2024年浙江省温州绣山中学中考三模数学试题

这是一份2024年浙江省温州绣山中学中考三模数学试题，共30页。
欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点：
1．全卷共4页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．
祝你成功！
卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1. 已知算式3□的值为，0，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A. +B. -C. ×D. ÷
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、“□”内应填入+，则，满足题意，该选项是正确的；
B、“□”内应填入-，则，不满足题意，该选项是错误的；
C、“□”内应填入×，则，不满足题意，该选项是错误的；
D、“□”内应填入÷，则，不满足题意，该选项是错误的；
故选：A．
2. 淋巴细胞是体积最小的白细胞，单个直径只有微米，即米．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中试卷源自 每日更新，会员下载免费且不限量。，为整数．
【详解】解：．
故选：C．
3. 如图是型磁铁示意图，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
根据俯视图定义即可确定．
【详解】解：从上往下看，是一个大长方形，左右两侧有两个小长方形，中间的棱看得见，为实线，
故选：D．
4. 某校随机调查了七年级40名学生一周体育锻炼时间，并绘制了如图所示的条形统计图，那么这40名学生一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别是（ ）
A. 9，8B. 8，9C. 16，13D. 16，16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是众数和中位数的定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
众数是在一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．本组数据中，8出现了16次，出现的次数最多．把数据按照从大到小的顺序排列，最中间的两个数的平均数即为中位数．
【详解】解：8是出现次数最多的，故众数是8，
这组数据从小到大的顺序排列，中位数是第20，21名学生的成绩的平均数，而处于中间位置的两个数都是9，故中位数是．
故选：B．
5. 若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可．
【详解】解：，，
，
，
故选D．
6. 某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系．
设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程．
【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为：
，
故选：D．
7. 使用可调节双层鞋托架能大大提高鞋柜空间利用率，一种可调节双层鞋托架示意图如图所示，当打开最大时，，，则此时点A到的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，在，先算出，再结合矩形的判定与性质得出，即可作答．
【详解】解：如图：过点B作
∵，
∴
∵，
在中，
∴
∵，
∴四边形是矩形
∴
∴点A到的距离为
故选： B．
8. 如图，经过矩形的顶点，，且与边相切于点，与边交于点，若，则和的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，矩形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，设与的交点为，连接交于点，连接交于点，确定是圆心，四边形是矩形，根据题意，设，，得出，进而勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，设与的交点为，连接交于点，连接交于点，
∵四边形是矩形，
∴
∴是直径，
同理可得是直径，
∴是圆心，四边形是矩形，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴
∵，设，
∴，
∴，
在中，
∴
∴
故选：A．
9. 如图，点A，B在x正半轴上（点B在点A的右边），，分别以为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F．作轴于点轴于点N．若阴影部分的面积等于，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质求出点E的坐标为，运用勾股定理得出，则点F的坐标为，得出，解出，再代入，即可作答．
【详解】解：如图所示：过点E作轴
设，则
∵以为边作等边三角形，且点E是中点
∴
∴，
∴点E的坐标为，
∵阴影部分的面积等于，
∴，
∴，
∵以为边作等边三角形 ，
∴
∴
∴点F的坐标为
∵反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F．
∴
即
解得（负值已舍去）
∴
故选：C．
10. “青朱出入图”是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形，，均是正方形，A，B，E三点共线，与交于点J，与交于点K，连接，交于点P，若与的面积比为，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明，再进一步证明，即可得是矩形，证明，可得，，即，同理可得：，根据与的面积比为，可得，再证明，即有，进而可得，则有，为了便于计算，设，，结合勾股定理，问题随之得解．
【详解】∵四边形，，均是正方形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是正方形，
∴是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
即，
同理可得：，
∵与的面积比为，，
∴，整理：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用公式法分解因式．直接利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 某路口红绿灯时间设置为：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒．当车辆随意经过该路口时，遇到绿灯的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查几何概率模型概率的求解，对于此题，类似于几何概率模型，将红灯、绿灯、黄灯对应的时间看成线段长、面积或体积皆可，根据几何概率的求法，找准两点：①全部情况的总长度（面积或体积）；②符合所求的长度（面积或体积）；二者的比值就是其发生的概率．
详解】解：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒，
遇到绿灯的概率为，
故答案为：．
13. 若扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径是，那么这个圆心角所对的弧的长度是，这个扇形的面积弧长．
形的面积弧长与半径积的一半，根据以上内容求出答案即可．
【详解】解：扇形的弧长为，半径为，
扇形的面积，
故答案为：．
14. 不等式组的解为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
15. 如图，在中，，点在上，，且为上一点，过点作交于点，交于点，若，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定；过点作于点，根据平行线分线段成比例可得，设，则，根据题意得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，得出，则，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴
设，则
∵
∴
∴
∵，
∴
∴，
在中， ,则
∴
∴
∴
∴是等边三角形，则
又∵
∴
∴
∴
故答案为：．
16. 如图是半球型建筑物的横截面示意图，O是圆心，直径．在半圆上的点C，D处分别安装了光束角相同的照明灯（即），C处灯照亮了，，处灯照亮了，若光线平行光线，则点D，点C到的高度差为___________m．
【答案】##
【解析】
【分析】延长、，二者交于点G，连接，过C点作于点H，过D点作于点M，先证明，可得，根据直径， 可得，，即有，进而可得，则有，结合勾股定理以及三角形的面积公式可求出，再证明，可得，问题随之得解．
【详解】延长、，二者交于点G，连接，过C点作于点H，过D点作于点M，如图，

∵光线平行光线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直径，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点D、点C到的高度差为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，证明出，是解答本题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）2；（2）4
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，整式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据绝对值的意义，负整数指数幂，算术平方根的定义化简计算即可；
（2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式化简，再进行合并同类项．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18. 如图，在中，，边上取一点，过点作，交于，连结，已知．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质及等量代换得出，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理即可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
∴．
19. 如图，在中，D为的中点．

（1）用一把没有刻度的直尺和圆规，在上作出一点E，使（保留作图痕迹）．
（2）若的周长为9，四边形的周长为17，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）4
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过点D作一个角等于，先以点B为圆心，适当长度为半径画弧交于点G，以及交于一点，再以点D为圆心，同样长度为半径画弧，交于点H，以点G为圆心画弧，再以点H为圆心同样长度为半径画弧交于点F，连接并延长交于一点E，因为，所以；
（2）先证明，得出，再设的的长为x，结合周长的条件列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：上作出一点E，使，如图所示：
【小问2详解】
解：由（1）得出
∴
∵D为的中点．
∴
∴设的长为
则
∵的周长为9，四边形的周长为17，
∴
∴
解得
∴的长为4．
20. 2024年是总体国家安全观提出10周年，为切实推动国家安全教育进校园，我校对九年级学生进行了国家安全教育知识测试．现收集九（1）班和九（2）班各50名同学测试成绩，绘制成如下统计图：
（1）学校把九（1）班和九（2）班的测试成绩分别按平均数、中位数、众数整理如下表，请把信息补充完整．
（2）结合以上统计图和统计量，你认为哪个班级的同学落实得相对更好？请说明理由．
【答案】（1）
（2）九（1）班，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图以及平均数、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算出九（1）班的分的人数，再根据平均数的计算公式代入数值进行计算得出平均数，结合中位数的定义以及众数的定义，即可作答．
（2）因为，得出九（1）班的平均数和众数都比九（2）班的高，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，九（1）班的分的人数：（人），
平均数：（分）；
∵共50名学生
∴中位数排在第25和26名
∴中位数；
∵
∴九（2）班的众数为分；
故答案为：；
【小问2详解】
解：九（1）班，理由如下：
∵
即九（1）班的平均数和众数都比九（2）班的高
∴九（1）班级的同学落实得相对更好．
21. 如图，是的直径，弦于点绕点C旋转某个度数，使点A与上的点E重合．
（1）求证：．
（2）当时，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，得出，结合是的直径，弦，得出再运算弧，得出，则，结合垂径定理，即可作答．
（2）根据垂径定理得出再运算弧，得出，运用圆周角定理得出，证明，则，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
∵绕点C旋转某个度数，使点A与上的点E重合
∴，
∴，
∵是的直径，弦，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：
∵弦，
∴
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 已知二次函数，点，点都在该函数图象上．
（1）若时，求该二次函数的顶点坐标．
（2）若时，求a的值．
（3）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答．
（2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答．
（3）因为，所以，根据二次函数图象性质进行作答即可
【小问1详解】
解：依题意，把代入
得出
则对称轴，
把代入，
得出，
∴该二次函数的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上
∴，
，
∵，
∴，
则，
解得；
【小问3详解】
解：由（2）知，
∴，
∵，
∴该函数的开口向上，
∴该函数的对称轴为，
则把代入，
得出，
∴的最小值为．
23. 如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张．
（1）求，两款野餐垫的租赁单价．
（2）该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案．
【答案】（1）款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元
（2）最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用；
（1）设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设租款野餐垫张，则租款野餐垫张，根据是正整数，得出的范围，设提供人就坐，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意得，
解得：，经检验是原方程的解，
∴元，
答：款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元；
【小问2详解】
解：设租款野餐垫张，则租款野餐垫张，
∵是正整数，
∴
设提供人就坐，根据题意得，
∴当取得最大值时，，
∴
此时的租赁方案为：租款野餐垫张，则租款野餐垫张．
答：最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张．
24. 如图1，在菱形中，于点E，G为的中点，延长交的延长线于点F，已知，．点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），且满足，设，．
（1）求证：．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，连结．
①当与的一边垂直时，求x的值．
②当点D落在的延长线上时，记与的交点为M，求的值．
【答案】（1）见详解 （2），
（3）①或者，②
【解析】
【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明，问题得证；
（2）先证明，即有，进而可得，，则有，即有，结合，，可得，问题随之得解；
（3）①分类讨论，当时，先表示出，即有，结合（2）的结论有，解方程即可；当时，证明，则有，即有，即可得，解方程即可；当时，可得，此与、相交矛盾，问题随之得解； ②过Q点作于N点，先证明，根据，可得，即可得，再证明，根据，可得，问题得解．
【小问1详解】
在菱形中，有，，，
∵，，
∴在中，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），
∴，
∴，
即：，
则：，；
【小问3详解】
①在（1）、（2）中已得，，，
即，，
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
当时，
∵，
∴，
又∵、相交，
∴的情况不存在；
综上所述：x的值为或者；
②过Q点作于N点，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理：，
解得：（负值不符合题意，舍去），
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
结合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的值为．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，一次函数以及全等三角形的判定与性质等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．班级
平均数
中位数
众数
九（1）班
___________
___________
90
九（2）班
77
80
___________