时，；
当时，；
综上，的最小值为4．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键．
例2．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6
【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．
【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，
当点在线段上，，
当点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是5；
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或；
（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3)
【分析】（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离， 紧紧抓住在数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣解题即可．（2）根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．（3）把原题看成点x到点-1和点2的距离之和，即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；故答案为：3，3，4；
（2）解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，
根据题意得，即，所以x=1或-3，故答案为，1或-3；
（3）解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值，重点是读懂题干的两点间的距离以及绝对值的意义是解题的关键．
变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．
【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；
（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2
当x＜﹣5时，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，
﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）
当﹣5＜x＜2时，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，
∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1
当x＞2时，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．
【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
模型2.的最小值和最大值模型
【模型解读】式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
例1.（2022·浙江·温州七年级月考）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
例2．（2022·重庆·七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；（4）关于x的式子的取值范围是_______．
【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为，|x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等，
因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1，故答案为：0，1；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3，
因此x的最大值为3，最小值为-1；故答案为：-1，3；
（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得，x≤-1，即x的最大值为-1，故答案为：-1；
（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案为：大于或等于3．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
变式1．（2022·陕西西安·七年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______．
【答案】4
【分析】分、、三种情况进行讨论求解，分别确定最大值即可得出结论．
【详解】解：根据题意，表示x到-1和3的距离之差，又-1和3的距离为，则
当时，；
当时，，则，此时无最大值；
当时，，
综上，的最大值为4，故答案为：4．
【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义，理解题意，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
变式2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，．
(1)仔细阅读表格并对照数轴填空：
(2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？
【答案】(1)填表见解析；(2)；(3)当，的值总是一个固定值，为；(4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3．
【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案；
（3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论；
（4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解．
【详解】（1）解：填表如下：
（2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；；
（3）解：根据的几何意义是，到的距离之和，
如果值总是一个固定值，则，这个固定值为：；
（4）解：当时，，
当时，，
当时，，故的最大值为；
根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短，
即当时 得到的值最小为3．
【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值．
变式3．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．
【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【分析】（1）根据题意即可列式解答；
（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；
（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，
数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ；
（2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离，
①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；
②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；
③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2
（3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4，
的最大值是6，的最大值是8，
∴的最大值是2+4+6+8=20
【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．
模型3.的最小值模型
【模型解读及原理】
①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③当有（奇数）个绝对值相加：
且，则取中间数，即时，取得最小值；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，
则取中间段，即当时，取得最小值为：。
例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．
【答案】509040
【分析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．
【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，
最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）
＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040
∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．
【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．
例2．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________；
(2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________；
【拓展应用】(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
(4)结合几何意义，求最小值.
【答案】(1)或 (2)−10；30 (3)村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁
(4)的最小值为6
【分析】（1）根据题意可得，求出b的值即可；
（2）由题意可得，再分别求出，即可；
（3）设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，得出，然后分别求出结果即可；
（4）由绝对值的几何意义可得，当时，的值最小．
【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，b，
∴，解得或，故答案为：或；
（2）解：∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，∴，∴，，故答案为：−10，30；
（3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：，，，
∴，∴，，
答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁．
（4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
∴当时，的值最小，
∴，
∴的最小值为6．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
例2．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为 ，此时x的取值为 ．
解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，…，2014对应的点的距离和最小，
故当1007≤x≤1008时，距离和最小，可取x＝1007，则此时距离和为：
1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007
＝1014049，即原式的最小值为1014049；
当x＝1008时，最小值也为1014049，故1007≤x≤1008．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值
问题二：已知点在数轴上表示的数分别为
（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)
（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离
（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．
①；②；③
【答案】问题一：见解析；问题二：（1）|m-n|；（2）-2；（3）|x-2|+|x+3|的最小值是5，|x-2|+|x+3|+|x+5|的最小值为7，的最小值为50
【分析】问题一：根据A，B两点距离小于8，大于4，且a=-3.5，据此可求出b，再根据C在之间，求出c值；
问题二：（1）结合数轴可以比较直观的A、B两点的距离，从而可以得到d；
（2）根据（1）的结论即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义即可求解.
【详解】解：问题一：如图：
∴b=-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，-0，1，2，3，4，
c=1，2，3，4或-8，-9，-10，-11；
问题二：
（1）A、B两点的距离为d，则d=|m-n|；
（2）由（1）的结论可知|x+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-2的点的距离；
（3）①∵动点C表示的数为x，
∵|x-2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示2 的点的距离，
|x+3|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-3 的点的距离，
∴当动点C在2和-3之间时，|x-2|+|x+3|有最小值，
∴|x-2|+|x+3|的最小值是2+3=5；
②∵|x+5|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-5 的点的距离，
∴当动点C表示-3时，|x-2|+|x+3|+|x+5|有最小值7，
③|x-2|，|x-4|，|x-6|，…，|x-20|分别表示数轴上表示数x的点到表示2，4，6，…，20 的点的距离，
∴当动点C在10和12之间时，18+14+…+2=50
有最小值50.
【点睛】此题综合考查了数轴，以及有理数的绝对值计算在实际问题的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出计算式即可解决问题，体现了数形结合的优点．
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_______；③若点P在点B右侧，化简______；
④由图可知，的最小值是______．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．
【分析】（1）①根据绝对值的性质进行去绝对值即可；②根据绝对值的性质进行去绝对值即可；
③根据绝对值的性质进行去绝对值即可；④结合数轴进行求解即可；
（2）分别讨论当P点在2的右侧即时，当P点在-3的左侧即时，当P点在-3和1之间时即时，当P点在1和2之间时即时，的值的情况，即可得到答案；
（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，则路程之和，然后同（2）进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时，∴，
∴，故答案为：；
②∵P在线段AB上，∴，
∴，故答案为：；
③∵点P在点B右侧，∴，
∴，故答案为：；
④由图可知当P在 A点左侧时，
由图可知当P在 AB之间时，
由图可知当P在 B点右侧时，
∴的最小值为3，故答案为：3；
（2）当P点在2的右侧即时，∴，
当P点在-3的左侧即时，
∴
当P点在-3和1之间时即时，
∴，
∴此时，
当P点在1和2之间时即时，∴，
∴此时，∴综上所述，的最小值为5，故答案为：5；
（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，
由题意得：路程之和
当时，
；
当时，
；
当时，
；
∴此时；
当时，
；
当时，
；
∴此时；∴s的最小值为1400，此时，
∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法．
变式3．（2022·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 _______．
【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54
【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案；
（3）由题意得到，，则，即可得到答案；
（4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和，
∵，∴，故答案为：7；
（3）∵，，
∴，故答案为：4
（4）∵，
∴
，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取，当时，有最小值，
此时原式＝＝54，故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
模型4. 绝对值的最值的其他应用
例1．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．
【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，共有12种不同的结果，故②错误；
③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
∴当，，都取最小值时，
，
此时，的最小值为，故③正确；故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
变式1．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______．
【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；（2）利用新定义计算求未知数x；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【详解】（1）解：，故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，∴，解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，有最小值1，故答案为：1；
②由题意可知：，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
∴的最小值：．故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
变式2．（2022·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9
【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解；
（3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解．
【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；数列﹣2，1，7；数列7，﹣2，1；数列7，1，﹣2；数列1，7，﹣2；数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，，，∴数列﹣2，1，7的价值是 ；
同理可求：数列7，﹣2，1的价值是2；数列7，1，﹣2的价值是2；数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是；综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2；
（3）解：若这些数列的价值的最小值为1，
则或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，，∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则，∴a＝8，不符合，舍去；综上，a的值为2或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
变式3．（2022秋·成都市七年级专题练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：(1)若，则______．若，则_____．
(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当，求的最大值和最小值．
【答案】(1)0；或0；(2)；；(3)最大值是15；最小值是；
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；（2）根据数轴的定义和绝对值的意义进行计算，即可得到答案；（3）由绝对值意义和数轴的定义，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可
【详解】（1）解：∵表示数轴上表示x的点到表示1和1的距离相等，
∴到1和1距离相等的点表示的数为：；
∵，表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于5，
∴或；故答案为：0；或0；
（2）解：∵，表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于4，
又∵，∴能取到的数在和1之间，即，
∴能取到的最小值是，最大值是；故答案为：；；
（3）解：根据题意，∵，，，
∴，
∵，∴，，，
∴，，，∴当，，时，有最大值，
∴最大值为：；∴当，，时，有最小值，
∴最小值为：；
【点睛】本题考查了绝对值意义、最值、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键．
课后专项训练
1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】以和3为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【详解】解：如图，
当时，，，
；
当时，，，；
当时，，，；
综上所述，当时，取得最小值，
所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和3为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
【答案】2
【详解】试题解析：|x-1|-|x+6|的最大值为1-（-6）=1+6=7，
则代数式的最大值为7-5=2．
点睛：|x-1|-|x+6|表示数轴上表示x的点到1与-6之差，最大值为1-（-6）.
3．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是 _____．
②的最小值是 _____．③的最小值是 _____．
【答案】 表示数x与数1的两点之间的距离 2 4
【分析】①根据数轴上两点的距离公式求解即可；
②根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值；
③根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值．
【详解】解：①表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离；
故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离；
②分类讨论：
1）当时，，∴当时，有最小值3；
2）当时，，∴当x=2时，有最小值2；
3）当时，，此时最小值大于2；
4）当时，，此时最小值大于3；
综上可知，当时，且最小值为2；故答案为：2；
③根据的几何意义，可表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和．于是可分以下五个情况讨论：
1）当时，；
2）当时；
3）当时，；
4）当时，；
5）当时，；
综上所述，当时，有最小值4，故答案为：4．
【点睛】本题考查在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简．掌握数轴上两点之间的距离的求法和绝对值的几何意义是解题的关键．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；
(2)若，则_________，若，则________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9，与的距离(2)或7.1，(3)5(4)有最小值，7
【分析】（1）根据数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将转化为即可得到结论；（2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或，数轴上表示的点和到表示3的点距离相等的点所表示的数为；（3）根据题意，表示a到的距离加上到2的距离，由于位于和2之间，即和2的两点距离之和，即可得到结论；
（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当时取得最小值，求出具体结果即可．
【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，
，即可表示为到的距离，故答案为：9；与的距离；
（2）解：，到3.1的距离为4，，，
，到的距离和到3的距离相同，，
故答案为：或7.1；；
（3）解：可表示a到的距离加上到2的距离且位于和2之间，
原式可看作与2之间的距离，；
（4）解：可表示为到的距离加上到的距离加上到1的距离，
当时，该式取得最小值，此时．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
5．（2022秋·全国·七年级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______．（2）①若，则______；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____．
【拓展延伸】（5）当____时，有最小值，最小值是_____．
【答案】探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）2，4
【分析】探索：（1）数轴上两数之间的距离计算用大数减去小数即可；
（2）①根据材料判断式子的意义，然后得到x的值；②根据距离可直接得到x的取值，求和即可；
动手折一折：（3）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可；
（4）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可；
（5）根据式子的实际意义可知，当x=2时式子有最小值．
【详解】解：探索：（1）4-（-2）=6；
（2）①由材料可知中x表示数轴上到-1的距离是3的数∴x=-4或2；
②由题可知x所表示的数可为-2，-1，0，1，2，3∴-2-1+0+1+2+3=3
【动手折一折】（3）由题可知折叠是点是原点∴3表示的点与-3表示的点重合
（4）①由题可知折叠点是-1∴10表示的点和-12表示的点重合
②∵A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020
∴A，B（A在B的左侧）两点到-1的距离均为1010
∴A表示的数=-1010-1=-1011，B表示的数=1010-1=1009；
③由题意有：-1-a=b+1即b+a=-2
【拓展延伸】（5）根据材料可知表示数轴上一数x到-1和2和3的距离和，当x=2时，式子有最小值，最小值为4
故答案为：探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）2，4
【点睛】本题主要考查绝对值实际意义，结合数轴，判断式子的实际意义是解题的关键．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）当取最小值时，符合条件的整数有 ．
（4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解．
【答案】（1）；（2）；或；（3），，，；（4）；
【分析】（1）根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据两点间的距离及绝对值的性质，可得答案；
（3）根据数轴上的几何意义，可得当−1≤x≤2时，它的最小值为3，从而得出符合条件的整数；
（4）根据数轴上的几何意义，可得当x=2时，y有最小值．
【详解】解：（1）|1−（−3）|＝4；|（−2）-（-5）|＝3；故答案为：4；3；
（2）|x−（−1）|＝|x＋1|或|（−1）−x|＝|x＋1|；
若，得x＋1＝2或x＋1＝−2，解得x＝1或x＝−3；故答案为：|x＋1|；或；
（3）当x＜−1时，＝−x-1+2-x＝−2x+1，
当−1≤x≤2时，＝x＋1+2-x＝3，
当x＞2时，＝x+1＋x-2＝2x-1，
在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2的距离之和，所以当−1≤x≤2时，它的最小值为3．故当取最小值时，符合条件的整数有，，，；故答案为：，，，；
（4）在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2和到3的距离之和，所以当x=2时，y有最小值为4．故答案为： ；
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为 ；如果，那么x为 ．
(3)若点A表示的整数为x，则当x为 时，与的值相等．
(4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
【答案】(1)画图见解析，，，(2)，2或(3)(4)，7
【分析】（1）先在数轴上画出B、C，然后根据数轴上两点距离公式求出即可；
（2）根据数轴上两点距离公式可得，再由得到绝对值方程，解方程即可；
（3）根据题意得到，解绝对值方程即可得到答案；
（4）分，和三种情况去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
B点表示的数，C点表示的数1，的距离是；故答案为：，，；
（2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为：，
∵，∴，∴或，∴或，故答案为：，2或；
（3）解：由题意得，∴或，∴， 故答案为：；
（4）解：当时，；
当时，；当时，；
∴当时，有最小值7，故答案为：，7．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，用数轴表示有理数，解绝对值方程，化简绝对值，熟知数轴与绝对值的相关知识是解题的关键．
8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A、B两点间的距离记为d，则d和a、b数量关系为 ．
(3)若点C表示的数为x，|取得的最小值是 ．
(4)应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车 辆，8辆，4辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
【答案】(1) ，，，，，(2)|a﹣b|(3)3(4)辆
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式两数之差的绝对值即可得到答案；
（2）根据数轴上两点间距离公式两数之差的绝对值即可得到答案；
（3）根据两点间距离公式可知 代表点C到 ，2距离之和，当点C在 ，2之间时最小，即可得到答案；（4）先算出总车数，在算出4个点相等的量10，分别画出调配方案选取最少的数量即可．
【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式可得，
，，，，，，
故答案为： ，，，，，；
（2）解：由数轴上两点间距离公式得，
A和B之间的距离 ，故答案为：；
（3）解：∵ ，2距离是 ，
∴C在 ，2之间时，取得的值最小，最小值是3；故答案为：3；
（4））解：应用：根据题意，共有5种调配方案，如下图所示：
由上可知，调出的最小车辆数为： 辆．
【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间距离及规律．
9．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
(1)如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 ___________（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：①满足的x的值是 ___________，
②设，当x的取值在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ___________；当x的取值在 ___________的范围时，的最小值是 ___________；
(3)求的最小值以及此时x的值；
(4)若对任意有理数x都成立，求a的最大值．
【答案】(1)(2)①，4，②4；不小于0且不大于2；2(3)4，2(4)4
【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；
（3），根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式并仿照（3），可得答案．
【详解】（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为．故答案为：；
（2）①满足的x的所有值是、4．故答案为：，4；
②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，
这个最小值是4；
当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，取得最小值，这个最小值是2；
故答案为：4；不小于0且不大于2；2；
（3）由分析可知，当时能同时满足要求，把代入原式；
（4）根据题意得求a的最大值，就是求的最小值，
∵，
要使的值最小，x的值取到0之间（包括、0）的任意一个数，
要使的值最小，x取1到2之间（包括1、2）的任意一个数，
显然当x取1到2之间（包括1、2）的任意一个数能同时满足要求，
∴当时，得，即a的最大值为4；
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
10．（2022秋·重庆綦江·七年级校考阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b．
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A、B两点间的距离记为d，由（1）显然有．为此，我们可以这样理解：表示数轴上数x与数 这两点之间的距离，表示数轴上数x与数 这两点之间的距离．
(3)根据前面（1）（2）中获取的知识解决下面的问题．
若记式子的最小值为m，式子的最大值为n，求的值
【答案】(1)见解析(2)5；(3)
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，即可求解；（2）根据数轴上两点间的距离，即可求解；
（3）根据数轴上两点间的距离以及绝对值的几何意义，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，填写表格如下：
（2）解：根据题意得：表示数轴上数x与数5这两点之间的距离，表示数轴上数x与数这两点之间的距离．故答案为：5；
（3）解：根据题意得：分别表示数轴上数x与数，数x与2， 数x与5之间的距离的和，∴当时，数轴上数x与数，2，5之间的距离的和最小，即，
表示数轴上数x与数，数x与数3之间的距离的差，
∴当时，表示数轴上数x与数，数x与数3之间的距离的差最大，
即，∴．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义是解题的关键．
11．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
①；②；③
从而化简代数式时可分以下种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上所述：原式，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当时，______．（2）化简代数式：
（3）直接写出的最大值______．
【答案】（1）；（2）原式；（3）
【分析】（1）根据绝对值的意义可得结论；（2）零点值x=2和x=4可将全体实数分为不重复不遗漏的如下三种情况：、、分该三种情况找出的值；（3）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．
【详解】解：（1）当时，．故答案为：
（2）化简代数式：分为以下三种情况讨论：
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
综上所述：原式
（3）的最大值：
当时，原式，
当时，原式，，
当时，原式，
则的最大值为．
【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．
12．（2022秋·浙江·七年级专题练习）我们知道的几何意义是表示在数轴上数对应的点与原点的距离；即， 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 、对应点之间的距离．如图，数轴上数对应的点为点A，数对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB==．
（1）可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；（2）请根据上述材料内容解方程；
（3）式子的最小值为 ； （4）式子的最大值为 ．
【答案】（1），；（2）或0；（3）2；（4）3
【分析】（1）把|x+1|变形为|x-(-1)|可以得到解答．
（2）画出到-1对应的点距离为1的点，再找出其所对应的数即可；
（3）根据|x+1|+|x−1| 表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和进行求解；
(4)|x+1|−|x−2| 表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差求解 ．
【详解】解：（1)∵|x+1| =|x-(-1)|，
∴|x+1| 可以表示数 x对应的点和数-1对应的点之间的距离；故答案为x，-1；
（2）由(1)知，|x+1| 表示数 x对应的点和数-1对应的点之间的距离，
∴|x+1|=1 的解即为到-1对应的点距离为1的点所表示的数，所以由下图可得x=-2或x=0；
（3）∵|x+1|+|x−1| 表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和，
又当x表示的点在-1和1表示的点之间(包括-1和1）时，|x+1|+|x−1|取得最小值，最小值即为-1和1表示的点之间的距离，为2；
（4）∵|x+1|−|x−2| 表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差，
∴当x-1时，|x+1|−|x−2|= -3，
当x2时，|x+1|−|x−2|=3，
当时，-3<|x+1|−|x−2|<3，∴式子 |x+1|−|x−2| 的最大值为3．
【点睛】本题考查绝对值算式的几何意义，利用绝对值算式的几何意义把绝对值算式的计算转化为数轴上两点距离的求法是解题关键．
13．（2023秋·北京·七年级校考期中）（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；
当A、B两点都不在原点时：
①如图乙，点A、B都在原点的右边，；
如图丙，点A、B都在原点的左边，；
如图丁，点A、B在原点的两边，．
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
（2）回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果，那么______；
当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是______．
当代数式取最小值时，相应的x的值是______．
当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是______．
【答案】①3，3，4；②，1或3；③；④；⑤
【分析】①根据中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解；
②根据，即可直接写出结果；③表示数轴上一点到与5两点的距离的和，当这点是或5，以及它们之间时和最小，最小距离是与5之间的距离；④代数式表示数轴上一点到1、与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当时和最小，最小值是5到的距离；
⑤代数式表示数轴上一点到5与两点的距离的差，当点小于等于时差最大，最大值是5与之间的距离．
【详解】解：①，，；故答案为：3；3；4；
②数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，
当AB=2时，则则或故答案为：；1或3；
③表示数轴上一点到与5两点的距离的和，当这点在和5之间时和最小，最小距离是： 故答案为：；
④代数式表示数轴上一点到1、与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当时和最小，最小值是5到的距离，是 故答案为：；
⑤代数式表示数轴上一点到5与两点的距离的差，当点所表示的数小于等于时差最大，最大值是5与之间的距离，是7．故答案是：．
【点睛】此题考查的是数轴与绝对值的关系，掌握两点之间的距离公式是解决此题的关键．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之间的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
【答案】（1）4，3；（2）|x-1|, |x+3|;（3）7, 10;（4）2
【分析】（1）直接代入公式即可;（2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可；（3）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+ 3|+|x-4|的值最小; 当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+ 2|+ |x-3|+ |x+4|值最小;（4） 分3种情况讨论，|x-1|-|x-3|的值最大.
【详解】解：（1）6﹣2=4, 1-(-2)=3 所以,数轴上表示2和6两点之间的距离是4,数轴上表示1和-2的两点之间的距离为3；答案为: 4, 3;
（2）根据两点间距离公式可知:数轴上表示x和1两点之间的距离为|x-1|,数轴上表示x和-3两点之间的距离为|x+ 3| 故答案为: |x-1|, |x+3|;
(3)x+3=0,x-4=0,解得x=-3,x=4；
当x＜-3时，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1＞7
当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7
当x＞4时，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7
x对应点在点-4和3之间时的任意一点,|x-3|+ |x+4|的最小值为7；
同理,分5种情况说明：当x＜-4时，原式=-4x-2＞14
当-4≤x＜-2时，原式=-2x+6, 10≤原式≤14
当-2≤x≤1时，原式=10,
当1＜x≤3时，原式=2x+8, 10＜原式≤14
当x＞3时，原式=4x+2＞14
由此可得，当-2≤x≤1时原式值最小，最小值是10，
∴当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+2|十|x-3|+ |x+4|的最小值为10, 故答案为: 7, 10;
(4) ∵x-1=0,x-3=0∴x=1,或x=3
∴当x≤1时，|x-1|-|x-3|=1-x-(3-x)= -2，
当x≥3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2
当1＜x＜3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(3-x)=2x-4,-2＜2x-4＜2
∴当x≥3时，|x-1|-|x-3|最大，最大值是2 故答案为: 2
【点睛】此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，,体现了数形结合的优点.
15．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知数轴上点A、B分别表示的数是、,记A、B两点间的距离为AB。（1） 若a=6,b=4,则AB= ；若a=-6,b=4,则AB= ；
（2） 若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？
（3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和.
（4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为 ，|x-1|-|x+2|取得最大值为 .
【答案】(1)2;10;(2)d=|a-b|;(3)±1, ±2,±3, ±4, ±5，0;和为0; (4)3,3.
【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解；（2）根据计算结果列出算式即可；
（3）求出-5到5的距离正好等于10,可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可；
（4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，则|x-1|+|x+2|表示两个距离的和，|x-1|-|x+2|表示两个距离的差，根据此意义即可求得．
【详解】解：（1）若a=6,b=4,则AB=6-4=2；若a=-6,b=4,则AB=4-（-6）=10；
（2）d和a、b之间的数量关系：d=|a-b|；
（3）∵5-（-5）=5+5=10，∴点P在5和-5之间
∴符合条件的整数点P表示的数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，
∴这些整数的和=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=0；
（4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，
∵1到-2的距离是1-（-2）=3，
∴当点C在-1到2（含-1和2）之间时，|x-1|+|x+2|取得的值最小，最小值是3；
当点C在2的左边（含2）时，|x-1|-|x+2|取得的值最大，最大值是3.
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
无法确定
当时
的值为定值，即为
当
无法确定
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
的值为定值，即为—
当时
当
的值为定值，即为
8
5
4
0
，两点间的距离
4
8
4
8
5
4
0
，两点间的距离
4
8
4
15
3.5
a
6
2
b
4
0
4
A、B两点的距离
a
6
6
2
b
2
0
0
1.5
A、B两点的距离
4
6
6
5
a
6
6
2
b
2
0
0
1.5
A、B两点的距离
4
6
6
5
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