2022-2023学年陕西省西安市蓝田县九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2022-2023学年陕西省西安市蓝田县九年级上学期数学月考试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、含有不等号，不是一元二次方程；
D、含有分式，不是一元二次方程．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；根据定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
B中矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
C中菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
D平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形．解题的关键在于对中心对称图形与轴对称图形定义的正确理解．
3. 一元二次方程，配方后可变形为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半平方可得．
【详解】解：移项得：，
配方得，
即，
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．
4. 已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
5. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂直平分，垂足为点，则的度数为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用菱形性质和题意判断是等边三角形，从而求得，最后由两直线平行同旁内角互补求得的度数即可．
【详解】解：四边形为菱形，
，
垂直平分，
，
为等边三角形，
，
，
．
故选：．
【点睛】考查了菱形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，了解垂直平分线的性质是解答本题的关键．
6. 如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的矩形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为96平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长等于（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质得，，，，由平行线的性质得，由折叠的性质得，于是，则，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：四边形为矩形，，，
，，，，
由折叠可知，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，利用平行线的性质和折叠的性质推出是解题关键．
8. 关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A. 有两个相异正根B. 有两个相异负根C. 有一个正根和一个负根D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：方程可化为，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，
∴该方程的两个根为一正一负，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若关于x的方程的一个根为1，则m的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】将代入方程求解即可．
【详解】解：把代入方程得：
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，直接代入求解即可．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，然后根据∠C＝60°得出△BCD为等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，点D为边AC的中点，
∴，
∵∠C＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得出△BCD为等边三角形，是解题的关键．
11. 你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
【答案】②
【解析】
【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．
【详解】解：即，
构造如图②中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
据此易得．
故答案为②．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
12. 如图，某工厂师傅要在一个面积为的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大，则裁剪后小正方形的边长为__________m．

【答案】2
【解析】
【分析】设大正方形的边长为x，表示出小正方形的边长，根据总面积为15列出方程求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长x，则小正方形的边长为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意舍去），
小正方形的边长为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据大正方形的边长表示出小正方形的边长．
13. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
【点睛】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14 用配方法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上9，左边是完全平方式，右边等于6，可以解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程解法，熟悉配方法是解题的关键．
15. 用公式法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先移项，将方程化成标准形式，然后利用公式法求解．
【详解】解：原方程变形为：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的基础．
16. 用因式分解法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
即，
∴或，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17. 小明想利用一块三角形纸片裁剪一个菱形，要求一个顶点为A，另外三个顶点分别在三角形的三边上，请你在原图上利用尺规作图帮小明把这个菱形作出来. (用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹).

【答案】作图见详解
【解析】
【分析】由菱形的定义和性质入手,作出图形即可.
【详解】如图,
先作出角A的角平分线交BC边于点E, 做线段AE的垂直平分线交AC、AB于F、D点, 连接FD,则菱形ADEF即为所求作的菱形.
【点睛】本题主要菱形的定义和性质及作图.
18. 如图，在正方形中，点E、F分别是边、上的点，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】∵四边形是正方形
∴，
∴在和中
∴．
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
19. 环保，目前是世界上最热门的话题之一，我国的环境问题主要表现在污染物排放量相当大，远远高于环境的自净力，某厂工业的废气年排放量为450万立方米，为改善我市的大气环境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．求每期治理中废气减少的百分率是多少．
【答案】每期治理中废气减少的百分率是．
【解析】
【分析】先设每期治理中废气减少的百分率是x，再据题意用x表示出经过两期治理后废气的年排放量，让它等于288列出方程求解即可．
【详解】设每期治理中废气减少的百分率是x，据题意得
，
解得，（舍去）
答：每期治理中废气减少的百分率是．
【点睛】此题考查列一元二次方程求平均增长率．此题关键是要弄清开始的基准量和经过两期后的最终量，再利用增长率的含义列方程和利用增长率求出一期后的中间量．
20. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据根的判别式判断即可．
【详解】证明：∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是：当时，方程有两个不相等的实数根．
21. 如图，在中，，，，动点D从点A出发以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为t s．

（1）根据题意填空：__________cm，__________cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，面积等于面积的？
【答案】（1），
（2）当时，面积等于面积的．
【解析】
【分析】（1）根据路程速度×时间，即可求解；
（2）根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可．
【小问1详解】
解：根据路程=速度×时间得：
，，
则；
【小问2详解】
解：∵面积等于面积的
∴
即
化简得：
解得．
∴当时，面积等于面积的．
【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了勾股定理、一元二次方程的求解．注意计算的准确性．
22. 如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，且DE＝AD，过点A作交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）若AB＝1，CF＝2．求AD的长；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得，再根据菱形的性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理即可得．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
23. 商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到4950元？
【答案】（1）（2x）；（60﹣x）；（2）每件商品降价15元时，商场日盈利可达到4950元．
【解析】
【分析】（1）由题意得：降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数；
（2）根据：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=盈利的等量关系，把列方程解答即可.
【详解】（1）由题意，可得商场日销售量增加（2x）件，每件商品盈利（60﹣x）元．
故答案为（2x）；（60﹣x）；
（2）由题意得：（60﹣x）（80+2x）＝4950
化简得：x2﹣20x+75＝0，
解得x1＝5，x2＝15．
∵该商场为了尽快减少库存，
∴x＝5舍去，
∴x＝15．
答：每件商品降价15元时，商场日盈利可达到4950元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，确定等量关系并正确列式是解答本题的关键.
24. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
（1）求证：DE∥BF
（2）若四边形DEBF的面积为8，AE＝，则正方形边长为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证明OE＝OF，得四边形DEBF是平行四边形，便可得DE∥BF；
（2）由正方形的性质得OA＝OD，进而得OD与OE的关系，由菱形的面积公式得OD与OE的关系式，进而求得OD，OE，再由等腰直角三角形的性质求得正方形的边长．
【详解】（1）连接BD，交AC于点O，
在正方形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA−AE＝OC−CF，
∴OF＝OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD，OA⊥OD，
∴OD＝OE＋AE＝OE＋，
∵四边形DEBF是平行四边形，OA⊥OD，
∴四边形DEBF是菱形，
∵四边形DEBF的面积为8，
∴BD•EF＝8，
即×2OD•2OE＝8，
∴OD•OE＝4，
∵OD＝OE＋，
∴OE＝，OD＝2，
∴AD＝OD＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，菱形的面积公式，关键证明四边形DEBF是平行四边形或菱形．
25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
【答案】（1）当t=5或7秒时，PQ=CD；理由见详解；（2）Q点运动的速度 cm/秒或5cm/秒．
【解析】
【分析】（1）PQ＝DC．分两种情况，当PQ∥CD时，由PD∥CQ，可证四边形PQCD为平行四边形，利用PD=QC，建构方程20-t=3t，当PQ不与CD平行时，过P、D分别作PE⊥BC与E，DF⊥BC与F，当QE=FC时PQ=CD，可证△PQE≌△DCF（SAS），再证四边形ABFD为矩形，四边形PDFE为平行四边形，利用QE=FC建构方程4t-24=4，解方程即可；
（2）矩形的长宽之比为2：1，分两种情况，当AB：AP=2:1时，AB=8cm，AP：AB=2:1，AP=16cm，利用AP求出t，求出CQ的长，利用vt=CQ求解即可．
【详解】解：（1）PQ＝DC．分两种情况，
当PQ∥CD时，
∵PD∥CQ，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PD=QC，
∵P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，AD＝20cm， BC＝24cm，
∴PD=AD-AP=20-t，CQ=3t，
∴20-t=3t，
解得t=5秒，
当PQ不与CD平行时，过P、D分别作PE⊥BC与E，DF⊥BC与F，
当QE=FC时PQ=CD，
在△PQE和△DCF中，
∵PE=DF，∠PEQ=∠DFC，QE=CF，
∴△PQE≌△DCF（SAS），
∵AP∥BC，∠B=90°，DF⊥BC，
∴∠A=∠B=∠DFB=90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DF=AB=8cm，AD=BF=20cm,CF=BC-BF=24-20=4cm，
∵PE⊥BC，DF⊥BC，
∴PE∥DF，
∵PD∥EF，
∴四边形PDFE为平行四边形，
∴PD=EF=20-t，
∴QE=QC-EF-FC=3t-(20-t)-4=4t-24，
∴4t-24=4，
解得t=7秒，
∴当t=5或7秒时，PQ=CD；
（2）矩形的长宽之比为2：1，
当AB：AP=2:1时，AB=8cm，
∴AP=4，
∴t=4秒，
设Q的速度为vcm/秒，
∴CQ=4v=24-4，
∴v=5 cm/秒，
当AP：AB=2:1，
∴AP=2×8=16cm，
∴1t=16，
∴t=16秒，
∴CQ=16v=24-16，
∴v=cm/秒，
∴Q点运动的速度 cm/秒或5cm/秒．
【点睛】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形全等判定与性质，掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形全等判定与性质是解题关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点且、的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，且．

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）点P是y轴上的点．在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2），，，
【解析】
【分析】（1）通过解一元二次方程，求得方程的两个根，从而得到、两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求的长，根据，可求的长，从而得到点的坐标；
（2）分①当是菱形的边时，②当为菱形的对角线时，两种情况讨论可求点的坐标．
【小问1详解】
，
，
解得，，
，
，，
，，
，
又，
，
；
【小问2详解】
存在．
①当是菱形的边时，如图所示，
在菱形中，，
所以点的坐标为，
在菱形中，，
所以点的坐标为，
在菱形中，，
所以点的坐标为，
②当为菱形的对角线时，如图所示的菱形，
设菱形的边长为，则在中，，
即，解得，
所以．
综上可得，平面内满足条件的点的坐标为：，，，．
【点睛】考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．