山东省临沂市2024届九年级下学期中考模拟数学（A）试卷(含解析)

这是一份山东省临沂市2024届九年级下学期中考模拟数学（A）试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2024年临沂市初中学业水平考试模拟试题（A卷）
数 学注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1．计算（ ）
A．2B．C．0.5D．
2．地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市与文化的缩影，下列图案分别为北京、台州、深圳、温州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2021年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从8.32万亿元增加到11.4亿亿元，稳居世界第二，11.4亿亿用科学记数法表示为（ ）．
A．B．C．D．
4．如图是某种零件模型的示意图，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
6．如图，△ABC≌△ADE，且AE//BD，∠BAD＝96°，则∠BAC的度数的值为（ ）
A．84°B．60°C．48°D．42°
7．已知点，，都在抛物线上，且点A在点B左侧，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则
8．在同一平面内，从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位，与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数的图象经过点C，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
12．若平行四边形的两条边长分别为和，且一边上的高为，则该平行四边形的面积为 ．
13．已知关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是 ．
14．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 个．
15．如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与交于M，N；
④作AP的垂直平分线与交于E，F.
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点P，使得.
对于结论Ⅰ和Ⅱ正确的是 ．
16．2021年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点，我们从点出发构造无穷点列，…构造规则为：若点在直线上，那么下一个点就在双曲线上，且；若点在双曲线上，那么下一个点就在直线上，且，根据规则，点的坐标为 ．无限进行下去，无限接近的点的坐标 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（1）计算：．
（2）解不等式组：，并写出其所有非负整数解．
18．某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍．
(1)求A，B两种科普书每本进价各是多少元；
(2)该书店计划A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为86元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1560元，则至少购进B种科普书多少本？
19．某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A、B、C、D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)在这次调查中一共抽取了 名学生；
(2)请根据以上信息补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，C等级对应的圆心角是 度；
(4)根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
20．下面是工程师孙师傅的工作日志，请你仔细阅读，完成相应任务．
解决问题：请你根据孙师傅的方法，求出信号塔的高度．（参考数据：，，）
21．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
23．根据以下素材，探索完成任务．
24．几何探究与实践
(1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ；
(2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：；
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．
参考答案与解析
1．B
解析：解：
．
故选：B．
2．C
解析：解：解：选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
选项，是中心对称图形，故正确，符合题意；
选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
故选：．
3．B
解析：解：因为亿=，所以亿亿=；
故选：B．
4．C
解析：解：该零件模型是一个空心圆柱，从上面看俯视图是两个同心圆（都用实线）．
故选：C．
5．D
解析：解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
6．D
解析：解：∵△ABC≌△ADE，∠BAD＝96°，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣96°）＝42°，
∵AE//BD，
∴∠DAE＝∠ADB＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE＝42°．
故选：D．
7．D
解析：∵抛物线
∴对称轴为，且开口向上
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∵点，，都在抛物线上，且点A在点B左侧，
∴点A在对称轴左边，点B在对称轴右边，且到对称轴距离相等，
∴当时，
∵，
∵；
∴当时，
∵，
∴．
故选：D．
8．A
解析：解：从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法，
由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形．
∴这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为．
故选：A．
9．C
解析：解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．
∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝×1×3＋＝4．
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
故选C．
10．B
解析：解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EGBF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE•AF，
设AE=x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x；
当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．

11．
解析：解：
故答案为：．
12．
解析：如图所示，平行四边形的两条边长分别为和，且一边上的高为4，
∴，，
∵平行四边形一边上的高为，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
故答案为：．

13．
解析：解：当时，原方程为：，则方程为一元一次方程，有一个实数解；
当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，
解得：，
综上，关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是．
故答案为：．
14．7
解析：611，617，721，723，729，831，941共7个，
理由：设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴百位数字和十位数字的和为a+a+5=2a+5，
当a=1时，2a+5=7，
∵7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617；
当a=2时，2a+5=9，
∵9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729；
当a=3时，2a+5=11，
∵11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831；
当a=4时，2a+5=13，
∵13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941；
∴满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
故答案为7．
15．结论Ⅰ
解析：解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O的直径，
∴OM=ON，OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF=MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当∠MOF=∠AOB，
∴S扇形FOM=S扇形AOB，
观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故答案为：结论Ⅰ．
16．
解析：解：∵点满足一次函数解析式，即点在直线上，
∴点的横坐标为1且点在反比例函数上，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为3，且点在直线上，
∴点的横坐标为5，
∴点的坐标为，
同理点的坐标为，， ，，
结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，
∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，
联立，
解得或（舍去），
故答案为：，．
17．（1）；（2），0，1
解析：解：（1）
．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴所有非负整数解为0，1．
18．(1)A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
(2)至少购进B种科普书75本
解析：（1）解：设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，
根据题意得：，
解得：，
∵m为正整数，且为正整数，
∴m为3的倍数，
∴m的最小值为75，
答：至少购进B种科普书75本．
19．(1)80
(2)见解析
(3)108
(4)600名
解析：（1）解： （名，
（2）解：等级的学生为（人
补全条形统计图如下：
（3）解：扇形统计图中，C等级对应的圆心角的度数为：，
（4）解： （人），
答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为等级．
20．
解析：解：作于F，于G．
在中，设米，
∵
∴米，
∴米
∴，
∴米，
∴米，
∴米，米，
在中，
米
米．
答：信号塔的高度为．
21．(1)
(2)
（1）把点代入一次函数，求出；把点代入反比例函数，即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接；当三点共线时，的值最小，根据点对称的性质，一次函数的性质，即可．
解析：（1）∵点在一次函数图象上，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接，
∴，
当，，三点共线时，的值最小，即，
∴设直线的解析式为：，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴点．
22．（1）证明见解析（2） （3）
解析：（1）证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
（2）连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD＝
（3）先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3)²=(2x) ²＋3² ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△BOF∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=y=
∴AB=＋4=
考点：圆的综合题．
23．任务1：，D坐标为；任务2：；任务3：
解析：任务1：∵二次函数的图像过原点
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为
其顶点D坐标为．
任务2：由任务1可知，抛物线的解析式为
令，得，
解得，，
∴．
将代入直线，
得，
∴，
∴
∵直线与坐标轴交于A，B两点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
又∵C，是关于对称轴直线的一对对称点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
解得．
∴ ．
任务3：∵点P在抛物线上，
∴设P的坐标为，则
过点D作x轴的平行线，过点P作于点F，则依题意有，
∴，即，
解得（舍去）
∴，
∴直线的解析式为
在图5中，，
代入，
得，
∴图5中的二次函数解析式为，
∵点Q在直线上，
∴设点，代入，
则
解得或，
∴或，
∵幼苗是越长越张开，
∴不符合题意，舍去．
过点Q作于H，
在中，
∴幼苗叶子的长度为．
24．(1)且
(2)见解析
(3)和的面积相等，理由见解析
(4)
解析：（1）解：∵，都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴在中，，
∴，即，
故答案为：且；
（2）证明：由（1）可知，且，
在中，，
在中，，
∵，
∴
，
∴；
（3）解：和的面积相等，理由如下，
如图所示，延长到点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，点是中点，
∴，
∴，
∴和的面积相等；
（4）解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，垂足为，
在中，，
∴，
如图所示，延长，过点Q作延长线于点T，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴的长度为．
工作日志
今天，我们要在一座山上修建一座信号塔，修建完成后需要再次校准信号塔的高度．为完成此任务，我们进行了如下操作：
我们把它抽象为一个数学问题：如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，我们从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为144.5米，斜坡的坡度，然后通过计算求出了信号塔的高度．
通过今天的经历，我认识到了数学在实际生活中的强大能力，数学来于生活又高于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决问题．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
1．在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
2．幼苗在生长过程中，叶片是越长越张开．
素材
问题解决
任务1
确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图像的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任务2
研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，过点C作x轴的垂线交直线于点E，点C，是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度．
任务3
探究幼苗叶片的生长
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图像的一部分．
如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线（点P为叶尖）与水平线的夹角为．三天后，叶片根部D长到与点P同一水平位置的处时，叶尖Q落在射线上（如图5所示），求此时幼苗叶片的长度．