2024年黑龙江省哈尔滨市第十七中学中考三模数学试题

这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市第十七中学中考三模数学试题，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 在有理数－4，0，－1，3中，最小的数是（ ）
A. －4B. 0C. －1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小可得答案．
【详解】解：在有理数−4，0，−1，3中，最小的数是−4，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数的比较大小的法则．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误；
B、a3•a2=a5，正确；
C、（2a2）3=8a6，故此选项错误；
D、a6÷a2=a4，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3. 下列标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形性质对各项进行判断即可．试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。【详解】A. 是轴对称图形；
B. 不是轴对称图形；
C. 是轴对称图形；
D. 是轴对称图形；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
4. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，分别画出四个选项中几何体的从正面和从左面看到的图形，通过比较即可得出答案．
【详解】解：A、如图所示，从正面看和从左面看的图形如下，故此选项符合题意；
B、如图所示，从正面看和从左面看的图形如下，故此选项不符合题意；
C、如图所示，从正面看和从左面看的图形如下，故此选项不符合题意；
D、如图所示，从正面看和从左面看的图形如下，故此选项不符合题意；
故选A．
5. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 95，92B. 93，93C. 93，92D. 95，93
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义求解．
【详解】解：这组数据从小到大排序为：88，89，91，93，94，95，95，
95出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为95；
这组数据最中间数为93，所以这组数据的中位数是93．
故选：D．
【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数：将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
6. 如图，点A、B、C、D在上，，点B是弧的中点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据圆周角定理解答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点B是弧的中点，
∴，
由圆周角定理得，，
故选：D．
7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x(x+1)=1035B. x(x-1)=1035C. x(x+1)=1035D. x(x-1)=1035
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．
故选B
8. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A. 海里/时B. 30海里/时C. 海里/时D. 海里/时
【答案】D
【解析】
详解】解：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°-20°=60°，
∴∠C=90°，
∵AB=20海里，
∴AC=ABcs30°=10（海里），
∴救援船航行的速度为：10÷=30（海里/小时）．
故选：D．
9. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
10. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论：
①火车的速度为30米/秒；
②火车的长度为150米；
③火车整体都在隧道内的时间为35秒；
④隧道长度为1200米．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，一元一次方程：行程问题(一元一次方程的应用)，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合火车速度是匀速，结合图象得出点的横坐标等于，则火车整体都在隧道内的时间为35秒，当，此时火车完全进入隧道内，即可判断②是正确的；运用路程除以时间等于速度，得出①火车的速度为30米/秒，结合路程等于时间乘以速度，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵火车匀速通过隧道时且火车本身长度是不变的
∴点的横坐标等于
∵火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图像描述如上图所示
∴（秒），
则③火车整体都在隧道内时间为35秒是正确的；
当，此时火车完全进入隧道内，即，
故②火车的长度为150米是正确的；
则当火车当进去隧道时到完全进入隧道，所用时间为秒，
∴（米/秒）
∴①火车的速度为30米/秒是正确的；
设隧道长为米
则结合图象信息，得
解得
∴④隧道长度为1200米是正确的；
故选：D．
二、填空题
11. “嫦娥一号”卫星顺利进入绕月工作轨道，行程约有1800000千米，1800000这个数用科学记数法可表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
【详解】解：1800000这个数用科学记数法可以表示为．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，难点主要在于n的确定，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
12. 当有意义时，a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数非负及分母不为0进行解答即可．
【详解】解：∵有意义，
∴且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，理解二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0是解题关键．
13. 计算的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再进行合并即可得出结论．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算的步骤及方法是解题的关键．
14. 因式分解：x2y﹣y=_____．
【答案】y（x+1）（x﹣1）．
【解析】
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
【详解】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），
故答案为y（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题考查因式分解.熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
15. 不等式组的整数解是________．
【答案】0，1，2
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，正确求得该不等式的解集是解题关键．分别求得两个不等式的解，按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式的解集，然后确定该不等式组的整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①，可得 ，
解不等式②，可得 ，
∴该不等式组解集为，
∴该不等式组的整数解是0，1，2．
故答案为：0，1，2．
16. 小刚抛一枚硬币，抛了10次，其中7次正面朝上，3次反面朝上，则小刚第11次抛硬币正面朝上的概率是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据抛硬币正面朝上，反面朝上出现的可能性进行判断．
【详解】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同，
其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关，
故正面朝上的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键．
17. 一个扇形的面积为，半径为6cm，则扇形的圆心角是_______________度．
【答案】130°．
【解析】
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得：13π=，
解得n=130．
故答案是：130°．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
18. 如图，在直角坐标系中，第一象限内的点，都在反比例函数的图象上，横坐标分别是和，点在轴的正半轴上，满足．且，则的值是_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】作AD⊥x轴，BE⊥x轴，由AC丄BC，利用各角之间的关系，先证明，然后利用全等的性质，得到二元一次方程组，即可求出答案．
【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
设反比例函数为
∵点A，B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，
∴设点，，
∴点，，
点C在x轴的正半轴上，满足AC丄BC，
则设点C为（m，0），
∴，，，；
∵AC丄BC，AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴，，，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
即：，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
19. 在中，，，将绕点旋转后得到，其中点与点是对应点，点和点是对应点，所在直线与所在直线交于点，如果，则的长度是________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．根据题意可知为等腰直角三角形，然后分绕点逆时针旋转后得到，绕点顺时针旋转后得到两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
分两种情况讨论，
①如下图，当绕点逆时针旋转后得到，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴；
②如下图，当绕点顺时针旋转后得到，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
综上所述，的长度是或．
故答案为：或．
20. 如图，四边形中，，点在上，连接、、，，，，若，则的长度是________．
【答案】3
【解析】
【分析】设，过点作于点，首先证明四边形为矩形，易得，再结合等腰三角形“三线合一”的性质可得，证明为等腰三角形，可得，进而可得，在中，由勾股定理可得，代入数值并求解，即可获得答案．
【详解】解：设，
如下图，过点作于点，
则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
整理可得，
解得，（舍去），
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，证明为等腰三角形是解题关键．
三、解答题（21，22题7分，23，24题8分，25，26，27题10分）
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值、分母有理化，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把根据特殊角的三角函数值代入求得的值，再代入求值即可求解．
详解】解：原式
，
，
原式．
22. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图正方形方格纸图中，点A，B，C都在格点处．
（1）在图中画出线段，使，其中点D为格点；
（2）在图中画出，其中点E为格点，的周长等于的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，请连接，并直接写出的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点、中心对称图形的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）根据网格线的特点和垂线的定义作图；
（2）根据网格线的特点和中心对称图形的性质作图；根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：根据网格线的特点和垂线的定义作图，如图所示：
【小问2详解】
解：根据网格线的特点和中心对称图形的性质作图，如图所示：
根据题意可得．
23. 某校开展以“我最喜欢的课外活动”为主题的调查活动，在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查问卷．将调查结果分为书法和绘画类（记为）、音乐类（记为）、球类（记为）、其它类（记为），并制作了如图所示的条形统计图，其中最喜欢音乐类的学生人数占所调查人数的．根据调查结果发现每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若本学校共有1500名学生，请你估计该学校最喜欢书法和绘画类的学生有多少名？
（4）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请直接写出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．
【答案】（1）一共抽取了48名学生
（2）见详解 （3）估计该学校最喜欢书法和绘画类的学生有125名
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图、利用样本估计总体、列举法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）利用“类学生人数其所占百分比”，即可获得答案；
（2）首先计算类学生人数，然后补画条形统计图即可；
（3）利用“学校学生总数抽查的学生中喜欢书法和绘画类的学生占比”，即可获得答案；
（4）根据题意作出树状图，结合树状图，即可获得答案．
【小问1详解】
解：（名），
∴这次调查中，一共抽取了48名学生；
【小问2详解】
类学生人数为（名），
∴可补全条形统计图如下：
【小问3详解】
（名），
∴估计该学校最喜欢书法和绘画类的学生有125名；
【小问4详解】
在类4名学生中，两名擅长书法的学生用、表示，两名擅长绘画的学生用、表示，根据题意，作出树状图如下，
根据树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况有8种，
∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．
24. 已知：矩形的对角线与相交于点，点关于直线的对称点是，连结．
（1）如图，试判断四边形的形状，说明理由；
（2）如图，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有长度等于的线段．
【答案】（1）菱形，理由见解析；
（2）图中所有长度等于的线段为．
【解析】
【分析】（）根据矩形的性质及轴对称的性质可知，最后利用菱形的判定即可解答；
（）利用矩形的性质及菱形的性质可知，再利用等边三角形的性质及菱形的性质可知，最后利用全等三角形的性质及锐角三角函数即可解答．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵点关于直线的对称点是，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点是，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴图中所有长度等于的线段为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握菱形的判定与性质及锐角三角函数是解题的关键．
25. 我市地铁工程某一路段工程招标，经测算，乙队单独完成这项工程需要的天数是甲队单独完成这项工程天数的倍，若由甲队先做5天再由甲、乙合作9天，共完成总工作量的．
（1）求甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）甲队施工1天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余部分．若要求完成此项工程的工程款不超过186万元，则甲、乙两队最多合作多少天？
【答案】（1）甲队60天，乙队90天
（2）最多合作12天
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用和不等式的应用，根据题意列出分式方程和不等式是解题的关键．
（1）根据题意列出分式方程解答即可；
（2）根据题意列出不等式解答即可．
【小问1详解】
解：设甲队单独完成这项工程需要x天，乙队单独完成这项工程需要天，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天；
【小问2详解】
解：设甲、乙两队合作a天，
甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天，
甲、乙两队合作一天完成工程的，
，
解得：，
a的最大值是12；
答：甲、乙两队最多合作12天．
26. 如图，内接于，为半径，点在上，连接交于点，．
（1）求证：；
（2）如图，连接交于点，延长交于点，连接，若，求证：；
（3）如图，在（）的条件下，连接，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）延长交于点，连接，由是的直径，得，再证，利用平行线的性质即可得证；
（2）连接，由垂径定理得，从而根据中垂线及等腰三角形的性质得，从而得，进而证明，利用全等三角形的判定即可得证；
（3）过点作于点，连接，由，，得，从而得，
由勾股定理构造方程得，从而有，设半径为，进而由勾股定理得，又证，得即，解得（负值舍去），于是得，，利用面积法得，再由勾股定理得，，最后利用正切定义即可得解．
【小问1详解】
证明：延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
∵，过圆心，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
由（）得，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过点作于点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（）得，，
设，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设半径为，
∵，，，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、圆周角定理的推论、平行线线段成比例、相似三角形的判定及性质以及正切的定义，熟练掌握圆周角定理的推论、勾股定理、平行线线段成比例、相似三角形的判定及性质以及正切的定义是解题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在第一象限内抛物线上有一点，连接，．若的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式；
（3）在（）的条件下，如图（），在第二象限内取一点，连接，过作交轴于点，连接、，在线段上截取，连接交轴于点，， ，，当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线与与轴交于点可得点坐标，且点在轴正半轴可得的坐标进而即可解答；
（2）根据点的坐标得到直线的解析式，再根据的横坐标为及抛物线解析式可得，，，最后利用三角形面积公式即可解答；
（3）根据已知条件分析先求得，进而证明平分，根据条件式得出，进而求得，得出,根据，建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵且点在轴正半轴，
∴点，
∴将点代入抛物线解析式，
得
∴解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
∵点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点作垂足为，与直线交于点，过点C作，垂足为，
∵的横坐标为，
∴，，，
∴，，，
∴
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：∵
∴是等腰直角三角形，
∴
设
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵
即
在中，
；
∴
∴
在四边形中，；
如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴是的角平分线
∴
在中，，
又∵，
∴
∵，
∴，
又∵
∴
∵正方形
∴
∴
即，
∵，当时，即
解得：或
∴
又∵
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
设，，
∴
又，即
∴
解得：
在中，
∴
又
∴
解得：
∴，
∴
在中，
在中，，
∴
又∵
∴，即，
∵，
∴
解得：
又∵在第一象限，
∴
∴
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，解直角三角形，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，二次函数的性质，掌握二次函数的性质，根据已知条件导角是解题的关键．