八年级数学下册专题06直角三角形中的分类讨论模型(原卷版+解析)

这是一份八年级数学下册专题06直角三角形中的分类讨论模型(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了直角三角形中的分类讨论模型等内容，欢迎下载使用。
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
例5．（2022秋·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ．
例6.（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．

例7.（2023·浙江·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ ．
例8．（2023秋·广东八年级课时练习）如图所示，已知，P是射线上一动点，．
(1)当是等边三角形时，求的长；(2)当是直角三角形时，求的长．

例9．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．

(1)如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明；
(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．
例10．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求直线的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值．
例11．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为．

(1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标．
(3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．
课后专项训练
1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出 个．
3．（2023秋·广东·八年级专题练习）平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 ．
4．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度．
5．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ．
6．（2023春·江苏·八年级期末）在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是 ．（写出所有的正确结果）
7．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜边AB上一个动点，E是直线BC上的一个动点，将△ABC沿DE折叠，使点B的对应点F落在直线AB上，连接CF，当△CEF是直角三角形时，线段BD的长为 ．
8．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）在中，高和所在直线相交于点O，若不是直角三角形，且，则 ．
9．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在等边三角形中，，于点，点，分别是，上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．
10．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，是边长为的正三角形，动点从向以匀速运动，同时动点从向以匀速运动，当点到达点时，两点停止运动，设点的运动时间为秒，则当__________时，为直角三角形．
11.（2022秋·山东济南·八年级统考期中）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则
12．（2023·河南·郑州市三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
13．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
14．（2023秋·成都市八年级课时练习）如图，在中，，，，点F在直线上，连接．若为直角三角形，求的度数．

15．（2023春·广东·八年级专题练习）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接，交于点F．当是直角三角形时，求度数．
16．（2023秋·江西新余·八年级统考阶段练习）在中，，，，点从点出发以的速度沿向点运动，同时点从点出发以的速度沿向点运动，运动的时间为．连接．(1)当为何值时，？(2)当为何值时，为等边三角形？(3)当为何值时，为直角三角形？

17．（2023秋·广东·八年级课堂例题）某同学在学习过程中得出两个结论，结论1：在直角三角形中，夹内角的两边长是2倍的关系．结论2：在一个三角形中，如果夹内角的两边长是2倍的关系，那么这个三角形是直角三角形．(1)上述结论1_________．（填写“正确”或“不正确”）
(2)上述结论2正确吗？如果你认为正确，请你给出证明；如果你认为不正确，请你给出反例．
(3)等边三角形的边长为4，点分别从点同时出发，分别沿边运动，速度均为1个单位长度/秒，当点到达点时两点均停止运动，则当运动时间是多少秒时，是直角三角形？请你给出解题过程．
18．（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．

(1)已知把线段分割成，若，，，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
19．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10．
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
21．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线．（1）在图2的中，，．请在图2中画出关于点的二分割线，且角度是 ；
（2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足:①为最小角；②存在关于点的二分割线．的度数是 ；
（3）已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线．请求出的度数（用表示）．
22．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为

(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
专题06 直角三角形中的分类讨论模型
模型1、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形．
【答案】5或/或5
【分析】分为三角形的最长边和为三角形的最长边，两种情况进行求解即可．
【详解】解：①为的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：，
∴（负值已舍去）；
②为三角形的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：，
∴（负值已舍去）；
综上：或；故答案为：5或．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握当三角形的三边满足两短边的平方和等于第三边的平方时，三角形为直角三角形是解题的关键．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
【详解】解：如图所示，当时，
∵是的角平分线，，
∴，∴中，；
如图，当时，
同理可得，∵，∴，
∴，
综上所述：的度数为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
∵，，
∴，，，
∴，，都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，
，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
例5．（2022秋·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ．
【答案】7或或
【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．
【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；
（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．
在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD；
（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，
在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD．故答案为7或或．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
例6.（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．

【答案】9或18
【分析】分两种情况，分别求解，（1）当时，如图（1），根据轴对称的性质得，得；（2）当时，如图（2），根据轴对称的性质得，得A、、C在同一直线上，根据勾股定理得，设，则，根据勾股定理，计算即可．
【详解】解：（1）当时，如图（1），

∵，根据轴对称的性质得，
∵，∴是等腰直角三角形，∴；
（2）当时，如图（2），

根据轴对称的性质得，为直角三角形，
即，∴，∴A、、C在同一直线上，
根据勾股定理得，∴，
设，则，在中，，
即，解得，即；
综上所述：的长为9或18；故答案为：9或18．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，画出图形是解题关键．
例7.（2023·浙江·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ ．
【答案】1或
【分析】根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，③反证法证明的情形不成立．
【详解】解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．

∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．
②如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，
③若，如图点C与C′是关于直线AP的对称点，连接
由题意可得
若，
根据对称性可得
, 根据平行线之间的距离相等，
若，则到的距离等于4而不平行
假设不成立 综上所述，PB的值为：1或．
【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
例8．（2023秋·广东八年级课时练习）如图所示，已知，P是射线上一动点，．

(1)当是等边三角形时，求的长；(2)当是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)10；(2)5或20．
【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况讨论：①若，则，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求；②若，则，从而可求。
【详解】（1）当为等边三角形时，．
（2）当是直角三角形时，分两种情况讨论：
①若，则，∴，∴；
②若，则， ∴．
综上所述，的长为5或20．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用相关知识是解题的关键．
例9．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．

(1)如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明；
(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)是等边三角形；见解析(2)；(3)的长是或
【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；
（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，∴，由折叠可得，∴，
∴，∴是等边三角形；
（2）解：由折叠可得，∵，∴，
∵，∴，设，则，
在中，，即，解得，∴；
（3）解：的长是或，理由如下：当时，点在内（如图所示）

∵，∴，∴
由折叠得，∴，∴，∴；
当时，点在外，同理可得，∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
例10．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求直线的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值．
【答案】(1)(2)M点的坐标为或或(3)8
【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意进行分类讨论：①当时，过A作的垂线，交y轴于点，交x轴于点，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；②当时，过点B作的垂线交y轴于点，用相同的方法即可求解；（3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明，得出，即可得出．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
∵，在直线上，
∴ ，解得： ，∴直线的解析式为：；
（2）解：∵是以为直角边的直角三角形，∴有或，
①当时，如图：
设点，，∵，，
∴，，，，，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，∴，
②当时，如图：
过点B作的垂线交y轴于点，设，∵，，
∴，，，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，∴．
综上：M点的坐标为：或或．
（3）解：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图：
则，又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
在和中， ，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征．
例11．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为．

(1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标．
(3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）先求出点D的坐标，再把，代入，解方程组即可解答．
（2）求出，，设，则，，再由四边形的面积，可得，即可解答．（3）设，，可得，分情况讨论：当为斜边时，当为直角边时，即可解答．
【详解】（1）在中，令得，∴，
把，代入得：，解得，∴直线的解析表达式为．
（2）如图，在中，令得，令得，
∴，，设，∴，，

∵，四边形的面积为14，∴，解得，∴．
（3）设，，
∴，，，
当为斜边时，如图：

，解得，∴，
当为直角边时，如图：
，解得，∴，
∴M的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法求一次函数的解析式，四边形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练运用分类讨论是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】分两种情况：①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个；②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个；
②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，符合条件的点有2个；
符合条件的点的个数共有4个，故选：．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、直角三角形的判定；作出图形，分情况讨论是解题的关键．
2．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出 个．
【答案】6
【分析】根据等腰直角三角形的性质，分点是直角边和斜边两种情况作出图形即可得解．
【详解】解：如图，以点和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可作出6个．故答案为：6

【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
3．（2023秋·广东·八年级专题练习）平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 ．
【答案】（4，7）或（7，3）
【分析】根据等腰直角三角形的性质，分AC为直角边和斜边两种情况进行讨论即可.
【详解】解：如图，观察图象可知，满足条件的点C的坐标为（4，7）或（7，3）．
故答案为：（4，7）或（7，3）．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，点的坐标，解题的关键在于能够分类讨论AC是直角边还是斜边.
4．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度．
【答案】42或21
【分析】直接根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形内和定理和外角的性质，即可得出结论．
【详解】解：，，，
平分， 当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1，
，；
②当时，如图2，
，，
综上，的度数为或．故答案为：42或21．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形内和定理与外角的性质，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．
5．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ．
【答案】4，6或
【分析】由题意分AD=BD、AB=BD、AB=AD这三种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：如图，当AD=BD时，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴,设，
由，可得，解得：，即；
如图，当AB=BD时，∵AB=BD，∴;
如图，当AB=AD时，∵AB=BD，∠C=90°，∴；
综上可得CD的长为4，6或.故答案为：4，6或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键.
6．（2023春·江苏·八年级期末）在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是 ．（写出所有的正确结果）
【答案】69°或11°
【分析】分情况讨论，当∠AED=90°时，利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数；当∠ADE=90°时，通过三角形内角和求出∠ADB的度数，然后减去∠ADE即可求出答案．
【详解】∵，，∴∠A=180°-80°-42°=58°，
当是直角三角形时，如图，当∠AED=90°，

∵BD平分∠ABC，∴∠DBE= ∠ABC=，∴∠BDE=90°-21°=69°；
如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC= ∠ABC=，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°，∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=101°-90°=11°，故答案为：69°或11°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形注意分情况讨论．
7．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜边AB上一个动点，E是直线BC上的一个动点，将△ABC沿DE折叠，使点B的对应点F落在直线AB上，连接CF，当△CEF是直角三角形时，线段BD的长为 ．
【答案】或5
【分析】分两种情况讨论：当∠CFE＝90°时，过点C作CM⊥AB于点M，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，由直角三角形两锐角互余易得FC=AC=6，则M为AF的中点，由面积相等可求得CM的长，再由勾股定理可求得MF的长，则可求得BF的长，从而可得BD的长；当∠ECF＝90°时，此时点F落在点A，则BD＝AB＝5．
【详解】解：①当∠CFE＝90°时，过点F作CM⊥AB于点M，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，
∵∠A+∠B=90°，∠EFB+∠CFA=90°，∴∠A=∠CFA，∴FC=AC=6，
∵CM⊥AB，∴；
∵，∴，
在Rt△CFM中，由勾股定理得：，
∴，∴，∴；
②当∠ECF＝90°时，点F落在点A，则BD＝AB＝5；
综上，线段BD的长为或5．故答案为：或5．
【点睛】本题主要考查翻折变换（折叠问题）、勾股定理、等腰三角形的判定，由翻折的性质和直角三角形锐角互余得到FC=AC，是解答本题的关键．注意等积思想的应用．
8．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）在中，高和所在直线相交于点O，若不是直角三角形，且，则 ．
【答案】或
【分析】由题意△ABC不为直角三角形，所以需要对三角形进行分情况讨论，若为钝角三角形或锐角三角形时，根据题意画出图形，利用三角形的角度关系进行计算即可．
【详解】（1）当为锐角三角形时（如图①），
∵，，∴，
∵，∴；
（2）当为钝角三角形时（如图②），
∵，，∴；
综上分析可知，或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查三角形外角性质，本题关键在于能够对三角形进行分情况讨论．
9．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在等边三角形中，，于点，点，分别是，上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】由等边三角形的性质可得，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求的长．
【详解】解：∵是等边三角形，，∴，
∵沿所在直线折叠成，∴，
若，且∴，且
∴，∴，∴，
若，∴，
且∴∴故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是解本题的关键．
10．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，是边长为的正三角形，动点从向以匀速运动，同时动点从向以匀速运动，当点到达点时，两点停止运动，设点的运动时间为秒，则当__________时，为直角三角形．
【答案】3或4.8
【分析】分两种情况：①当时，；②当时，根据列方程求出t的值即可．
【详解】①当时，∵是正三角形∴∴
∴在中，，即，解得
②当时，∵是正三角形∴∴
∴在中，，即，解得
即当或时，为直角三角形故答案为：3或4.8．
【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握正三角形的性质、特殊三角函数值、解一元一次方程的方法是解题的关键．
11.（2022秋·山东济南·八年级统考期中）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则
【答案】或/或
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可．
【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，，
①如图1，当点E在线段CD上时，
∵，∴三点共线，
∵，∴，
∵，∴；
∴在中，；
②如图2，当点E在射线CD上时，
∵，，，∴，
设，则，∴，
∵，即，解得，∴，
∴在中，．
综上所述，AE的值为或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
12．（2023·河南·郑州市三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=AC=4，

如图2，当∠ACA′=90°时，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，
设PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，故答案为：4或3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
13．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
【答案】2或2或2
【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，结合三角函数，等边三角形的性质即可解题.
【详解】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，∴；
当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴，
在直角三角形ABP中，，
如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为或或2．
【点睛】考点：勾股定理．
14．（2023秋·成都市八年级课时练习）如图，在中，，，，点F在直线上，连接．若为直角三角形，求的度数．

【答案】的度数为或
【分析】在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合“两直线平行，同位角相等”可得出分度数，分及两种情况考虑，当时，利用三角形内角和定理可求出的度数，将其代入中即可求出的度数；当时，由即可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
．，，

分两种情况考虑：当时，，
；
当时，，
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，分及两种情况，求出的度数是解题的关键．
15．（2023春·广东·八年级专题练习）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接，交于点F．当是直角三角形时，求度数．
【答案】或
【分析】根据折叠的性质可得，，再由直角三角形两锐角的关系可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，结合三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∵，，∴，
当时，则，∴，
∴，∴；
当时，∵，∴，
∴，∴，∴；
综上所述，度数为或．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，图形的折叠，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
16．（2023秋·江西新余·八年级统考阶段练习）在中，，，，点从点出发以的速度沿向点运动，同时点从点出发以的速度沿向点运动，运动的时间为．连接．(1)当为何值时，？(2)当为何值时，为等边三角形？(3)当为何值时，为直角三角形？

【答案】(1)(2)(3)或
【分析】(1)根据勾股定理求得，列出方程，求解即可．(2)根据题意，，列出方程，求解即可．(3)根据题意，，当时，列出方程；当时，列出方程，分别求解即可．
【详解】（1）解：设运动，，
∵，，，∴，根据题意，得，
解得．故当时，．
（2）根据题意，，
∵为等边三角形，∴，解得．故当时，为等边三角形．
（3）根据题意，，
当时，，∴，解得；
当时，，∴，解得；
故当或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解一元一次方程，分类思想，熟练掌握直角三角形的性质，灵活解方程式解题的关键．
17．（2023秋·广东·八年级课堂例题）某同学在学习过程中得出两个结论，结论1：在直角三角形中，夹内角的两边长是2倍的关系．结论2：在一个三角形中，如果夹内角的两边长是2倍的关系，那么这个三角形是直角三角形．(1)上述结论1_________．（填写“正确”或“不正确”）
(2)上述结论2正确吗？如果你认为正确，请你给出证明；如果你认为不正确，请你给出反例．
(3)等边三角形的边长为4，点分别从点同时出发，分别沿边运动，速度均为1个单位长度/秒，当点到达点时两点均停止运动，则当运动时间是多少秒时，是直角三角形？请你给出解题过程．
【答案】(1)正确(2)正确，理由见解析(3)当运动时间是秒或秒时，是直角三角形
【分析】 如图，根据三角形的内角和得到， 根据直角三角形的性质得到 ，于是得到结论； 正确, 如图, 取的中点, 连接,由线段中点的定义得到 等量代换得到, 推出, 根据等腰三角形和外角的性质得到 , 即可得到结论; 分两种情况考虑:与时， 由三角形为等边三角形， 得到， 在直角三角形中，利用中结论列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，综上，得到所有满足题意的的值.
【详解】（1）上述结论正确，

如图, ∵，∴， ，
∴内角的两夹边长是倍的关系；故答案为：正确；
（2）正确．证明：如图①，在中，，，取的中点，连接，
则．．
又，是等边三角形．．
．．．结论2正确．
（3）设当运动时间是秒时，是直角三角形．
由题意可得，则．为等边三角形，．
分两种情况考虑：（ⅰ）当时，如图②所示，
则．，解得；

（ⅱ）当时，如图③所示，则．，解得．
综上所述，当运动时间是秒或秒时，是直角三角形．
【点睛】此题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，利用了分类讨论及方程的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.
18．（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．

(1)已知把线段分割成，若，，，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
【答案】(1)是，理由见解析(2)或
【分析】（1）是线段的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得证；（2）点是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：是线段的勾股分割点，
理由如下：∵，，，
，，，∴，
∴以为边的三角形是一个直角三角形，
∴根据勾股分割点定义，是线段的勾股分割点；
（2）解：∵点是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况：
①为斜边时，有，
设，则，∴；
②为斜边时，有，设，则，∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查新定义问题，读懂题意，按照勾股分割点定义，结合勾股定理求解是解决问题的关键．
19．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？
【答案】（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由见解析；（2）当t的值为或4时，PBQ为直角三角形．
【分析】（1）当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，结合已知条件可得点Q为BC的中点，再根据等腰三角形的三线合一即可证得AQ⊥BC；（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，然后分两种情况讨论即可：当∠PQB＝90°时，当∠BPQ＝90°时．
【详解】解：（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由如下：
由题意可得：当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，
∵等边ABC的边长为8，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，
∴CQ＝BC－BQ＝4＝BQ，∴点Q为BC的中点，
又∵AB＝AC，∴AQ⊥BC，∴当t＝2时，AQ⊥BC；
（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，
当∠PQB＝90°时，∵∠ABC＝60°，∴∠BPQ＝90°－∠ABC＝30°，∴PB＝2BQ，
∴8﹣t＝2×2t，解得：t＝；
当∠BPQ＝90°时，∵∠ABC＝60°，∴∠BQP＝90°－∠ABC＝30°，∴BQ＝2BP，
∴2t＝2（8﹣t），解得：t＝4；
∴当t的值为或4时，PBQ为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10．
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)，
【分析】（1）先求出，，即有，，再根据，可得，即可得，即有，再利用待定系数法即可求解；（2）设M点坐标为：，由，，即可得，问题随之得解；
（3）利用中点坐标公式求出，设，第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明，即有，，结合，可表示出，代入直线BC的解析式即可求解；第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，同理作答即可．
【详解】（1）令，则有：，解得，
令，则有：，∴，，∴，，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
设BC的解析式为：，∴，，
∴，解得：，∴的解析式为：；
（2）根据题意设M点坐标为：，∵，，
∴，∴，
∵，，，，∴，
解得：，，∴M点的坐标为：；
（3）∵，，点F为线段AB中点，∴，设，
第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，，
即：，
∵等腰直角三角形，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，，
∵轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，
∵，，∴，，
∴，，∴，∴，
∵落在直线BC上，BC的解析式为：，
∴，解得：，∴，
第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，，
即：，
根据第一种情况中的方法，同理可证：，∴，，
∵轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，
∵，，∴，，
∴，，∴，∴，
∵落在直线BC上，BC的解析式为：，
∴，解得：，∴，综上：G点坐标为：，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
21．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线．（1）在图2的中，，．请在图2中画出关于点的二分割线，且角度是 ；
（2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足:①为最小角；②存在关于点的二分割线．的度数是 ；
（3）已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线．请求出的度数（用表示）．
【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，；（3）∠A=45°或90°或90°－2α或，或α＝45°时45°＜∠BAC＜90°．
【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；（3）设BD为△ABC的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：（1）关于点的二分割线BD如图4所示，；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD为△ABC的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，
∴∠DBC＝∠C＝．
当∠A＝90°时，△ABC存在二分分割线；
当∠ABD＝90°时，△ABC存在二分分割线，此时∠A＝90°－2α；
当∠ADB＝90°时，△ABC存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A＜90°；
第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC＝90°时，若BD＝AD，则△ABC存在二分割线，此时；
当∠BDC＝90°时，若BD＝AD，则△ABC存在二分割线，此时∠A＝45°，
综上，∠A=45°或90°或90°－2α或，或α＝45°时，45°＜∠BAC＜90°．
【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．
22．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为

(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在，点F的坐标为或或
【分析】（1）根据直线交轴正半轴于点，交轴于点，，设直线解析式为，把的坐标代入求得的值，从而求得的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出的值，求出的值，从而求出点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出的解析式，先根据的坐标求出直线的解析式，将点的横坐标代入直线的解析式，求出的纵坐标，将的纵坐标代入直线的解析式就可以求出的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使为等腰直角三角形，分三种情况分别以点为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中的值，就可以求出点的坐标．
【详解】（1）解：，∴设直线的解析式为，
∵直线经过，，，
∴直线的解析式为，，，
的面积为，，
，，，直线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为，
， ∴，解得．∴直线的解析式为；
∵点P在上，且横坐标为m，，轴，∴E的纵坐标为，
代入得，，解得，，
的长；即，；
（3）解：在x轴上存在点F，使为等腰直角三角形，
①当时，如图①，有，，，
，解得，此时；
②当时，如图②，有，的长等于点E的纵坐标，
，，解得：，
∴点E的横坐标为，∴；
③当时，如图③，有，．
，．作，点R为垂足，
，，．同理，．
∵点R与点E的纵坐标相同，，∴，解得：，
，∴点F的横坐标为，．
综上，在x轴上存在点F使为等腰直角三角形，点F的坐标为或或．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．