高考数学复习第一章　第一节　集合（导学案）

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第一节 集合
1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用VeNN图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性: 确定性 、 互异性 、无序性.
(2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 ,用符号 ∈ 或 ∉ 表示.
(3)集合的表示法: 列举法 、 描述法 、图示法.
(4)常见数集的记法及其关系图
点睛元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,解含参数的集合问题要注意用此性质检验.
2.集合间的基本关系
点睛0,{0},⌀,{⌀}之间的关系:⌀≠{⌀},⌀∈{⌀},⌀⊆{⌀},0∉⌀,0∉{⌀},0∈{0},⌀⊆{0}.
3.集合的基本运算
1.已知集合A有N(N≥1)个元素,则它有2N个子集,它有2N-1个真子集,它有2N-1个非空子集,它有2N-2个非空真子集.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.U(A∩B)=(UA)∪(UB),U(A∪B)=(UA)∩(UB).
1.(忽视互异性)若a∈{1,3,a2},则a的可能取值有( )
A.1,3B.0,1C.0,3D.0,1,3
解析：选C.集合元素要满足互异性,a=0时,该集合为{1,3,0},符合;a=3时,该集合为{1,3,9},符合;其他均不符合.
2.(结论1)已知集合A={x|-1A.3个B.4个C.8个D.16个
解析：选C.因为A={x|-13.(结论3)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={3,4},则(UA)∩(UB)=( )
A.{1,5}B.{5}
C.{1,2,5}D.{2,3,4}
解析：选B.因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4},所以A∪B={1,2,3,4},所以(UA)∩(UB)=U(A∪B)={5}.
4.(结论2)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∩B=B,则实数a的取值为( )
A.1B.-1或2
C.2D.-1或1
解析：选C.因为A∩B=B,所以B⊆A,所以a+2=3或a+2=a2,所以a=1或a=-1或a=2,当a=1或a=-1时,集合A的元素不满足互异性,不符合题意;当a=2时,符合题意,所以a=2.
5.(忽略空集)集合A={-1,2},B={x|ax-2=0},若B⊆A,则由实数a组成的集合为( )
A.{-2}B.{1}
C.{-2,1}D.{-2,1,0}
解析：选D.因为集合A={-1,2},B={x|ax-2=0},B⊆A,所以B=⌀或B={-1}或B={2},所以a=0,1,-2.所以由实数a组成的集合为{-2,1,0}.
6.(教材提升)设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则A∩B= .
解析：由x+y=1,x-y=3,得x=2,y=-1,所以A∩B={(2,-1)}.
答案:{(2,-1)}
集合的基本概念
[典例1](1)(2022·聊城模拟)已知集合A={0,1,2},B={ab|a∈A,b∈A},则集合B中元素个数为( )
A.2B.3C.4D.5
解析：选C.因为集合A={0,1,2},B={ab|a∈A,b∈A},所以当a=0,b=0,1,2时,ab=0;当a=1,b=0,1,2时,ab=0,1,2;当a=2,b=0,1,2时,ab=0,2,4,所以集合B={0,1,2,4},所以集合B中元素个数为4.
(2)(2022·南京模拟)设集合M={5,x2},N={5x,5}.若M=N,则实数x的值组成的集合为( )
A.{5}B.{1}C.{0,5}D.{0,1}
解析：选C.因为集合M={5,x2},N={5x,5},M=N,所以x2=5x,x=0或5,所以x的值组成的集合为{0,5}.
(3)(多选题)已知集合A={x|x=3k+1,k∈Z},则下列表示正确的是( )
A.-2∈AB.2 023∈A
C.3k2+1∉AD.-35∉A
解析：选AB.当-2=3k+1时,k=-1∈Z,故A正确;当2 023=3k+1时,k=674∈Z,故B正确;因为k∈Z,所以k2∈Z,显然3k2+1∈A,故C不正确;当-35=3k+1时,k=-12∈Z,故D不正确.
(4)(多选题)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a的可能取值为 ( )
A.92B.94C.0D.98
解析：选CD.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=23,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=98,符合题意.综上a的值为0或98.
——自主完善,老师指导
求解与集合的基本概念有关问题的关键点
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、 点集 ,还是其他类型的集合;
(2)含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足 互异性 .
1.(2022·南通模拟)已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9B.10C.12D.13
解析：选D.由题意可知,集合A中的元素有(-2,0),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-2),(0,-1),
(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,0),共13个.
2.设集合A={x|3x-1A.(2,5)B.[2,5)C.(2,5]D.[2,5]
解析：选C.因为集合A={x|3x-13.(2023·沈阳模拟)已知集合M={1,0},则与集合M相等的集合为( )
A.(x,y)x-y=-1x+y=1
B.{(x,y)|y=x-1+1-x}
C.xx=(-1)n-12,n∈N
D.yy=|siN nπ2|,n∈N*
解析：选D.A:集合(x,y)x-y=-1x+y=1与集合M的元素不同,A不符合题意;
B:{(x,y)|y=x-1+1-x}与集合M的元素不同,B不符合题意;
C:xx=(-1)n-12,n∈N={0,-1}≠M,C不符合题意;
D:yy=|siN nπ2|,n∈N*={1,0}=M,D符合题意.
【加练备选】
1.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则( )
A.a+b∈P
B.a+b∈Q
C.a+b∈M
D.a+b不属于P,Q,M中的任意一个
解析：选B.因为a∈P,所以a=2k1,k1∈Z.
因为b∈Q,所以b=2k2+1,k2∈Z.所以a+b=2(k1+k2)+1=2k+1∈Q(k1,k2,k∈Z).
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,ba,b,则a2 023+b2 023= .
解析：因为{1,a+b,a}=0,ba,b,a≠0,所以a+b=0,则ba=-1,所以a=-1,b=1.所以
a2 023+b2 023=0.
答案:0
3.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 020a的值为 ;若1∉A,则a不可能取得的值为 .
解析：若a+2=1,则a=-1,A={1,0,1},不符合题意;若(a+1)2=1,则a=0或-2,当a=0时,A={2,1,3},符合题意,当a=-2时,A={0,1,1},不符合题意;若a2+3a+3=1,则a=-1或-2,显然都不符合题意;因此a=0,
所以2 0200=1.
因为1∉A,所以a+2≠1,所以a≠-1;(a+1)2≠1,解得a≠0,-2;a2+3a+3≠1,解得a≠-1,-2.又因为a+2,(a+1)2,a2+3a+3互不相等,所以a+2≠(a+1)2得a≠-1±52;a+2≠a2+3a+3得a≠-1;(a+1)2≠a2+3a+3得a≠-2;综上a的值不可以为-2,-1,0,-1+52,-1-52.
答案:1 -2,-1,0,-1+52,-1-52
集合间的基本关系
[典例2](1)设全集U=R,则集合M={0,1,2}和N={x|x·(x-2)·lg2x=0}的关系可表示为( )
解析：选A.因为N={x|x·(x-2)·lg2x=0}={1,2},M={0,1,2},所以N是M的真子集.
(2)已知集合A=x|x=2k+13,k∈Z,B=x|x=2k+13,k∈Z,则( )
A.A⊆BB.A∩B=∅
C.A=BD.A⊇B
解析：选A.对于集合B=x|x=2k+13,k∈Z,
当k=3N(N∈Z)时,x=6n+13=2N+13,
当k=3N+1(N∈Z)时,x=6n+33=2N+1,
当k=3N+2(N∈Z)时,x=2N+53,所以A⊆B.
(3)(2023·枣庄模拟)已知集合A={y|y=2cs x,x∈R},满足B⫋A的集合B可以是( )
A.[-2,2]B.[-2,3]
C.[-1,1]D.R
解析：选C.A={y|y=2cs x,x∈R}=[-2,2],且B⫋A,结合选项知,C项符合题意.
(4)(2022·舟山模拟)若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|5≤x≤16},则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为( )
A.{a|2≤a≤7}B.{a|6≤a≤7}
C.{a|a≤7}D.⌀
解析：选C.若A=⌀,即2a+1>3a-5,解得a<6,满足A⊆B.若A≠⌀,即a≥6时,要使A⊆B成立,则2a+1≥53a-5≤16,解得2≤a≤7,此时6≤a≤7.综上a≤7.
——自主完善,老师指导
1.判断集合间关系的三种方法
(1)列举法:由题中条件表示集合元素,然后比较集合元素的异同,找出集合之间的关系.
(2)特征分析法:从元素满足的共同特征入手,结合通分、配方等变形技巧,找出集合之间的关系.
(3)数轴法:在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系.
2.根据两集合的关系求参数的方法
(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性.
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
提醒若有条件B⊆A,则应注意判断是否需要分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.
1.设集合P={y|y=x2+1},M={x|y=x2+1},则集合M与集合P的关系是( )
A.M=PB.P∈M
C.M⊆PD.P⊆M
解析：选D.因为P={y|y=x2+1}={y|y≥1},M={x|y=x2+1}=R,因此P⊆M.
2.(多选题)已知集合A=x14x+a≥0,B={x|x2≤1},若B⊆A,则实数a的取值可以是( )
A.-2B.0C.2D.4
解析：选CD.因为A={x|x≥-4a},B={x|-1≤x≤1},又因为B⊆A,则-4a≤-1,解得a≥14.
3.已知集合A=1,2,B=x|x2+mx+1=0,若B⊆A,则实数m的取值范围为 .
解析：(1)若B=⌀ ,则Δ=m2-4<0,解得-2(2)若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1}符合题意;
(3)若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-52,此时B=2,12,不符合题意;
(4)若1,2∈B,则12+m+1=0且22+2m+1=0,无解.综上所述,实数m的取值范围为-2,2.
答案:-2,2
【加练备选】
1.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0解析：由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}.
又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},所以有4个.
答案:4
2.已知集合A={x|x2-2 023x+2 022<0},B={x|x解析：由x2-2 023x+2 022<0,
解得1又B={x|x可得a≥2 022.
答案:[2 022,+∞)
集合的运算
角度1 集合的基本运算
[典例3](1)(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M={x|x<4},N={x|3x≥1},则M∩N=( )
A.{x|0≤x<2}B.x13≤x<2
C.{x|3≤x<16}D.x|13≤x<16
解析：选D.M={x|0≤x<16},N=xx≥13,故M∩N=x|13≤x<16.
(2)(多选题)(2022·长沙模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A.B∩(A∪C)B.UB∩(A∪C)
C.B∩U(A∪C)D.(A∩B)∪(B∩C)
解析：选AD.在阴影部分区域内任取一个元素x,则x∈A∩B或x∈B∩C,故阴影部分所表示的集合为B∩(A∪C)或(A∩B)∪(B∩C).
角度2 根据集合之间的关系进行运算
[典例4]金榜原创·易错对对碰
(1)已知M,N均为R的子集,且RM⊆N,则M∪(RN)=( )
A.⌀B.MC.ND.R
解析：选B.如图所示,易知M∪(RN)=M.
(2)已知M,N均为R的子集,且M⊆RN,则(RM)∩N=( )
A.⌀B.MC.ND.R
解析：选C.用VeNN图表示M,N如图:
由VeNN图看出,M⊆RN,RM∩N=N.
角度3 根据集合的运算结果求参数
[典例5](1)(2023·常德模拟)已知集合A={x∈Z|x2≤1},B={x|x2-mx+2=0},若A∩B={1},则A∪B=( )
A.{-1,0,1}B.{x|-1≤x≤1}
C.{-1,0,1,2}D.{x|-1≤x≤2}
解析：选C.集合A={x∈Z|x2≤1}={-1,0,1},B={x|x2-mx+2=0},A∩B={1},所以1∈B,所以1-m+2=0,解得m=3,
所以B={x|x2-3x+2=0}={1,2},所以A∪B={-1,0,1,2}.
(2)(2022·龙岩模拟)已知集合A={x|xA.{a|a≤2}B.{a|a<1}
C.{a|a≥2}D.{a|a>2}
解析：选C.因为B={x|1——自主完善,老师指导
解集合运算问题的两种基本方法
(1)若集合中的元素是连续的实数,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到,一般可将端点值代入验证.
(2)根据题目特点,灵活运用VeNN图求解.
1.(2022·青岛模拟)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,4,5},B={1,3,5,7},则A∪(UB)=( )
A.{1,3,6}B.{2,4}
C.{1,2,4,5,6}D.{3,5,7}
解析：选C.因为全集U={1,2,3,4,5,6,7},B={1,3,5,7},所以UB={2,4,6},又A={1,2,4,5},则A∪(UB)={1,2,4,5,6}.
2.(2022·苏州模拟)已知全集U,集合A,B为其子集,若B∩(UA)=⌀,则A∪B=( )
A.UAB.UBC.AD.B
解析：选C.全集U,集合A,B为其子集,B∩(UA)=⌀,所以B⊆A,所以A∪B=A.
3.(2023·汕头模拟)已知全集为R,A={x|x2-1>0},B={x|x-a<0},(RA)∩B={x|-1≤x<0},则a=( )
A.1B.2C.-1D.0
解析：选D.A={x|x2-1>0}={x|x<-1或x>1},B={x|x-a<0}={x|x所以(RA)∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|x【加练备选】
1.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|-2A.{2}B.{2,3}
C.{3,4}D.{2,3,4}
解析：选B.A∩B={x|-22.已知集合A={x|x2≥4},B={m}.若A∪B=A,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)B.[2,+∞)
C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析：选D.因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得m≥2或m≤-2.
3.已知M,N为R的子集,若M∩(RN)=⌀,N={1,2},则满足题意的M的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析：选D.因为M∩(RN)=⌀,所以M⊆N,又N={1,2},所以M={1}或M={2}或M=⌀或M={1,2},故满足题意的M的个数为4.
【备选题型】集合的新定义问题
[典例]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为 .
解析：集合A表示如图所示的所有“○”,集合B表示如图所示的所有“○”+所有“”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合A⊕B表示如图所示的所有“○”+所有“”+所有“●”,共45个. 故A⊕B中元素的个数为45.
答案:45
解决集合的新定义问题要注意两个关键点
(1)准确转化,即解决新定义问题时,首先要读懂题意,对题目进行恰当转化,切忌与已有概念混淆;
(2)方法选取,即对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法等方法,并结合集合的相关性质求解.
若集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素,则集合A的不同分拆种数是 .
解析：不妨令A={1,2,3},因为A1∪A2=A,
当A1=⌀时,A2={1,2,3},
当A1={1}时,A2可以为{2,3},{1,2,3}共2种,
同理A1={2},{3}时,A2各有2种,
当A1={1,2}时,A2可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4种,
同理A1={1,3},{2,3}时,A2各有4种,
当A1={1,2,3}时,A2可以为A1的子集,共8种,
故共有1+2×3+4×3+8=27(种)不同的分拆.
答案:27
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关闭WRd文档返回原板块记法
自然数集记作:N
正整数集记作: N*或N+
整数集记作:Z
有理数集记作:Q
实数集记作:R
关系图
关系
文字语言
符号语言
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B或
B⊇A
真子
集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⫋B或
B⫌A
相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集
A=B
空集
不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集
⌀
运算
文字语言
符号语言
图形语言
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
补集
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
UA={x|x∈U,且x∉A}
教材改编
结论应用
易错易混
6
2,3,4
1,5