2024年山东省东营市东营区数学中考三模试题

这是一份2024年山东省东营市东营区数学中考三模试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，共30分）
1. 的平方根是（ ）
A. 4B. 4或C. 2D. 2或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解决此题的关键．根据平方根的定义即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴的平方根是，
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、整式的除法、分式化简，进行计算，即可得到答案.
【详解】解：，故此选项错误；
，故此选项错误；
，正确；
无法计算，故此选项错误．
故选．
【点睛】本题考查合并同类项、整式的除法、分式化简，解题的关键是熟练掌握合并同类项、整式的除法、分式化简.
3. 如图，两直线，将一块直角三角板的角的顶点A与直角顶点C分别在两直线上，斜边试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。交直线于点D，当点D为的中点时，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形斜边中线定理，“如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，利用它们的性质是解决问题的关键．根据点D为的中点，可得，，再根据，可得，即可求解．
【详解】解： 点D为的中点，为直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：D．
4. 如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点E，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理、三角形内角和定理等知识，根据题意可知点C在以为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出，再利用三角形内角和定理就可以求出答案．
【详解】解：∵，
∴点C在以为直径的圆上
设圆心为O，连接，则，
∴，
∴．
故选：C．
5. 我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，设客人为x人，银子为y两，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得，
故选：A．
6. 有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人相对而坐的结果数，再根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性是结果数，其中甲、乙两人相对而坐的结果数有4种：，，，，
∴甲、乙两人相对而坐的概率为，
故选：C．
7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（ ）

A. 1：2B. 1：4C. 1：9D. 4：9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到和的相似比是解题的关键．
根据位似的性质得到，相似比为,再根据相似三角形的性质得和的面积之比即为相似比的平方．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，
，
，
故选：C．
8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键．
首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则全面积可求．
【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，
其底面直径为6cm，母线长为8cm，
所以其侧面积为：，
底面积为：，
全面积为：
故选：B
9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点，都在该抛物线上，则；③；④方程有两个不相等的实数根；正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．开口方向和与y轴交点判断①，由函数的对称轴、开口方向、点到对称轴的距离等判断②；由特殊点的值结合图象即可判断③，由抛物线与直线的交点个数即可判断④．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口方向向下，
∴，
∵二次函数的图象与y轴交于正半轴，
∴
∴，
故①错误，
抛物线对称轴为直线，
∵抛物线的开口方向向下，点，都在该抛物线上，，
∴；
故②错误，
由图象可知，当时，，
故③错误，
如图，与直线有两个交点，

∴方程有两个不相等实数根，即方程有两个不相等的实数根，
故④正确；
综上，正确是④，共1个；
故选：A．
10. 如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：;；四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定（ASA）即可得到正确；根据相似三角形的判定可得正确；根据全等三角形的性质可得正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故正确；
，
点四点共圆，
∴，
∴，
故正确；
，
，
，
故正确；
，
，又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又中，，
，
，
故错误，
故选．
【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定.
二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分）
11. 2023年，烟台市生产总值约为10162亿元，经济总量历史性迈上万亿元台阶，成为山东省第3个万亿级城市，全国第26个GDP过万亿的城市．把数字10162亿用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数字10162亿用科学记数法表示为．
故答案为：．
12. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】使用乘法分配律进行计算，即可得到答案.
【详解】解：原式，
故答案为
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的基本求解方法.
13. 下图是某市某段时间内8个整点时刻的气温预报图，则这8个整点时刻气温的中位数是________℃．
【答案】16
【解析】
【分析】此题考查了求一组数据的中位数，求一组数据的中位数时，未将这组数据进行排序将导致出错．另外，偶数个数据确定中位数时，应取排序后中间两个数的平均值作为这组数据的中位数，而不是其中任一个．
【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列：9、9、9、15、17、19、23、23，可得中位数为 ，所以气温的中位数是16℃．
故答案为：16．
14. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论．
【详解】解：
由作图可知平分，
设则有
∴
故答案为：5．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义，根据，即可得到一个关于的方程，进而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】由新定义的运算法则可得出关于x的方程为，由该方程有两个实数根得出其为一元二次方程，且，即且，解出k的解集即可．
【详解】由新定义的运算法则可得出：．
∵，
∴．
∵该方程有两个实数根，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
17. 如图1，在长方形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，三角形的面积为y，如果y随x变化的图象如图2所示，则三角形的最大的面积是______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图像，解决本题的关键是理解函数图像与原矩形的关系．根据题意利用随变化的图像可得，，进而可以解决问题．
【详解】解：当在上运动时，面积不断在增大，当到达点时，面积开始不变，到达后面积不断减小，
由图可知：当时，点与点重合，，
当时，点与点重合，，
长方形的面积为：，即三角形的最大面积是，
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________．
【答案】(21009，0)．
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA1=1，OA2=，OA3=，OA4=，…OA2019=，再利用、、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴的特点可得到点A2019在x轴的正半轴上，即可确定点A2019的坐标．
【详解】∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，∴OA1=1，OA2=，OA3=（）2，…，OA2019=（）2018，
∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，
∴2019÷8=252…3，
∴点A2019在x轴正半轴上．
∵OA2019=（）2018，
∴点A2019的坐标为（）即(21009，0)．
故答案为：(21009，0)．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．
三、解答题（62分）
19 （1）先化简，再求值：，其中；
（2）计算：．
【答案】（1），；（2）0
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的混合运算以及分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．也考查了特殊角的三角函数值．
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可；
（2）直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、乘方和开方，分别化简得出答案．
【详解】解：（1）
，
当时，原式；
（2）
．
20. 为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查的学生共有______人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为______°；
（4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率．
【答案】（1）125 （2）见解析
（3）
（4），见解析
【解析】
【分析】（1）用项目B的人数除以其人数占比即可求出本次抽取调查的学生人数；
（2）先求出项目D的人数，再补全统计图即可；
（3）用乘以项目A的人数占比即可得到答案；
（4）先列出图表得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．
【小问1详解】
解：（人），
∴此次调查共抽取了125名学生，
故答案为：125，
【小问2详解】
解：项目D的人数为：（人），
条形统计图补充为：
【小问3详解】
解：在此扇形统计图中，A篮球类所对应的扇形圆心角为：，
故答案为：，
【小问4详解】
解：列表如下：
∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有10种，
∴甲和乙至少有一人被选上的概率为，
故答案为：．
21. 如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确做辅助线是解题的关键．过点作的垂线，垂足为，把转化成两个直角三角形，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，如图所示：

有题意可得：，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即从地到地的路程将缩短约．
22. 如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：为的切线；
（2）若直径，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据及直角三角形性质可得出，则，再根据得，然后根据切线的判定可得出结论；
（2）先求出，，由平行线分线段成比例求得，再证，然后利用相似三角形的性质可求出的长．
【小问1详解】
证明：连接，如下图所示：
以为直径作交于点，
，
，
在中，，为斜边中线，
，
，
，
∴，
，
，
又为半径，
为的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
为直径，
，
又∵，
∴，
，
，，
，
又，
，
，
即，
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
23. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．
（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？
（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景平均每盆利润减少3元；每减少1盆，每盆利润增加3元；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元；每减少1盆，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）．
①求，关于x的函数关系式；
②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？
【答案】（1）1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元
（2）①；；②当或3时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是8024元
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
（1）设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，结合2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元，再建立方程组可得答案；
（2）结合题意可得，第二期有盆景盆．再根据每盆利润乘以数量可得总利润，再建立函数关系式，利用二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得：
，解得：，
答：1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元；
【小问2详解】
由题意可知，第二期有盆景盆．
①；
；
②
，
∵，抛物线开口向下，
∴当或3时，W取得最大值，．
∴当或3时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大．
24. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．

（1）观察猜想
请直接写出与的数量关系和位置关系；
（2）类比探究
将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
若，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析
（3）的最大值为3，最小值为1
【解析】
【分析】（1）证明，得到，由，推出，根据，得到，进而得到，即可得出结论；
（2）延长至点F，使，连接，证明，为的中位线，即可证明结论；
（3）利用（1）（2）的结论可知，当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，结合图形计算即可．
【小问1详解】
解：
∵
∴
∴
∵M是的中点
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴；
【小问2详解】
证明：（1）中的结论仍然成立，证明过程如下
如图① ，延长至点F，使，连接，
∵
∴
∴
∴
∵M是的中点，
∴为的中位线，
∴
又∵
∴
∵，
∴，
∴；
小问3详解】
解：的最大值为3，最小值为1
如图②和图③ ，利用（1）（2）的结论可知，
当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，
当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，
的最大值为，
的最大值为3；
的最小值为，
的最小值为1
【点睛】本题是三角形综合题，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征，旋转的性质，三角形中位线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，注意分类讨论和数形结合思想的运用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据题意求得的最大值，再根据相似三角形的性质求得，进而可求解；
（3）根据平移性质和菱形的性质分、、分别为对角线三种情况求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 交轴于点， 两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：
【小问2详解】
解：令，
∴，则，
∵，，则，
设直线的表达式为 ，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为 ，
设，则
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，此时；
∵，
∴的周长为，
∵轴，
∴， ，
∴
∴，即
∴周长的最大值为，此时；
【小问3详解】
解：∵，，
∴根据平移性质，该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为，
设，，，
∴
当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点N坐标为；
当或为对角线时，或，
则或，
解得或
∴点N坐标为或，
综上，满足题意的N点坐标为或或．

甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣