八年级数学下册专题02二次根式综合(压轴33题10个考点)(原卷版+解析)

这是一份八年级数学下册专题02二次根式综合(压轴33题10个考点)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了使式子有意义的x的取值范围是，已知x＜1，则化简的结果是，如图是一个按某种规律排列的数阵等内容，欢迎下载使用。
1．若是整数，则正整数n的最小值是 ．
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
2．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜2
3．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝ ．
4．已知，则x2022y2023＝ ．
三．二次根式的性质与化简（共8小题）
5．已知x＜1，则化简的结果是（ ）
A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x
6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（ ）
A．4B．2aC．2bD．2a﹣2b
7．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．B．C．D．
8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…Tn＝，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+…+Tn，则S2021值是（ ）
A．2021B．2022
C．2021D．2022
9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简的结果是 ．
10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为 ．
11．若，则m的取值范围是 ．
12．若x＜2，化简|﹣x|的正确结果是 ．
四．二次根式的乘除法（共4小题）
13．使式子成立的条件是（ ）
A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5
14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3
15．若a，b为有理数且满足，则a+b＝ ．
16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．
∴1﹣x＞0．
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：．
五．分母有理化（共1小题）
17．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，
∴．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）；
模型应用2：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
六．同类二次根式（共1小题）
18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．16B．0C．2D．不确定
七．二次根式的加减法（共1小题）
19．若，则x﹣x2的值为 ．
八．二次根式的混合运算（共4小题）
20．已知，，则2y﹣3x的平方根为 ．
21．计算的结果是 ．
22．已知a＝，b＝．
（1）求a+b的值；
（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．
23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．
∵，
∴．
特别地，，
∴．
这种变形叫做将分母有理化．
利用上述思路方法计算下列各式：
（1）；
（2）．
九．二次根式的化简求值（共8小题）
24．已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．B．﹣10C．﹣2D．
25．已知，，则a与b的关系是（ ）
A．a＝bB．ab＝1C．ab＝﹣1D．a+b＝0
26．若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
27．若a＝2+，b＝2﹣，则＝ ．
28．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
29．已知a＝2+，b＝，则a2﹣3ab+b2的值为 ．
30．某同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与求解的：
先将a进行分母有理化，过程如下，
，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
（1）若，请将a进行分母有理化；
（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；
（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．
31．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若a＝．
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
十．二次根式的应用（共2小题）
32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 ．
33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为 ．
专题02 二次根式综合（压轴33题10个考点）
一．二次根式的定义（共1小题）
1．若是整数，则正整数n的最小值是 51 ．
【答案】51．
【解答】解：∵204＝4×51，
∴，
∴，
∵是整数，且n是整数，
∴n的最小值为：51．
故答案为：51．
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
2．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜2
【答案】B
【解答】解：根据题意，得
，
解得，﹣1≤x≤2；
故选：B．
3．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝ 2005 ．
【答案】2005．
【解答】解：∵有意义，
∴a﹣2005≥0，
解得：a≥2005，
∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，
故＝2004，
∴a﹣2005＝20042，
∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）
＝a﹣a+2005
＝2005．
故答案为：2005．
4．已知，则x2022y2023＝ ﹣ ．
【答案】．
【解答】解：∵，即，
解得：，
∴x＝2，
∴，
∵x2022y2023＝（xy）2022•y，
将x＝2，代入，
∴x2022y2023＝（xy）2022•y＝[2×（﹣）]2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝﹣．
故答案为：．
三．二次根式的性质与化简（共8小题）
5．已知x＜1，则化简的结果是（ ）
A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x
【答案】D
【解答】解：
＝
＝|x﹣1|
∵x＜1，
∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，
故选：D．
6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（ ）
A．4B．2aC．2bD．2a﹣2b
【答案】A
【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，
∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．
∴
＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|
＝a+2+2﹣b+b﹣a
＝4．
故选：A．
7．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是
n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．
故选：C．
8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…Tn＝，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+…+Tn，则S2021值是（ ）
A．2021B．2022
C．2021D．2022
【答案】A
【解答】解：由T1、T2、T3…的规律可得，
T1＝＝1+（1﹣），
T2＝＝1+（﹣），
T3＝＝1+（﹣），
……
T2021＝＝1+（﹣），
所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021
＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）
＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝2021+（1﹣）
＝2021+
＝2021，
故选：A．
9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简的结果是 ﹣a ．
【答案】﹣a．
【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a＜0＜b，
所以原式＝|a|＝﹣a，
故答案为：﹣a．
10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，
∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，
∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，
∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；
当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，
∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，
当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．
故答案为﹣3．
11．若，则m的取值范围是 m≤4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：，得4﹣m≥0，
解得m≤4，
故答案为：m≤4．
12．若x＜2，化简|﹣x|的正确结果是 2x+2或﹣4x+2 ．
【答案】2x+2或﹣4x+2．
【解答】解：当0≤x＜2时，
原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；
当x＜0时，
原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．
故答案为：2x+2或﹣4x+2．
四．二次根式的乘除法（共4小题）
13．使式子成立的条件是（ ）
A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5
【答案】B
【解答】解：由题意得：，
解得：a＞5．
故选：B．
14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3
【答案】D
【解答】解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
15．若a，b为有理数且满足，则a+b＝ 4 ．
【答案】1．
【解答】解：∵，
∴＝．
∴a＝3，b＝1．
∴a+b＝3+1＝4．
故答案为：4．
16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．
∴1﹣x＞0．
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：．
【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．
【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；
（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c．
五．分母有理化（共1小题）
17．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，
∴．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
【答案】（1）1+；
（2）2﹣；
（3）2﹣2．
【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，
即12+（）2＝6，1×＝，
所以：
＝
＝
＝1+；
（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，
即（）2+（）2＝13，×＝，
所以
＝
＝
＝
＝﹣
＝2﹣；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
所以，
所以，．
六．同类二次根式（共1小题）
18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．16B．0C．2D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵＝3，
而最简二次根式与是同类二次根式，
∴a+2＝2，
解得a＝0．
故选：B．
七．二次根式的加减法（共1小题）
19．若，则x﹣x2的值为 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0．
∴x≥2．
∴1﹣x＜0．
∴．
∴x﹣1+＝x．
∴．
∴x＝3．
∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．
故答案为：﹣6．
八．二次根式的混合运算（共4小题）
20．已知，，则2y﹣3x的平方根为 ±4 ．
【答案】±4．
【解答】解：∵，
∴96﹣x≥0，
∴x≤96，
∴100﹣x+96﹣x＝200，
解得x＝﹣2，
∵，
∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，
解得m＝2，
∴y＝5，
∴±＝±＝±4，
故答案为：±4．
21．计算的结果是 + ．
【答案】+．
【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2022×（+）
＝（2﹣3）2022×（+）
＝+．
故答案为：+．
22．已知a＝，b＝．
（1）求a+b的值；
（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．
【答案】（1）2；
（2）20．
【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．
a+b＝﹣2++2＝2，
（2）∵2＜＜3，
∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，
∴m＝﹣2，n＝4，
∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．
23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．
∵，
∴．
特别地，，
∴．
这种变形叫做将分母有理化．
利用上述思路方法计算下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2020；
（2）1．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝2021﹣1
＝2020；
（2）
＝
＝
＝
＝1．
九．二次根式的化简求值（共8小题）
24．已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．B．﹣10C．﹣2D．
【答案】C
【解答】解：∵，
∴x﹣1＝，
∴x2﹣2x﹣6
＝（x﹣1）2﹣7
＝（）2﹣7
＝5﹣7
＝﹣2，
故选：C．
25．已知，，则a与b的关系是（ ）
A．a＝bB．ab＝1C．ab＝﹣1D．a+b＝0
【答案】D
【解答】解：a＝＝＝3﹣＝﹣（﹣3），
A．a＝﹣b，故本选项不符合题意；
B．ab
＝（3﹣）×（﹣3）
＝﹣（﹣3）2
＝﹣（5﹣6+3）
＝﹣5+6﹣3
＝﹣8+6，故本选项不符合题意；
C．ab＝﹣8+6，故本选项不符合题意；
D．a+b＝3﹣+﹣3＝0，故本选项符合题意．
故选：D．
26．若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵＝＝，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴++
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
27．若a＝2+，b＝2﹣，则＝ 8 ．
【答案】8．
【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a2＝（2+√5）2＝4+4+5＝9+4，
b2＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9﹣4，
ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣5＝﹣1．
﹣＝
＝
＝8．
故答案为：8．
28．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ 4030 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m＝＝
＝
＝，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015
＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015
＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
29．已知a＝2+，b＝，则a2﹣3ab+b2的值为 11 ．
【答案】11．
【解答】解：当a＝2+，b＝时，
a2﹣3ab+b2，
＝﹣+，
＝，
＝，
＝11．
30．某同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与求解的：
先将a进行分母有理化，过程如下，
，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
（1）若，请将a进行分母有理化；
（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；
（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．
【答案】（1）；（2）1；（3）．
【解答】解：（1）a＝
＝
＝；
（2）∵，
∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1；
（3）根据（2）可知，a2﹣2a＝1，
∴2a3﹣4a2﹣1
＝2a（a2﹣2a）﹣1
＝2a﹣1，
当a＝时，
原式＝2（）﹣1
＝2．
31．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若a＝．
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
【答案】（1）9；
（2）①a＝+1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．
【解答】解：（1）
＝﹣1+++…+
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9；
（2）①a＝＝＝＝+1，
∴a＝+1，
∴（a﹣1）2＝（）2＝2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a﹣1
＝4（a2﹣2a）﹣1
＝4×1﹣1
＝4﹣1
＝3；
②由①知a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+1
＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1
＝a×1﹣1﹣a+1
＝a﹣1﹣a+1
＝0．
十．二次根式的应用（共2小题）
32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 1或或2﹣ ．
【答案】1或或2﹣．
【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；
如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．
故答案为：1或或2﹣．
33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为 ．
【答案】
【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，
∴，
∴
＝
＝
＝，
故答案为：．