2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.5椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.5椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系，共7页。试卷主要包含了位置关系的判断，弦长问题，中点弦问题，直线与椭圆的综合问题等内容，欢迎下载使用。
例1 已知直线，椭圆.试问当实数取何值时，直线与椭圆
解：将直线 的方程与椭圆 的方程联立，得 消去，得.
.
（1） 有两个不同的公共点？
[答案]由，解得，此时方程（*）有两个不相等的实数根.所以当 时，直线 与椭圆 有两个不同的公共点.
（2） 有且只有一个公共点？
[答案]由，解得，此时方程（*）有两个相等的实数根.所以当 时，直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
【点拨】直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.通常用消元后的关于（或）的一元二次方程的判别式 与零的大小关系来判定.
变式1
（1） 直线与椭圆的位置关系为（ A ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
解：直线 可化为，所以直线恒过点.又，即 在椭圆的内部，
所以直线 与椭圆 的位置关系为相交.故选.
（2） 直线与椭圆有且只有一个交点，则的值是（ C ）
A. B. C. D.
解：由 得.由题意,知，解得.故选.
考点二 弦长问题
例2 斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（ B ）
A. B. C. D.
解：设，两点的坐标分别为，，直线的方程为.
由 消去,得.
由,得.
则，.
所以

.
所以当 时，取得最大值.故选.
【点拨】设直线与椭圆的交点为，，则弦长公式（为直线的斜率）.注意该公式是在方程有解的情况下，不要忽略判别式这一前提.
变式2 已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点，若，则直线的斜率为 .
解：由题意,得，且直线 的斜率存在.设直线 的方程为.
联立 整理得.设，则有，即.
因为，所以，将 代入，解得 或（舍去），即.故填.
考点三 中点弦问题
例3 已知一直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标为，则直线的方程为 .
解：（方法一）根据题意，易知直线 的斜率存在.设过点 的直线 的方程为，代入椭圆方程，整理得.
设，两点的的横坐标分别为,.
则，解得.
故直线 的方程为,即.
（方法二）设.
因为 的中点为，所以点 的坐标是.
将，两点的坐标代入方程，得
,
及,
化简为.
，得，化简为.
同理，可得.
因为 与 都满足方程,
所以 即为所求.
（方法三）设，是弦的两个端点，代入椭圆方程，
得
，得.
因为 为弦的中点，所以,.
所以.所以.
故 的方程为，即.故填.
【点拨】处理中点弦问题常用的求解方法.①点差法，即设出弦的两端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.②根与系数的关系，即联立直线与椭圆方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.
变式3 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ D ）
A. B. C. D.
解：根据题意，设，，其中,，则
两式相减，得，
所以.
因为 的中点坐标为，
所以，.
又因为直线 经过椭圆的焦点，
所以，
所以，即.
又因为，所以，.
所以椭圆 的方程为故选.
考点四 直线与椭圆的综合问题
例4 椭圆经过点,，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形,过椭圆的右焦点作直线交于，两点.
（1） 求椭圆的标准方程；
解：因为两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，所以.
因为椭圆过点,，所以.
又，解得,.
所以椭圆 的标准方程为.
（2） 若，求.
[答案]
由（1）知，则直线 不可能平行于 轴.设,，.
联立 得，
所以
因为，所以，
则
故，解得.
所以.
【点拨】处理直线与椭圆的综合问题，关键是将平行、垂直、线段比例、角的大小等题目条件用点的坐标翻译出来，从而可以联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理进行求解.处理焦点弦问题,小题也可利用前面的【常用结论】解题.
变式4 将例4（2）的条件改为“”（为左焦点），求直线的方程.
解：由题意，知,,.
当直线 的斜率不存在时，其方程为，不符合题意.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为.
由 得，显然.
设，，则，，，.
因为，所以，
即，解得，即.
故直线 的方程为 或.