附6 数轴中的动点问题

这是一份附6 数轴中的动点问题，共39页。

【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
题型1. 单动点问题
例1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；
由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，
∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，
当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，
当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
变式1．（2021·北京·人大附中七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．①②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．
【详解】解：∵，，且，
∴，，解得，，故①正确；
当点与点重合时，∵，，∴，故②错误；
设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2，
，，，
∴，故③正确；
设点B表示的数是，则点C表示的数是，
∵M是OB的中点，∴点M表示的数是，
∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，
则，故④正确．故选：D．
【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．
题型2. 单动点问题（规律变化）
例2.（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．
(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29
【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；
(2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；
(3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16或0，再根据点P的移动规律可得答案．
(1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12；
(2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，
∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；
(3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，
∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，
根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，
它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．
故答案为：2或29．
【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
变式2．（2021·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；
（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；
（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒．
【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【详解】解：（1）∵4×2.5=10，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，
Q处于：1-2+3-4=4-6=-2；
（2）∵4×7=28，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，
Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；
（3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
，
解得n=95，
∴动点Q走过的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95
=1+2+3+…+95
=
=4560，
∴时间=4560÷4=1140(秒)；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，
解得n=96，
∴动点Q走过的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|
=1+2+3+…+96
=
=4656，
∴时间=4656÷4=1164(秒) ．
【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解．
题型3. 双动点问题（匀速）
例3.（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，
故答案为：≥9，12．
（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，
∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，
综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2022·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
(1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；．
(2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
(3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示
的数．
题型4.双动点问题（变速）
例4.（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
变式4．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．
（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；
（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；
②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
（3）当___时，、两点到点的距离相等．
【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等．
【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解；
（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；
②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；
（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴A、C两点距离为：；
故答案为9，20，32；
（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：，
点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，
∴点P从点A到点C的时间为：；
②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，
∴，
∴5+1×1=6，
∴相遇点所表示的数为6；
（3）由（1）（2）及题意可分：
①当时，如图所示：
则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，
∵BP=BQ，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
②当时，如图所示：
∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，
∴，BQ=11-t，
∵PB=BQ，
∴，方程无解；
③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示：
∴PB=15-t，，
∵PB=BQ，
∴，
解得t=12，
④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示：
∴，，
∵PB=BQ，
∴，
解得：；
综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；
故答案为12或25．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．
题型5.多动点问题
例5.（2022·福建·厦门市金鸡亭中学七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；
(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析.
【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论.
【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，
∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）设3秒后点C对应的数为x，则，，
∵CA=CB，∴，
当，无解；
当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒，
∴点C的速度为每秒1个单位长度；
（3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒，
则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；
点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；
则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，
∴，为定值，
即的值没有发生变化.
【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.
变式5．（2022·全国·七年级课时练习）如图一，已知数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从出发，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒
(1)线段__________．
(2)当点运动到的延长线时_________．（用含的代数式表示）
(3)如图二，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度．
(4)当点从出发时，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，
①点表示的数为：_________（用含的代数式表示），
点表示的数为：__________（用含的代数式表示）．
②存在这样的值，使、、三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出值．______________．
【答案】(1) (2) (3) (4)①； ②秒或秒或秒
【分析】（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两点所对应的数的差的绝对值；
（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用点P运动路程－可求解；
（3）当秒时，根据路程＝速度×时间，得到，所以，再 由点是的中点，点是的中点，利用中点的定义得到，，最后由即可得到结论．
（4）①设运动时间为，当点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合“路程＝速度×时间”，再利用数轴上两点间距离公式，则点所表示的数是点的运动路程加上点所表示的数，点所表示的数是点的运动路程加上点所表示的数即可．
②结合①的结论和点所表示的数，分三种情况讨论即可．
(1)解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，
∴．
故答案为：14
(2)∵在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒，
∴，
∴．
故答案为：
(3)∵点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，
当秒时，，
∴，
又∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∴．
∴此时的长度为．
(4)①设运动时间为，当点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，
∴，，
∴点所表示的数为：，点所表示的数为：，
故答案为：；
②结合①的结论和点所表示的数，可知：
点表示的数为，点所表示的数为：，点所表示的数为：，
分以下三种情况：
若点为中点，则，
∴，
解得：；
若点为中点，则，
∴，
解得：；
若点为中点，则，
∴，
解得：．
综上所述，当为秒或秒或秒时，、、三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，中点的定义，注意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点Q表示的数．
题型6. 新定义问题
例6.（2021·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．
（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
变式6．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么．
(1)若，则x的值为 ．
(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立．
(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：
当时，点P叫点A的1倍伴随点，
当时，点P叫点A的2倍伴随点，
……
当时，点P叫点A的n倍伴随点．
试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1
(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1
【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解；
（3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得
，然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)解：∵，∴在数轴上到3和x的点的距离为2，
∴x=5或x=1，故答案为：5或1；
(2)解：∵，∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，
∵，∴，
∵ x是整数，∴x取-2、-1、0、1；故答案为：-2、-1、0、1；
(3)解：存在，理由如下：设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，
∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，
∴，∴，
当时，，∴，即AB=1；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=1；
综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
数轴上的三种动点问题
数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。
【知识点梳理】
1.数轴上两点间的距离
数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
2.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.
类型一、求值（速度、时间、距离）
例1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足＋＝0；
(1)点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；
(2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数 ；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t表示）．
【答案】(1)-2；6；(2)或14
(3)甲球与原点的距离为：t+2；当时，乙球到原点的距离为；当时，乙球到原点的距离为
【解析】(1)解：∵|a+2|+|b−6|=0，∴a+2=0，b−6=0，解得，a=−2，b=6，
∴点A表示的数为−2，点B表示的数为6．故答案为：−2；6．
(2)设数轴上点C表示的数为c，
∵AC=2BC，∴|c−a|=2|c−b|，即|c+2|=2|c−6|，
∵AC=2BC>BC，∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上，
①当C点在线段AB上时，则有−2⩽c⩽6，
得c+2=2(6−c)，解得：c=；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>6，得c+2=2(c−6)，解得c=14，
故当AC=2BC时，c=或c=14；故答案为：或14．
(3)∵甲球运动的路程为：1⋅t=t，OA=2，∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
当0∵OB=6，乙球运动的路程为：2⋅t=2t，乙到原点的距离：6−2t(0⩽t⩽3)；
②当t>3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−6(t>3)．
例2．如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒．
(1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度．
(2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？
(3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度．
【答案】(1)1个单位/秒；(2)4秒和20秒；(3)个单位/秒
【解析】(1)解：B点的运动速度为：
=1个单位/秒．
(2)∵OA+OB=8+4=12＞8，且A点运动速度大于B点的速度，
∴分两种情况，
①当点B在点A的右侧时，运动时间为=4秒．
②当点A在点B的右侧时，运动时间为=20秒，
综合①②得，4秒和20秒时，两点相距都是8个单位长度；
(3)设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知
8+（2-x）×t=[4+（x-1）×t]×2，整理，得2-x=2x-2，解得x=，
故C点的运动速度为个单位/秒．
【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？
(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．
【答案】(1)动点P从点A运动至点C需要19秒；
(2)P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是．
【解析】(1)解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为＝5，OB段时间为=10，BC段时间为=4，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒），
答：动点P从点A运动至点C需要19秒；
(2)解：点Q经过8秒后从点B运动到OB段，
而点P经过5秒后从点A运动到OB段，经过3秒后还在OB段，∴P、Q两点在OB段相遇，
设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，
依题意得：3+y+2y=10，解得：y=，∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+=（秒），
此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+=；
答：P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是．
【变式训练2】如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为4，，．
(1)点表示的数是______，点表示的数是______．
(2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒．
①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为______；
②当时，点、之间的距离为______；
③当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离；
④当点、到点的距离相等时，直接写出的值．
【答案】(1)，6；(2)①，；②7；③；④t的值为或10
【解析】(1)解：A点在B点左边，B点表示4，AB=8，∴A点表示的数，4-8=-4；
C点在B点右边，BC=2，∴C点表示的数为：4+2=6；
(2)解：①P点向右运动，∴P点表示的数为-4+2t；
Q点向左运动，∴Q点表示的数为6-t；
②t=1时，P点-2，Q点5，两点距离=5-（-2）=7；
③∵Q点在右，P点在左，∴两点距离=6-t-（-4+2t）=10-3t，
④当P，Q相遇时，两点到C点距离相等，此时2t+t=10，解得：t=，
当P点在C点右边，Q点在C点左边时，-4+2t-6=6-（6-t），解得：t=10，
∴t的值为或10；
【变式训练3】如图，点A、B为数轴上的点（点A在数轴的正半轴），，N为AB的中点，且点N表示的数为2．
(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______；
(2)点M为数轴上一动点，点C是AM的中点，若，求点M表示的数，并画出点M的位置；
(3)点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒．在运动过程中，点P、Q之间的距离为3时，求运动时间t的值．
【答案】(1)6，﹣2；(2)8或4；(3)1秒或7秒．
【解析】(1)解：∵，N为AB的中点，∴AN＝BN＝AB＝4
∵点N表示的数为2，点A在点N的右侧，点B在点N的左侧
∴点A表示的数为2＋4＝6，点B表示的数为2－4＝﹣2，即点A表示的数为6，点B表示的数为﹣2，
故答案为：6，﹣2
(2)解：当点M在点A的右侧时，如图1所示，
∵ C是AM的中点，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，∴点M表示的数是6＋2＝8；
当点M在点A的左侧时，如图2所示，
∵ C是AM的中点，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，
∴点M表示的数是6－2＝4．故点M表示的数是8或4；
(3)解：当点P在点Q的右侧，即点P还没追上点Q时，如图3，
由题意得t＋4－2t＝3，解得t＝1，
当点P在点Q的左侧，即点P追上点Q并超过点Q时，如图4所示，
由题意得2t－t－4＝3，解得t＝7，
∴点P、Q之间的距离为3时，运动时间t＝1秒或7秒．
类型二、定值问题
例1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【答案】(1)-1，1，5；(2)①4t＋6；②不会变化，2
【解析】(1)解：由题意得，
单项式-xy2的系数a＝-1，最小的正整数b＝1，
多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；
故答案为：-1，1，5
(2)①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，
故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；
故答案为：6＋4t
②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，
AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；
∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，
故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．
【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点．且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数___（用含t的代数式表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；
(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【答案】(1)﹣8，12﹣5t；(2)点P运动10秒时追上点Q；
(3)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由见解析．
【解析】(1)解：∵点A表示的数为12，B在A点左边，AB=20，
∴点B表示的数是12-20=-8，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是12-5t．故答案为：-8，12-5t；
(2)解：设点P运动x秒追上点Q，Q表示的数是-8-3t，
根据题意得：12-5x=-8-3x，解得：x=10，
∴点P运动10秒时追上点Q；
(3)解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：
∵点A表示的数为12，点P表示的数是12-5t，M为AP的中点，
∴M表示的数是，
∵点B表示的数是-8，点P表示的数是12-5t，N为PB的中点，
∴N表示的数是，
∴MN=（12-t）-（2-t）=10．
【变式训练2】如图，已知数轴上点A表示的数为9，B是数轴负方向上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒．
(1)数轴上点B表示的数为_____，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示）
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问t为何值时，点P追上点Q？此时P点表示的数是多少？
(3)若点M是线段的中点，点N是线段的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度；
【答案】(1)，；(2)－16；(3)不发生变化，
【解析】(1)解：∵数轴上点A表示的数为8，且AB=14，
∴点B表示的数为−6，
点P表示的数为，
故答案为：，．
(2)解：设点P运动t秒时，在点C处追上点Q，如图，则，
因为，所以．解得．
所以点P运动5秒时，在点C处追上点Q．
当时，．此时P点表示的数是．
(3)解：不发生变化．理由是：
因为M是线段的中点，N是线段的中点，所以．
分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时，如图所示，
所以．
②当点P运动到点B的左侧时，如图所示，
所以．
综上所述，线段的长度不发生变化，其值为．
【变式训练3】点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．
(1)如图1，求线段AB的长；
(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．
【答案】(1)4；(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，；理由见解析
(3)结论①正确，=2
【解析】(1)解：∵|a+1|+（b-3）2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，
∴AB=|-1-3|=4．答：AB的长为4；
(2)解：存在，∵，∴x=-2，∴BC==5．
设点P在数轴上对应的数是m，∵，∴|m+1|+|m-3|=5，
令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3．
①当m≤-1时，-m-1+3-m=5，m=-1.5；
②当-1＜m≤3时，m+1+3-m=5，（舍去）；
③当m＞3时，m+1+m-3=5，m=3.5．∴当点P表示的数为-1.5或3.5时，；
(3)解：设P点所表示的数为n，∴PA=n+1，PB=n-3．
∵PA的中点为M，∴PM=PA=．
∵N为PB的四等分点且靠近于B点，∴BN=PB=，∴①PM-2BN=-2×=2（不变），
②PM+BN=+×=（随点P的变化而变化），
∴正确的结论为①，且PM-2BN=2．
类型三、点之间的位置关系问题
例1．如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)解决问题：
①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．
【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析
【解析】(1)解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8-3×1=5．
②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，
则AP=3x，BQ=2x，
∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，
∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15，解得：x=3．
∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：
P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），
即2MN+PQ=12．
同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．
例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．
(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)﹣3，﹣1；(2)或1或或；(3)1，，，8．
【解析】(1)解：b是最大的负整数，即b=﹣1，|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，∴a=﹣3，c=9，故答案为：﹣3，﹣1；
(2)解：AB=2，BC=10，AC=12，PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1，
∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：
由B到A时：x=1÷3=，由A到B时：x=3÷3=1，由B到C时：x=5÷3=，
由C到B时：x=23÷3=；故x的值为:或1或或．
(3)解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜），
当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（≤t＜），
当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（≤t≤8），
当M点由A到C运动时M=4t－3，当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，
PM相遇时3t＋4t=2，t=，MN相遇时4t＋5t=12，t=，PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=，
0≤t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣舍去；
＜t＜，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=舍去；
≤t＜，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1；
＜t＜，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=；
＜t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=；
≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8；故t的值为：1，，，8．
【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC＝4， AB＝12．
(1)写出数轴上点A、B表示的数；
(2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；
②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值．
【答案】(1)A点表示-10， B表示2，
(2)①点M表示的数为：-10+3t，点N表示的数为：6+t，②t的值为：2秒或秒或20秒；
【解析】(1)解：∵O为原点，C表示6，BC=4，∴B表示2，∵AB=12，∴A点表示-10；
(2)解：①∵点P从A点以每秒6个单位长度沿数轴向右匀速运动，∴P点表示的数为-10+6t，
∵点M为AP的中点，∴点M表示的数为：（-10-10+6t）=-10+3t，
∵点Q从C点以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，
∴Q点表示的数为6+3t，
∵点N为CQ，∴点N表示的数为：6+×（6+3t-6）=6+t，
②当M是B、N中点，B点在左侧时，BM=MN，即-10+3t-2=6+t-（-10+3t），解得：t=，
当B是M、N中点，M点在左侧时，BM=BN，即2-（-10+3t）=6+t-2，解得：t=2，
当N是B、M中点，B点在左侧时，BN=MN，即6+t-2=-10+3t-（6+t），解得：t=20，
∴t的值为：2秒或秒或20秒；
【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为－5， 点B表示的数为13， 点C表示的数为－2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上（点M在点N的左边）．
(1)求线段AB中点表示的数；
(2)如图2：若从点M与点A重合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值；
(3)如图3：在（2）的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值．
【答案】(1)4；(2)5；(3)或
【解析】(1)解：线段AB中点表示的数为，∴线段AB中点表示的数为4；
(2)解：点N表示的数为：-5+9=4
线段BC中点表示的数为：
根据题意，得4+0.3x=5.5，解得：x=5，
∴点N恰为线段BC的中点重合时，x的值为5；
(3)解：当点N恰为线段BP的中点时，根据题意，得，方程无解，
当点P恰为线段BN的中点时，根据题意，得，解得：t=，
当点B恰为线段PN的中点时，根据题意，得，解得：t=，
综上，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，t的值为或．
【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是的优点．
例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的优点．
(1)在图1中，点C是的优点，也是（A，_____________）的优点；点D是的优点，也是（B，_____________）的优点；
(2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－2，点B所表示的数为4．设数所表示的点是的优点，求的值；
(3)如图3，A，B为数轴两点，点A所表的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，设点Р的运动时间为t秒，在点Р运动过程中，是否存在P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)D，A；(2)10或2；(3)当或或时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点
【解析】(1)解：A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点D表示的数为0，表示数1的点C到点A的距离是2，到点D的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点B的距离是2，到点A的距离是1，那么点D是A的优点，
故答案为：D；A；
(2)解：由题意得，
∴或，
解得或；
(3)解：由题意得运动t秒时点P表示的数为，
∴，，，
当A是（B，P）的优点时，
∴，
数轴上的四种动点问题
【知识点梳理】
1.数轴上两点间的距离
数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
2.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.
类型一、求动点表示的数
例.在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移3个单位长度得到点．若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】∵CO=BO，B点表示2，∴点C表示的数为±2，
∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，
故选：C．
【变式训练1】在数轴上，点P从某点A开始移动，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达，则点A表示的数是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得：-1+4-5=-2，
故选C．
【变式训练2】如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是 _______；若起点A开始时是与—1重合的，则滚动2周后点表示的数是______．
【答案】或 或
【解析】因为半径为1的圆的周长为2，
所以每滚动一周就相当于圆上的A点平移了个单位，滚动2周就相当于平移了个单位；当圆向左滚动一周时，则A'表示的数为，
当圆向右滚动一周时，则A'表示的数为；
当A点开始时与重合时，
若向右滚动两周，则A'表示的数为，
若向左滚动两周，则A'表示的数为；
故答案为：或；或．
【变式训练3】已知数轴上点A对应的数为，点B在点A右侧，且两点间的距离为8．点P为数轴上一动点，点C在原点位置．
（1）点B的数为____________；
（2）①若点P到点A的距离比到点B的距离大2，点P对应的数为_________；
②数轴上是否存在点P，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（3）已知在数轴上存在点P，当点P到点A的距离与点P到点C的距离之和等于点P到点B的距离时，点P对应的数为___________；
【答案】（1）2；（2）①-1；②或10；（3）-8和-4
【解析】（1）∵点A对应的数为-6，点B在点A右侧，A，B两点间的距离为8，
∴-6+8=2，即点B表示的数为2；
（2）①设点P表示的数为x，当点P在点A的左侧，PA＜PB，不符合；
当点P在A、B之间，x-（-6）=2-x+2，解得：x=-1；
当点P在点B右侧，PA-PB=AB=8，不符合；故答案为：-1；
②当点P在点A的左侧，PA＜PB，不符合；
当点P在A、B之间，x-（-6）=2（2-x），解得：x=；
当点P在点B右侧，x-（-6）=2（x-2），解得：x=10；∴P对应的数为或10；
（3）当点P在点A左侧时，-6-x+0-x=2-x，解得：x=-8；
当点P在A、O之间时，x-（-6）+0-x=2-x，解得：x=-4；
当点P在O、B之间时，x-（-6）+x-0=2-x，解得：x=，不符合；
当点P在点B右侧时，x-（-6）+x-0=x-2，解得：x=-8，不符合；
综上：点P表示的数为-8和-4．
类型二、求动点的速度
例.已知多项式的常数项是a，次数是b，且a，b两个数轴上所对应的点分别为A、B，若点A、点B同时沿数轴向正方向运动，点A的速度是点B的2倍，且3秒后，，求点B的速度为（ ）
A．B． 或 C．或D．
【答案】C
【解析】∵多项式x3-3xy2-4的常数项是a，次数是b，∴a=-4，b=3，
设B速度为v，则A的速度为2v，3秒后点A在数轴上表示的数为（-4+6v），B点在数轴上表示的数为3+3v，且OB=3+3v
当A还在原点O的左边时，OA=0-（-4+6v）=4-6v，
由可得，解得；
当A还在原点O的右边时，OA=（-4+6v）-0=6v-4，
由可得，解得.
故B的速度为或，选C.
故答案为：C
类型三、求动点运动的时间
例.如图所示，A、B是数轴上的两点，O是原点，AO=10，OB=15，点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，设运动的时间为t（t≥0） 秒，M、Q两点到原点O的距离相等时，t的值是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【解析】∵O是原点，AO=10，OB=15，∴点A表示的数是-10，点B表示的数是15，
∵点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，∴OM=|-10-t|，
∵点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴OQ=|15-4t|，
∵M、Q两点到原点O的距离相等，∴|-10-t|=|15-4t|，
∴-10-t=15-4t或-10-t=-（15-4t），解得：t=或t=1，
故选：C．
【变式训练1】如图，点在数轴上表示的数是，在数轴上表示的数是8．若点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，问：当时，运动时间为多少秒？（ ）
A．2秒B．13.4秒C．2秒或4秒D．2秒或6秒
【答案】C
【解析】设当AB=8时，运动时间为t秒，
①当点A在点B的左边时，由题意得6t+2t+8=8-（-16），解得：t=2
②当点A在点B的右边时，6t+2t=8-（-16）+8，解得： t=4．
故选：C．
【变式训练2】如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒D．3秒或或7秒或秒
【答案】B
【解析】∵数轴上的点和点分别表示0和10，∴OA=10
∵是线段的中点，∴OB=AB=
①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB－PB=3，∴点P运动的时间为3÷2=s；
②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB+PB=7，∴点P运动的时间为7÷2=s；
③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13，∴点P运动的时间为13÷2=s；
④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17，∴点P运动的时间为17÷2=s；
综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒
故选B．
【变式训练3】已知数轴上有三点，分别表示数，10，若两只电子蚂蚁甲、乙分别从两点同时相向而行，甲的速度为4个单位长度/秒，乙的速度为6个单位长度/秒，
（1）甲、乙两点在数轴上哪个点相遇？
（2）多少秒后甲到三点的距离之和是40个单位长度？
【答案】（1）-10.4；（2）2秒或5秒
【解析】（1）设x秒后甲与乙相遇，则4x+6x=34，解得x=3.4，
4×3.4=13.6，-24+13.6=-10.4．故甲、乙在数轴上的-10.4相遇；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，
B点距A，C两点的距离为14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应位于AB或BC之间．
①AB之间时：4y+（14-4y）+（14-4y+20）=40解得y=2；
②BC之间时：4y+（4y-14）+（34-4y）=40，解得y=5，
综上：2秒或5秒后甲到三点的距离之和是40个单位长度．
类型四、综合问题
例.如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4．
（1）若点M到点A、点B的距离相等，那么点M所对应的数是 ．
（2）若点M从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时点N恰好从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设M、N两点在数轴上的点E相遇，则点E对应的数是 ．
（3）若点D是数轴上一动点，当动点D到点A的距离与到点B的距离之和等于10时，则点D对应的数是 ．
（4）若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过多少秒后，M、N两点间的距离为24个单位长度．
【答案】（1）1；（2）2；（3）﹣4或6；（4）经过30秒或秒后，M、N两点间的距离为24个单位长度
【解析】（1）∵点A、B对应的数分别为﹣2、4，∴AB=4-(-2)=6，
∵点M到点A、点B的距离相等，∴MA=3，
∴点M对应的数是-2+3=1；故答案为：1；
（2）t秒后，点M表示4﹣t，点N表示﹣2+2t，
若两点相遇则4﹣t＝﹣2+2t，解得t＝2，4﹣2＝2，
所以点E对应的数是2．故答案为：2；
（3）设点D对应的数是x，∵AB＝6，∴点D不可能在线段AB上．
①点D在A的左边时，DA＝﹣2﹣x，DB＝4﹣x，
（﹣2﹣x）+（4﹣x）＝10，解得x＝﹣4；
②点D在B的右边时，DA＝2+x，DB＝x﹣4，
（2+x）+（x﹣4）＝10，解得x＝6；故答案为：﹣4或6；
（4）①若点N向右运动，
t秒后，点M对应的数是5t﹣2，点N对应的数是4+4t，
MN＝|（5t﹣2）﹣（4+4t）|＝|t﹣6|＝24，解得t＝30或﹣18（舍去）；
②若点N向左运动，
t秒后，点M对应的数是5t﹣2，点N对应的数是4﹣4t，
MN＝|（5t﹣2）﹣（4﹣4t）|＝|9t﹣6|＝24，解得t＝或﹣2（舍去）；
答：经过30秒或秒后，M、N两点间的距离为24个单位长度．
故答案为：（1）1；（2）2；（3）﹣4或6；（4）经过30秒或秒后，M、N两点间的距离为24个单位长度
【变式训练1】已知若数轴上点、点表示的数分别为，则，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
（1）填空：
①两点间的距离______，线段的中点表示的数为_____；
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为______．
（2）求当为何值时，两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
（3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
【答案】（1）①10，3；②-2+3t，8-2t；（2）t=2，4；（3）5
【解析】（1）①AB=8-（-2）=10，AB中点为=3，故答案为：10，3；
②t秒后，点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t，故答案为：-2+3t，8-2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴-2+3t=8-2t，解得：t=2，∴当t=2时，P、Q相遇，
此时，-2+3t=-2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；
（3）∵点M表示的数为，
点N表示的数为，∴MN==5．
故答案为：（1）①10，3；②-2+3t，8-2t；（2）t=2，4；（3）5
【变式训练2】如图，数轴上原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x秒（x＞0）．
（1）A、B两点间的距离是 ；动点M对应的数是 （用含x的代数式表示）；动点N对应的数是 ；（用含x的代数式表示）
（2）几秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON？
（3）若M，N开始运动的同时，R从﹣1出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求的值．
【答案】（1），，；（2）秒或秒；（3）或
【解析】（1）∵a，b满足，∴a﹣2＝0，b+4＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∵点A对应的数是a，点B对应的数是b，AB＝2﹣（﹣4）＝6．
当运动时间为x秒时，动点M对应的数是x+2，动点N对应的数是3x﹣4．故答案为：6；x+2；3x﹣4．
（2）由（1）中M，N所对的数得OM＝x+2，ON＝3x﹣4，
∵3OM＝2ON， ∴，
①3（2+x）＝2（3x﹣4），解得x＝；②3（2+x）＝﹣2（3x﹣4），解得x＝；
综上，或秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON；
（3）由题意得动点R所对的数为﹣1+2x，
，， ∴MB﹣NB＝6+x﹣3x＝6﹣2x，∵2+x＝﹣4+3x，解得x＝3，∴M与N相遇时时间为3s，
N与M相遇前，x＜3s时，＝＝2，
N与M相遇后，x＞3s时，＝＝＝﹣2，综上所述的值为2或﹣2．
故答案为：（1），，；（2）秒或秒；（3）或
【变式训练3】如图，直线l上有A、B、C三点，AB＝8cm，直线l上有两个动点P、Q，点P从点A出发，以cm/秒的速度沿AB方向运动，点Q从点B同时出发，以cm/秒的速度沿BC方向运动．
（1）点P、Q出发几秒钟后，点B是线段PQ的中点？
（2）运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
（3）运动过程中，线段PQ与线段AQ的长度能否相等？说明你的理由．
【答案】（1）；（2）能，；（3）能，理由见解析
【解析】（1）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段PQ的中点，则
8﹣t＝t，解得：t＝，即点P、Q出发秒钟后，点B是线段PQ的中点；
（2）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则
8+t＝t．解得：t＝；
（3）当点P在点Q左侧时，线段PQ与线段AQ的长度不可能相等．
当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段PQ与线段AQ的长度相等，则
8+t＝t﹣（8+t），
解得：t＝160．
当t＝160时，线段PQ与线段AQ的长度相等．
故答案为：（1）；（2）能，；（3）能，理由见解析