2025版步步高大一轮数学人教B版大一轮复习讲义含解析

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知识梳理
1．椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个 ，a是一个常数，且2a |F1F2|，则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 ．
注意：(1)当动点P满足|PF1|＋|PF2|＝常数>|F1F2|时，动点P的轨迹为椭圆；
(2)当动点P满足|PF1|＋|PF2|＝常数＝|F1F2|时，动点P的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点P满足|PF1|＋|PF2|＝常数<|F1F2|时，动点P的轨迹不存在．
2．椭圆的简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
2．若椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上一点P与焦点F1的距离为4，则点P与另一个焦点F2的距离为( )
A．6 B．3 C．4 D．2
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
4．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,9)＋y2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
(2)(2023·眉山模拟)已知P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若eq \f(\(PF1,\s\up6(→))·\(PF2,\s\up6(→)),|\(PF1,\s\up6(→))||\(PF2,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△F1PF2的面积为____________________________．
跟踪训练1 (1)(2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为( )
A．4 B．8 C．10 D．20
(2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)．
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C.
现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为________．
题型二 椭圆的标准方程
例2 (1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1
(2)已知过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为eq \f(x2,a2＋m)＋eq \f(y2,b2＋m)＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝λ(a>b>0，λ>0)．
跟踪训练2 (1)(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,60)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,60)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
(2)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝4，|PF2|＋|F2Q|＝6，则椭圆E的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例3 (1)(2023·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为( )
A．2－eq \r(3) B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例4 (多选)已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则( )
A．的最大值为4eq \r(3)
B．|PF1|的取值范围是[4－2eq \r(3)，4＋2eq \r(3)]
C．不存在点P使PF1⊥PF2
D．|PB|的最大值为2eq \r(5)
跟踪训练3 (1)已知M，N是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值是eq \f(1,4)a2，则椭圆C的离心率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
(2)已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MF,\s\up6(→))的取值范围为( )
A．[－16,0] B．[－8,0]
C．[0,8] D．[0,16]焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
范围
顶点
轴长
短轴长为________，长轴长为________
焦点
焦距
|F1F2|＝________
对称性
对称轴：____________，对称中心：________
离心率
a，b，c
的关系