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    2025版高考数学一轮总复习单元检测第九章概率与统计(附解析)

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    2025版高考数学一轮总复习单元检测第九章概率与统计(附解析)

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    这是一份2025版高考数学一轮总复习单元检测第九章概率与统计(附解析),共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1. 已知A,B,C三个社区的居民人数分别为600,,,现采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取一个容量为的样本,若从C社区抽取了15人,则( A )
    A. 33B. 18C. 27D. 21
    解:由题意,得,解得.故选.
    2. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是 ( A )
    A. 至少有一个白球;都是白球B. 至少有一个白球;至少有一个红球
    C. 至少有一个白球;红、黑球各一个D. 恰有一个白球;一个白球一个黑球
    解:对于,至少有一个白球和都是白球这两个事件能同时发生,不是互斥事件,不是.
    对于,至少有一个白球和至少有一个红球这两个事件能同时发生,不是互斥事件,不是.
    对于,至少有一个白球和红、黑球各一个这两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,是.
    对于,恰有一个白球和一个白球一个黑球这两个事件能同时发生,不是互斥事件,不是.
    故选.
    3. 一组数据,,,的平均数是2,方差是2,则数据,,,的平均数与方差分别为( D )
    A. 3,4B. 2,8C. 2,4D. 5,8
    解:平均数为,方差为.故选.
    4. 的展开式中,的系数为( B )
    A. 200B. 40C. 120D. 80
    解:,而 展开式的通项为,
    所以 的系数为.
    故选.
    5. [2022年天津卷]为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为,,,,,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组, ,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( B )
    A. 8B. 12C. 16D. 18
    解:志愿者的总人数为,所以第三组人数为,有疗效的人数为.故选.
    6. [2024年九省联考]甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有( B )
    A. 20种B. 16种C. 12种D. 8种
    解:因为甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,所以乙、丙及中间2人占据首四位或尾四位,且甲在乙、丙中间.
    当乙、丙及中间2人占据首四位时,此时还剩末位,排乙、丙有 种方法,排甲有 种方法,剩余两个位置余下两人全排列有 种排法,所以有(种)排法.
    当乙、丙及中间2人占据尾四位时,同理有(种)排法.
    由分类加法计数原理,可知一共有(种)排法.故选.
    7. 某中学在高三上学期期末考试中,一班的数学成绩.若已知,则从一班中任选一名学生,他的数学成绩大于120分的概率为( D )
    A. 0.86B. 0.64C. 0.36D. 0.14
    解:因为,所以.
    因为,所以.
    所以.
    故选.
    8. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为( A )
    A. B. C. D.
    解:设事件 为“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”,事件 为“学生丙第一个出场”,
    则,,
    则.
    故选.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 下列命题中正确的是 ( ACD )
    A. 在回归分析中,样本相关系数的绝对值越大,两个变量的线性相关性越强
    B. 对分类变量与,它们的随机变量的观测值越小,说明“与有关系”的把握越大
    C. 经验回归直线恒过样本中心
    D. 在回归分析中,残差平方和越小,模型的拟合效果越好
    解:对于,回归分析中,对于样本相关系数,越接近1,相关程度越强,正确.
    对于,对分类变量 与,它们的随机变量 的观测值越小,说明“与 有关系”的可能性越小,错误.
    对于,经验回归直线一定恒过样本中心,正确.
    对于,在回归分析中,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,正确.
    故选.
    10. 某新能源汽车厂根据2023年新能源汽车销售额(单位:万元)和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示的双层饼图.根据双层饼图,下列说法正确的是( ABC )
    A. 2023年第四季度销售额最低B. 2月销售额占全年销售额的
    C. 2023年全年销售总额约为1 079万元D. 7月的销售额约为46万元
    解:由题图,知第四季度销售额占全年销售额的,第三季度为,第二季度为,第一季度为,故第四季度最低,正确.
    2月销售额占全年总销售额的,正确.
    全年总销售额为(万元),正确.
    7月的销售额为(万元),错误.
    故选.
    11. 已知,则( BCD )
    A. B.
    C. D.
    解: 的通项为.令,得,错误.
    ,正确.
    令,得,正确.
    等于 的展开式的各项系数之和,令,得,正确.
    故选.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 高一某班10名学生的英语口语测试成绩(单位:分)如下:76,90,84,82,81,87,86,82,85,83.这组数据的第75百分位数是86.
    解:成绩从小到大排列为:76,81,82,82,83,84,85,86,87,90.
    由,知第75百分位数是第8个数据,即86.
    故填86.
    13. 随机变量的分布列如下.
    其中,,成等差数列,若,则的值是5.
    解:因为,,成等差数列,所以.
    又,且,
    解得,,.
    所以,
    则.
    故填 5.
    14. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张光片,则取得的光片是次品的概率为0.08.
    解:以,,分别表示取得的这盒 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,表示“取得的 光片为次品”,
    则,,,
    ,,.
    由全概率公式,知所求概率为

    故填0.08.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. (13分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
    (1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
    解:由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
    女顾客中对该商场服务满意的比率为,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
    (2) 依据的独立性检验,能否认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
    附:.
    [答案]
    .
    由于,故认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异,此推断犯错误的概率不大于0.05.
    16. [2020年全国Ⅰ卷](15分)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务,甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
    甲分厂产品等级的频数分布表
    乙分厂产品等级的频数分布表
    (1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
    解:由试加工产品等级的频数分布表,知甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为.
    (2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?
    [答案]
    由数据,知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
    因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
    (元).
    由数据,知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
    因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
    (元).
    比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
    17. (15分)下表是某地区2017年至2023年人均年纯收入(单位:万元)的数据.
    (1) 求关于的线性经验回归方程;
    解:由表中数据,计算,,

    .所以,
    .
    所以关于的线性经验回归方程.
    (2) 利用(1)中的经验回归方程,分析2017年至2023年该地区人均年纯收入的变化情况,并预测该地区2024年人均年纯收入(结果精确到).
    附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
    [答案]由(1)中的经验回归方程,知该地区2017年至2023年人均年纯收入逐年递增,预测该地区2024年人均年纯收入为(万元).
    18. (17分)为普及空间站相关知识,某部门组织了空间站模拟编程闯关活动,它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是:编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程,全部结束后提交评委测试,若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中,甲只能正确完成其中6个,乙正确完成每个程序的概率均为,每位选手每次编程都互不影响.
    (1) 求乙闯关成功的概率;
    解:乙正确完成2个程序或者3个程序,则闯关成功.记乙闯关成功为事件,则.
    (2) 求甲编写程序正确的个数的分布列和期望,并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
    [答案]
    由题意,知随机变量 所有可能取值为0,1,2,3.
    ,,
    ,.
    故 的分布列为
    .
    甲闯关成功的概率为.因为,所以甲比乙闯关成功的可能性大.
    19. (17分)某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随机抽测了120个零件的长度(单位:),将数据分成,,,,,共6组,得到如下的频数分布表.
    以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率.
    (1) 若从这批零件中随机抽取3个,记为抽取的零件的长度在的个数,求的分布列和数学期望;
    解:从这批零件中随机选取1件,长度在 的概率.
    随机变量 的可能取值为0,1,2,3.
    则,

    ,
    .
    所以随机变量 的分布列为
    所以.
    (2) 若变量满足,且,则称变量满足近似于正态分布的概率分布,如果这批零件的长度(单位:)满足近似于正态分布的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利被签收,否则,公司将拒绝签收,试问该批零件能否被签收?并说明理由.
    [答案]
    由题意,知,.

    .
    因为,

    所以这批零件的长度满足近似于正态分布 的概率分布.
    所以认为这批零件是合格的,将顺利被该公司签收.

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    等级
    A
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    2018
    2019
    2020
    2021
    2022
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