高考数学复习核心专题突破(四)　微专题8　研究距离问题（导学案）

这是一份高考数学复习核心专题突破(四)　微专题8　研究距离问题（导学案），共23页。
微专题8 研究距离问题
【课程标准】
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
必备知识 精归纳
1．两点距
即求空间中两个点连线的线段长，转化为向量的模求解．
2．点到直线的距离
设A是直线l上的定点，P是直线l外一点，若u是直线l的单位方向向量， eq \(AQ,\s\up6(→)) 是 eq \(AP,\s\up6(→)) 在l上的投影向量，设 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝a，则点P到直线l的距离PQ＝ eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2) ＝ eq \r(a2－（a·u）2) .
3．点到平面的距离公式
如图，点P为平面α外一点，点A为平面α内的定点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是 eq \(AP,\s\up6(→)) 在直线l上的投影向量 eq \(QP,\s\up6(→)) 的长度，则PQ＝| eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \f(n,|n|) |＝| eq \f(\(AP,\s\up6(→))·n,|n|) |＝ eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|) .
4．异面直线间的距离
(1)定义：两条异面直线间的公垂线段的长即为异面直线间的距离．
(2)求解公式：如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为n，这时分别在a，b上任取A，B两点，则向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 在n上的正射影长就是两条异面直线a，b的距离．则d＝| eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \f(n,|n|) |＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|) .
即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
【常用结论】
1．空间中的距离都是指两个点集的元素之间距离的最小值．
2．平行线间的距离可以转化为点到直线的距离．
3．平面的平行线到平面的距离以及两平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离．
基础小题 固根基
1.(教材变式)已知平面α的一个法向量为n＝(－1，0，－1)，点A(3，3，0)在平面α内，则平面外一点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A． eq \f(10,3) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \r(2) D．1
解析：选B.因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(－5，－2，4)，点A(3，3，0)在平面α内，点P(－2，1，4)在平面α外，所以点P(－2，1，4)到平面α的距离d＝ eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|) ＝ eq \f(|5－4|,\r(（－1）2＋（－1）2)) ＝ eq \f(1,\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) .
2．(教材提升)已知直线l过点P(1，2，1)，且方向向量为m＝(1，0，－1)，则点A(1，－1，－1)到l的距离为( )
A．2 eq \r(2) B． eq \r(11) C．2 eq \r(3) D．3
解析：选B.因为直线l的一个方向向量为m＝(1，0，－1)，取直线l的一个单位方向向量为μ＝ eq \f(m,|m|) ＝ eq \f(\r(2),2) (1，0，－1)＝( eq \f(\r(2),2) ，0，－ eq \f(\r(2),2) )，
又A(1，－1，－1)为直线外一点，且直线l过点P(1，2，1)，
所以 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝(0，－3，－2)，所以 eq \(PA,\s\up6(→)) ·μ＝(0，－3，－2)·( eq \f(\r(2),2) ，0，－ eq \f(\r(2),2) )＝ eq \r(2) ，
| eq \(PA,\s\up6(→)) |＝ eq \r(13) ，所以点A到直线l的距离为
d＝ eq \r(\(PA,\s\up6(→))2－（\(PA,\s\up6(→))·μ）2) ＝ eq \r(13－2) ＝ eq \r(11) .
3．(不能正确使用公式)若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________．
解析：依题意，平行平面α，β间的距离即为点O到平面β的距离，
而 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(2，1，1)，所以平行平面α，β间的距离d＝ eq \f(|n·\(OA,\s\up6(→))|,|n|) ＝ eq \f(|－1×2＋0×1＋1×1|,\r(（－1）2＋02＋12)) ＝ eq \f(1,\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) .
答案： eq \f(\r(2),2)
4. (计算出错)如图所示，若正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且
PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为________．
解析：依题意，以点D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，E(1， eq \f(1,2) ，0)，
F( eq \f(1,2) ，1，0)，则 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－1，1，0)， eq \(EF,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) ，0)， eq \(PE,\s\up6(→)) ＝(1， eq \f(1,2) ，－1)，
设平面PEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0,n·\(PE,\s\up6(→))＝x＋\f(1,2)y－z＝0)) ，
令y＝2，得n＝(2，2，3)，
显然n· eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0，即n⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，而直线AC⊄平面PEF，则AC∥平面PEF，
因此直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，而 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(0， eq \f(1,2) ，0)，则点A到平面PEF的距离d＝ eq \f(|\(AE,\s\up6(→))·n|,|n|) ＝ eq \f(1,\r(17)) ＝ eq \f(\r(17),17) ，所以直线AC到平面PEF的距离为 eq \f(\r(17),17) .
答案： eq \f(\r(17),17)
5．(结论2)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若M，N，P，Q分别为A1B1，BC，A1D1，DC的中点，则直线MN与直线PQ之间的距离为________．
解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(1， eq \f(1,2) ，1)，N( eq \f(1,2) ，1，0)，P( eq \f(1,2) ，0，1)，Q(0， eq \f(1,2) ，0)，
eq \(NM,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,2) ，1)， eq \(QP,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,2) ，1)，
显然 eq \(NM,\s\up6(→)) ∥ eq \(QP,\s\up6(→)) ，而点P不在直线MN上，则有MN∥PQ，
因此，直线MN与直线PQ之间的距离即为点P到直线MN的距离，
而 eq \(PM,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) ，0)，
所以直线MN与直线PQ之间的距离
d＝ eq \r(|\(PM,\s\up6(→))|2－（\f(|\(PM,\s\up6(→))·\(NM,\s\up6(→))|,|\(NM,\s\up6(→))|)）2) ＝ eq \r(\f(1,2)－0) ＝ eq \f(\r(2),2) .
答案： eq \f(\r(2),2)
6．(结论1)正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为1，侧棱长为2，P，Q分别是异面直线AD1和BD上的任意一点，则P，Q间距离的最小值为__________．
解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，0)，A(1，0，2)，
D(0，0，2)，B(1，1，2)，
所以D1A＝(1，0，2)， eq \(DB,\s\up6(→)) ＝(1，1，0)， eq \(DA,\s\up6(→)) ＝(1，0，0)，
设n＝(x，y，z)且 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·D1A＝0,n·\(DB,\s\up6(→))＝0)) ，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2z＝0,x＋y＝0)) ，令z＝1，则x＝－2，y＝2，所以n＝(－2，2，1)，
所以异面直线AD1和BD的距离d＝ eq \f(|n·\(DA,\s\up6(→))|,|n|) ＝ eq \f(2,3) ，所以P，Q间距离的最小值为 eq \f(2,3) .
答案： eq \f(2,3)
题型一 两点距
[典例1](1)如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为__________．
解析：在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1，
所以A1(2，0，2)，C(0，2，0)，A1C的中点E(1，1，1)，A(2，0，0)，
B(2，2，0)，AB的中点F(2，1，0)，
所以A1C的中点E到AB的中点F的距离为
|EF|＝ eq \r(（2－1）2＋（1－1）2＋（0－1）2) ＝ eq \r(2) .
答案： eq \r(2)
(2)(2023·济宁模拟)已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的所有棱长均为1，
∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
解析：设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，AA1＝c，
则a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cs 60°＝ eq \f(1,2) ，
又a2＝b2＝c2＝1，AC1＝a＋b＋c，
所以|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝
1＋1＋1＋2× eq \f(1,2) ＋2× eq \f(1,2) ＋2× eq \f(1,2) ＝6，则|AC1|＝ eq \r(6) ，即AC1的长为 eq \r(6) .
【方法提炼】
计算两点间的距离的基本方法
(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2＝a·a通过向量运算求|a|.
(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，不适合建系时用基底运算求出长度．
【对点训练】
如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O­xyz，点P在线段AB上，点Q在线段DC上．
(1)当 eq \(PB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AP,\s\up6(→)) ，且点P关于y轴的对称点为M时，求| eq \(PM,\s\up6(→)) |；
(2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究| eq \(PQ,\s\up6(→)) |的最小值．
解析：(1)由题意知A(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(1，1，1).
由 eq \(PB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AP,\s\up6(→)) 得 eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OP,\s\up6(→)) ＝2( eq \(OP,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )， eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) (2 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) )＝(1， eq \f(1,3) ， eq \f(2,3) )，故P(1， eq \f(1,3) ， eq \f(2,3) )，所以M(－1， eq \f(1,3) ，－ eq \f(2,3) )，
所以| eq \(PM,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（1＋1）2＋（\f(1,3)－\f(1,3)）2＋（\f(2,3)＋\f(2,3)）2) ＝ eq \f(2\r(13),3) .
(2)因为点P是面对角线AB的中点，所以P(1， eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )，而点Q在面对角线DC上运动，故设点Q(a，1，a)，a∈[0，1]，
则| eq \(PQ,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（a－1）2＋（1－\f(1,2)）2＋（a－\f(1,2)）2)
＝ eq \r(2a2－3a＋\f(3,2)) ＝ eq \r(2（a－\f(3,4)）2＋\f(3,8)) ，a∈[0，1]，
所以当a＝ eq \f(3,4) 时，| eq \(PQ,\s\up6(→)) |取得最小值 eq \f(\r(6),4) ，此时点Q( eq \f(3,4) ，1， eq \f(3,4) ).
【加练备选】
(2022·邢台模拟)在空间直角坐标系中，记点M(1，2，－1)关于x轴的对称点为P，N(1，－1，2)关于平面yOz的对称点为Q，则| eq \(PQ,\s\up6(→)) |＝__________．
解析：依题意，M(1，2，－1)关于x轴的对称点为P(1，－2，1)，
N(1，－1，2)关于平面yOz的对称点为Q(－1，－1，2)，
所以| eq \(PQ,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（1＋1）2＋（－2＋1）2＋（1－2）2) ＝ eq \r(6) .
答案： eq \r(6)
题型二 点线、线线距
[典例2](1)已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为( )
A．2 B． eq \r(5) C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(5)
解析：选B.因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，－1，2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，－2，4)，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) 在 eq \(AB,\s\up6(→)) 方向上的投影数量为 eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(2＋2＋8,\r(4＋1＋4)) ＝4.设点C到直线AB的距离为d，则d＝ eq \r(|\(AC,\s\up6(→))|2－42) ＝ eq \r(1＋4＋16－16) ＝ eq \r(5) .
(2)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A′B′C′D′中，已知E为CC′上一点，且2CE＝EC′，在平面CDD′C′内作EF∥A′B，交C′D′于点F，则直线EF与A′B之间的距离为__________．
解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A′(0，0，1)，B(1，0，0)，E(1，1， eq \f(1,3) )，
直线EF与A′B之间的距离等于E到直线A′B的距离，
eq \(BA′,\s\up6(→)) ＝(－1，0，1)， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(0，1， eq \f(1,3) )， eq \(BA′,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) ，
| eq \(BA′,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) ，| eq \(BE,\s\up6(→)) |＝ eq \r(1＋\f(1,9)) ＝ eq \f(\r(10),3) ，
cs 〈 eq \(BA′,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\(BA′,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→)),|\(BA′,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(\f(1,3),\r(2)×\f(\r(10),3)) ＝ eq \f(\r(5),10) ，〈 eq \(BA′,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) 〉∈[0，π]，
所以sin 〈 eq \(BA′,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) 〉＝ eq \r(1－（\f(\r(5),10)）2) ＝ eq \f(\r(95),10) ，
所以直线EF与A′B之间的距离等于E到直线A′B的距离为| eq \(BE,\s\up6(→)) |sin 〈 eq \(BE,\s\up6(→)) ， eq \(BA′,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\r(10),3) × eq \f(\r(95),10) ＝ eq \f(\r(38),6) .
答案： eq \f(\r(38),6)
【方法提炼】
向量法求点到直线的距离的方法
方法一：(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．
方法二：在直线上设出垂线段的垂足的坐标，利用共线和垂直求出垂足坐标，再求向量的模．
方法三：(1)求直线的方向向量；
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的方向向量夹角的余弦值，进而求出正弦值；
(3)求出所求点与直线上某一点所构成的向量的模，再乘以夹角的正弦值即为所求．
提醒 平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解．
【对点训练】
如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝ eq \r(2) BB1＝2，则C到直线AB1的距离为( )
A． eq \f(\r(15),5) B． eq \f(\r(10),5) C． eq \f(\r(15),3) D． eq \f(\r(30),3)
解析：选D.由题意知，AC＝AB＝2，BB1＝ eq \r(2) ，
取AC的中点O，则BO⊥AC，BO＝ eq \r(3) ，
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A(0，－1，0)，B1( eq \r(3) ，0， eq \r(2) )，C(0，1，0)，
所以AB1＝( eq \r(3) ，1， eq \r(2) )， eq \(CA,\s\up6(→)) ＝(0，－2，0)，
所以 eq \(CA,\s\up6(→)) 在AB1上的投影的长度为 eq \f(|\(CA,\s\up6(→))·AB1|,|AB1|) ＝ eq \f(2,\r(6)) ＝ eq \f(\r(6),3) ，
故点C到直线AB1的距离为：d＝ eq \r(|AC|2－（\f(\r(6),3)）2) ＝ eq \f(\r(30),3) .
题型三 点面、线面、面面距
[典例3](1)(2023·湛江模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB＝BC＝ eq \r(5) ，AC＝AA1＝2.
①求证：AC⊥平面BEF；
②求点D与平面BEC1的距离．
解析：①由于AB＝BC，E是AC的中点，
所以AC⊥BE，
由于E，F分别是AC，A1C1的中点，
所以EF∥CC1，
因为CC1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以CC1⊥AB，CC1⊥AC，
所以EF⊥AB，EF⊥AC，
因为EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，
所以AC⊥平面BEF.
②由①可知EA，EB，EF两两相互垂直，
以E为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则B(0，2，0)，C1(－1，0，2)，
设平面BEC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(EB,\s\up6(→))＝2y1＝0,m·EC1＝－x1＋2z1＝0)) ，
令z1＝1，则m＝(2，0，1)，
D(1，0，1)， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(1，－2，1)，
所以点D到平面BEC1的距离为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m·\(BD,\s\up6(→)),|m|))) ＝ eq \f(3,\r(5)) ＝ eq \f(3\r(5),5) .
(2)在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝ eq \r(3) ，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离．
解析：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，∠ADC＝90°，如图所示，建立空间直角坐标系，
因为AB∥CD，且AD＝1，CD＝ eq \r(3) ，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，
则A(1，0，0)，B(1，2 eq \r(3) ，0)，E(0， eq \r(3) ，1)，A1(1，0，2)，
所以AA1＝(0，0，2)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，2 eq \r(3) ，0)， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(－1， eq \r(3) ，1)，
设n＝(x，y，z)是平面ABE的一个法向量，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝2\r(3)y＝0,n·\(AE,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)y＋z＝0)) ，
令x＝1，则y＝0，z＝1，所以n＝(1，0，1)是平面ABE的一个法向量，
则点A1到平面ABE的距离d＝ eq \f(|AA1·n|,|n|) ＝ eq \f(2,\r(2)) ＝ eq \r(2) ，
又A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，
所以A1B1∥平面ABE，所以直线A1B1到平面ABE的距离为 eq \r(2) .
(3)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
解析：正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B1∥CD，A1B1＝CD，故四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C，
因为B1C⊂平面B1CD1，所以A1D∥平面B1CD1，
同理DB∥D1B1，
因为D1B1⊂平面B1CD1，所以DB∥平面B1CD1，
又因为A1D∩DB＝D，A1D，DB⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面B1CD1，
以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
所以A1B＝(0，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1D1＝(－1，0，0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·A1B＝0,n·A1D＝0)) ，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－z＝0,－x－z＝0)) ，
令z＝1，则y＝1，x＝－1，
则n＝(－1，1，1)为平面A1BD的一个法向量，
所以点D1到平面A1BD的距离d＝ eq \f(|A1D1·n|,|n|) ＝ eq \f(1,\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，则平面A1BD与平面B1CD1的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 eq \f(\r(3),3) .
【方法提炼】
求点面距的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标( eq \(AP,\s\up6(→)) ，α内两不共线向量，平面α的法向量n).
(4)求距离d＝ eq \f(\(|AP,\s\up6(→))·n|,|n|) .
提醒 求线面距、面面距可转化为点面距求解．
【对点训练】
如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点．求：
(1)直线MN与平面OCD的距离；
(2)平面MNR与平面OCD的距离．
解析：(1)因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)，
R(0，1，0)，因为M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD，
因为MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD，所以MR∥平面OCD，
因为AD∥BC且AD＝BC，R，N分别为AD，BC的中点，
则CN∥RD且CN＝RD，
所以四边形CDRN为平行四边形，所以RN∥CD，
因为RN⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，所以RN∥平面OCD，
因为MR∩RN＝R，MR，RN⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD，
因为MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD，
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)， eq \(DC,\s\up6(→)) ＝(2，0，0)， eq \(DO,\s\up6(→)) ＝(0，－2，2)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up6(→))＝2x＝0,n·\(DO,\s\up6(→))＝－2y＋2z＝0)) ，取y＝1，可得n＝(0，1，1)， eq \(NC,\s\up6(→)) ＝(0，1，0)，
所以，直线MN与平面OCD的距离为d1＝ eq \f(|\(NC,\s\up6(→))·n|,|n|) ＝ eq \f(1,\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) .
(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD，则平面MNR与平面OCD的距离为d2＝ eq \f(|\(NC,\s\up6(→))·n|,|n|) ＝ eq \f(1,\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) .
题型四 异面直线的距离
[典例4](1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，则异面直线AB和A1C的距离为__________．
解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，A1(4，0，4)，
则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，4，0)，CA1＝(4，－4，4)，AA1＝(0，0，4)，
设m＝(x，y，z)是异面直线AB和A1C的公垂线的一个方向向量，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(AB,\s\up6(→))＝4y＝0,m·CA1＝4x－4y＋4z＝0)) ，令x＝1，则m＝(1，0，－1)，
所以异面直线AB和A1C的距离为 eq \f(|AA1·m|,|m|) ＝ eq \f(4,\r(2)) ＝2 eq \r(2) .
答案：2 eq \r(2)
(2)(2023·沈阳模拟)在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，DA＝3，M为PC的中点，则异面直线PA与BM之间的距离为__________．
解析：设线段EF为异面直线PA与BM的公垂线段，则线段EF的长即为异面直线PA与BM之间的距离，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A(3，0，0)，B(3，4，0)，P(0，0，4)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，
M(0，2，2)，
所以 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝(3，0，－4)， eq \(BM,\s\up6(→)) ＝(－3，－2，2)，
设E(m，0，n)， eq \(PE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(PA,\s\up6(→)) ，所以(m，0，n－4)＝λ(3，0，－4)，
所以m＝3λ，n＝－4λ＋4，所以E(3λ，0，－4λ＋4)，
设F(p，r，s)， eq \(BF,\s\up6(→)) ＝μ eq \(BM,\s\up6(→)) ，
所以(p－3，r－4，s)＝μ(－3，－2，2)，所以p＝－3μ＋3，r＝－2μ＋4，s＝2μ，
所以F(－3μ＋3，－2μ＋4，2μ)，
所以 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝(－3μ＋3－3λ，－2μ＋4，2μ＋4λ－4)，
又 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(－3，0，4)， eq \(BM,\s\up6(→)) ＝(－3，－2，2)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(EF,\s\up6(→))·\(AP,\s\up6(→))＝0,\(EF,\s\up6(→))·\(BM,\s\up6(→))＝0)) ，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9μ－9＋9λ＋8μ＋16λ－16＝0,9μ－9＋9λ＋4μ－8＋4μ＋8λ－8＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝0,μ＝\f(25,17))) ，
即 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(24,17) ， eq \f(18,17) ，－ eq \f(18,17) )，
| eq \(EF,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（－\f(24,17)）2＋（\f(18,17)）2＋（－\f(18,17)）2) ＝ eq \f(6\r(34),17) .
即异面直线PA与BM之间的距离为 eq \f(6\r(34),17) .
答案： eq \f(6\r(34),17)
【方法提炼】
求异面直线间的距离的方法
(1)异面直线AB与CD间的距离可用以下公式求解
d＝ eq \f(|\(AC,\s\up6(→))·n|,|n|) ，其中n满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0,n·\(CD,\s\up6(→))＝0)) .
(2)求公垂线段所在的向量的坐标，进而求出模．
【对点训练】
长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE之间的距离是( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(\r(21),21) C． eq \f(2,3) D． eq \f(2\r(21),21)
解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(0，2，1)， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(－1，2，1)，BC1＝(－1，0，2)，
设BC1与AE的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝－x＋2y＋z＝0,n·BC1＝－x＋2z＝0)) ，取z＝1，得x＝2，y＝ eq \f(1,2) ，即n＝(2， eq \f(1,2) ，1)，
又 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，2，0)，
所以异面直线BC1与AE之间的距离为d＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|) ＝ eq \f(2×\f(1,2),\r(22＋（\f(1,2)）2＋12)) ＝ eq \f(2\r(21),21) .
教材改编
结论应用
易错易混
1，2
5，6
3，4