数学：重庆市十一中教育集团2024年九年级下学期第二次模拟考试试题（解析版）

这是一份数学：重庆市十一中教育集团2024年九年级下学期第二次模拟考试试题（解析版），共27页。试卷主要包含了单选题，四象限的是，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】2024的相反数是,
故选：B．
2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，得：“卯”的左视图为：
故选D．
3. 下列反比例函数的图象经过第二、四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
B．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
C．，反比例函数图象位于二、四象限，故该选项符合题意，
D．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
故选C．
4. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为4，则的面积是（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
【答案】C
【解析】∵与位似，点O为位似中心，相似比为，
∴与的面积之比为，
∵的面积为4，
∴的面积是9，
故选C．
5. 将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ）
A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°
【答案】C
【解析】由题意得，
∴，
∵直尺两边平行，
∴，
故选：C．
6. 估算的结果应在（ ）
A. 13和14之间B. 14和15之间
C. 15和16之间D. 25和26之间
【答案】C
【解析】，
∵，
∴，
∴，
故选：．
7. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】第1幅图形中“●”的个数为a1=3=1×3；
第2幅图形中“●”的个数为a2=8=2×4；
第3幅图形中“●”的个数为a3=15=3×5；
第4幅图形中“●”的个数为a4=24=4×6；
∴第n幅图形中“●”的个数为an=n（n+1）；
∴+++++++
=+++++++
=+++++++
=
==，
故选A．
8. 如图，分别切 的两边于点、，点在优弧上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接、，如图：
分别切的两边，于点，，
，，
，
，
．
故选：B．
9. 如图，在正方形中，是边上一动点，连接，过点作，垂足为，连接，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】如图，过点作于，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
10. 有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环，
∴当时，，故①错误；
当时，则，
∴或，
∴或0，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：2－1+sin30°＝_______．
【答案】1
【解析】原式，
故答案为：1．
12. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为__________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
13. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为____________________．
【答案】
【解析】列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果有2种，
抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：．
14. 如果一次函数的图像不经过第一象限，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵一次函数的图像不经过第一象限，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在扇形中，，，是的垂直平分线，交弧于点E，点C是的中点，连接，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】如图，连接，过E作于F，则，

∵，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，又，
∴，则，
∵点C是的中点，
∴，
∴
，
故答案为：．
16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为_____．
【答案】
【解析】，解得：，
又∵关于的一元一次不等式组的解集为，
∴；，
解得：，
又∵关于的分式方程的解是整数，
∴为整数，且．
综上所述，要满足：，为整数，且，
∴整数的值可以为：，，，，，
∴符合条件的所有整数的和，
故答案为：．
17. 如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为______
【答案】
【解析】如图，延长交于．

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
18. 对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为，去掉百位数字后剩余的两位数为，规定，则最大的“4阶比例中项数”是__________；若（其中 ，，m，n均为正整数）是一个“k阶比例中项数”，且能被8除余3，则满足条件的N之和是__________．
【答案】961 823
【解析】（1）若一个三位数是“4阶比例中项数”那百位和个位数字积的4倍是十位上数字的平方，
设这个三位数为，
则c，且，其中，均为整数，且均在1到9之间，
∴为4的倍数，
∴b可能是2，4，6，8，
当时，此时，这个三位数是121；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，为441；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，为961；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，882；
则最大的“4阶比例中项数”是961；
（2）由题意可知，，，
∴是8的倍数，
∵ ，，m，n均为正整数，
∴n可能是2，3，4，5，6，7，8，
当时，m的值为1、2、4，，
当时，不是8的倍数，不符合题意；
当时，不是8的倍数，不符合题意，
当时，是8的倍数，符合题意，此时；，
当时，m的值为1、3，，
当，不是8的倍数，不符合题意；
当时，不是8的倍数，不符合题意，
当时，m的值为1、2、4，，
同理，当，，符合题意，此时，其余不符合题意；
当时，m的值为1，同理，不符合题意；
当时，m的值为1、2、3、4，，
同理，当时，，符合题意，此时；
当时，m的值为1，同理，不符合题意；
当时，m的值为1、2、4，，
同理，当时，均不符合题意；
综上，符合条件的N有421或141或261，故符合条件的N之和为823．
故答案为：961，823．
三、解答题：（本题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）；
（2）=
．
20. 某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有，两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小文随机选取了段短文，其中每段短文都含个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
款软件每段短文中识别错误的字数记录为：
5， 6， 6，6，6， 6， 6， 6， 6， 7， 9，
9， 9， 9， 9， 10， 10， 10， 10， 10．
款软件每段短文中识别错误的字数如图所示：
、两款软件每段短文中识别错误的字数的统计表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的 ， ， ．
（2）若你是测试员小文，根据上述数据，你会向部门推荐哪款软件？请说明理由；
（3）若会议记录员用、两款软件各识别了段短文，每段短文有个文字，请估计两款软件完全识别错误的短文共有多少段？
解：（1）；
∵由折线统计图得，将款软件每段短文中识别错误的字数从小到大排列，第，位都是，
∴；
∵由折线统计图得，款软件完全识别错误的有段，
∴，
故答案为：；；；
（2）向部门推荐款软件，理由如下，
∵两款软件每段短文中识别错误的字数的平均数相近，但款软件完全识别错误的段数所占百分比为，款软件完全识别错误的段数所占百分比为，说明款识别错误率更低，
∴向部门推荐款软件；
（3）（段），
答：两款软件完全识别错误的短文共有段．
21. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
（2）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴ ① ．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴ ③
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ．
（1）解：如图，直线即为所求作的垂线，
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
故答案为：；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
22. 如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为．
（1）请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：
（3）函数与的图象有且仅有个交点，请直接写出的取值范围．
解：（1）∵在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，
∴，，
∵，，记为，
∴当时，点在上运动，；
当时，点与点重合，不存在；
如图，当时，点在上运动，
，
综上所述：；
（2）∵，
∴当时，，
当时，（作图用，此时不存在），
当时，，
∴取，，，连线作图如下，
∴在范围内，随着的增大而增大；
（3）∵函数与的图象一定经过点，
∴如图，画图分析，
∴当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过点时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时），
∴，解得：，
∴的取值范围为．
23. 芬芳的鲜花，能驱散内心的疲惫，让人心灵得到放松，感受生活的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和向日葵共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支向日葵的进价为4元，售价定为10元．
（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和向日葵全部售完，要求总获利不低于1200元，求花店最多购进玫瑰多少支？
（2）花店在第二次购进玫瑰和向日葵时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和向日葵共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，向日葵售价不变，但向日葵在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值．
解：（1）设花店购进玫瑰支，则购进向日葵支，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为200．
答：花店最多购进玫瑰200支；
（2）根据题意得：
，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：的值为2．
24. 为了增强体质，就读于重庆文德中学 校区的小明和就读于十一中本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往涂山站汇合一同前往江南体育馆打羽毛球，经勘测，腾黄大道公交站C在文德中学校区点A的正北方150米处，十一中本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，涂山站E在点D的正北方，点E在点C的北偏东方向．（参考数据： ）
（1）求的长度；（结果精确到1米）
（2）周五放学，小明和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点 E处汇合，小明的路线为，他从点A步行至点 C再乘坐公交车前往点 E，假设小明匀速步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分钟（小明上车和下车时间忽略不计）．哥哥的路线为，全程步行，他从点B经过点 D 买水（买水时间忽略不计）再前往点 E，假设哥哥匀速步行且速度为100米每分钟．请问小明和哥哥谁先到达点E呢?说明理由（结果保留两位小数）．
解：（1）如图，过点作于，
由题意得，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
答：的长度为；
（2），
，
点在点的北偏东方向，
，
，，
小明花费时间（分钟），
哥哥花费时间（分钟），
，
哥哥花费时间更少，
答：哥哥先到点．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．
解：（1）∵抛物线与轴交于点和点，
∴把点和点代入得：，
解得：，∴抛物线的表达式为；
（2）∵在中，令，得，∴，
设直线的解析式为，把、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，，，
∴，
如图，过点作轴交于，过点作轴交于，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，，取得最大值，
∴的最大值，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为；
（3）∵，
∴，原抛物线的顶点为，
∵将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
如图，过点作轴交轴于，过点作轴于，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，连接线段交新抛物线于，连接线段交新抛物线于，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立解析式得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立解析式得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或．
26. 如图，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接．
（1）当时，求的长；
（2）如图，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想：
（3）如图，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积．
解：（1）如图，当在外时，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，
解得：，
∴，，
∴，
∴；
如图，当在内时，过点作于，交于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
（2）猜想，证明如下，
如图，连接、、，延长交于点，交于点，交于点，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵、、分别为、、中点，
∴是中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）∵由（2）过程得，
∴，
如图，根据题意当最大时，即最大时，此时、、三点共线，交于点，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，
，
∴，
如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，连接交于点，
∵翻折得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴．龙
行
龘
龘
龙
（龙，行）
（龙，龘）
（龙，龘）
行
（行，龙）
（行，龘）
（行，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
软件
平均数
众数
中位数
完全识别错误的段数所占百分
款
6
8
款
8