2024年广东省惠州市多校联考中考二模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年广东省惠州市多校联考中考二模数学试题（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷4 页， 共23小题， 满分 120分． 考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题(共10个小题，每小题3分，满分30分)
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思为今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降记作 ( )
A. B. C. D.
2. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长米，其中海底隧道部分全长米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，将数字用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 一个的角放在10倍的放大镜下看是（ ）
A B. C. D. 无法判断
5. 下列运算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
6. 如图，是直径，点在上，若则的度数为（ ）

A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
7. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）．
A. B. C. D.
8. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（cm）对应关系如下表：
小华的腰围是79，那么他所穿裤子的尺码是（ ）
A. 28英寸B. 29英寸C. 30英寸D. 31英寸
9. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则长为 ( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，点、在反比例函数的图象上，点的坐标，则的值为（ ）
A 2B. C. D. 2.5
二、填空题 (共5个小题，每小题3分，满分15分)
11. 已知单词 (微积分)， 从中任取一个字母， 则抽到“”的概率为_____．
12. 分解因式：______．
13. 在社会实践活动中，小明同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_____．
14. “做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则_____．
15. 如图，在正八边形中，将绕点 点逆时针旋转到，连接，，若 ，则 的面积为_____．
三、解答题 (一) (共3个小题， 第16题10分， 第17、18题7分， 满分24分)
16. （1）计算：
（2）先化简，再求值： 其中．
17. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分， 规定： 为级， 为级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中， 一共抽取了 名学生，级对应的圆心角为 度；
（2）补全条形统计图；
（3）这组数据的中位数所在的等级是 级；
（4）若该校共有名学生，请你估计该校综合评定成绩不小于分的学生有多少名?
18. 某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
（1）消毒液和洗手液的单价各是多少元?
（2）学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液?
四、解答题 (二) (共3个小题，每小题9分，满分27分)
19. 【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋．

（1）证明： ；
（2）当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度．
20. 新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
（1）验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
（2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于、两点， 其中的坐标为 ， 是以点 为圆心，半径长为的圆上一动点，连接，为的中点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）求线段的最小值．
五、解答题 (三) (共2个小题，每小题12分，满分24分)
22. 如图1， 经过平行四边形的， 两点， 且分别交， 于， 两点， 其中 ，．
（1）求 的值；
（2）如图2， 若． ．
①求证：平行四边形 为矩形；
②求的半径．
23. 【综合运用】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与轴分别交于点 ，， 顶点为． 其对称轴与轴交于点， 连接， ． 点 是线段上一动点， 点在外角的平分线上， 连接， ， ， ， 其中．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）求的大小；
（3）当线段 的长度最小时， 求此时 的面积．
2024年广东省初中学业水平模拟考试
数学试卷
本试卷4 页， 共23小题， 满分 120分． 考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题(共10个小题，每小题3分，满分30分)
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思为今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降记作 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：如果温度上升，记作，那么温度下降记作，
故选：B．
2. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长米，其中海底隧道部分全长米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，将数字用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
4. 一个的角放在10倍的放大镜下看是（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】因为角是从同一点引出的两条射线组成的图形，它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形成的夹角有关系．
【详解】解：由分析可知：一个角度数为，在10倍的放大镜下观察，这个角的度数为，
故选：B．
本题考查了角的概念，掌握从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角是解题的关键．
5. 下列运算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，是的直径，点在上，若则的度数为（ ）

A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆周角定理求出再利用三角形角和定理求解即可．
【详解】解：是的直径，
故选：
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
7. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作直线与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
本题主要考查平行线的性质，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（cm）对应关系如下表：
小华的腰围是79，那么他所穿裤子的尺码是（ ）
A. 28英寸B. 29英寸C. 30英寸D. 31英寸
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键；依题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为，然后代入进行求解即可．
【详解】解：由题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为，
∴，
解得：，
∴，
∴当腰围，即时，则有，
∴；
故选C．
9. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理．由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：四边形为菱形，
，．
由作图可知，直线为线段的垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得，，
∵，
，
．
在中，由勾股定理得，．
故选：C．
10. 如图，在中，，点、在反比例函数的图象上，点的坐标，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
【详解】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交的延长线于点N．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴．
∴，
∵点A、B都在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
∴点A的坐标为，
∴．
故选：C
二、填空题 (共5个小题，每小题3分，满分15分)
11. 已知单词 (微积分)， 从中任取一个字母， 则抽到“”的概率为_____．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握“随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数”．找出“”中的字母总个数和“”的个数即可求解．
【详解】解：“”中有个字母，其中“”的个数为，
抽到“”的概率为，
故答案为：．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 在社会实践活动中，小明同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可．
详解】解：．
故答案为：．
14. “做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，折叠的性质，根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得是的中位线，是的中位线，最后由三角形的中位线定理求解即可．
【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，
∴，
∴．
如图所示，取中点H，连接，则是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知，重合，即点H与点N重合，
∴是的中位线，
∴，
同理可得是的中位线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在正八边形中，将绕点 点逆时针旋转到，连接，，若 ，则 的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，解直角三角形，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，
依题意，是等边三角形，是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：
三、解答题 (一) (共3个小题， 第16题10分， 第17、18题7分， 满分24分)
16. （1）计算：
（2）先化简，再求值： 其中．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值；
（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】（1）解： 原式
（2）解：原式
，
当时， 原式．
17. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分， 规定： 为级， 为级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中， 一共抽取了 名学生，级对应的圆心角为 度；
（2）补全条形统计图；
（3）这组数据的中位数所在的等级是 级；
（4）若该校共有名学生，请你估计该校综合评定成绩不小于分的学生有多少名?
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
（4）名
【解析】
【分析】此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体；
（1）根据级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用级的人数除以总数即可求出；用度乘以级所占的百分比即可求出扇形统计图中级对应的圆心角的度数；
（2）由（1）得一共抽取了名学生，然后减去级、级，级人数即可求出级人数，然后补全即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用不小于75分的人数占比乘以该校的总人数，即可求解．
【小问1详解】
解：（名），，
故答案为：50， ；
【小问2详解】
由（1）得一共抽取了名学生，
∴级的人数为（名），
则补全条形统计图如图，
【小问3详解】
解：在这组数据中，从小到大排列，第位和第位都在级，
故这组数据的中位数所在的等级是级；
【小问4详解】
(人)，
答：综合评定成绩不小于75分的学生有1656名．
18. 某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
（1）消毒液和洗手液的单价各是多少元?
（2）学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液?
【答案】（1）消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
（2）最多可以购买50瓶消毒液．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，取最大整数解，即可求解．
【小问1详解】
解：设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，
依题意得：
解得：
答：消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
【小问2详解】
设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，
依题意得： ，
解得： ．最大整数解为
答：最多可以购买50瓶消毒液．
四、解答题 (二) (共3个小题，每小题9分，满分27分)
19. 【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋．

（1）证明： ；
（2）当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质；
（1）本题考查了全等三角形的性质与判定；
（2）根据题意得出为直角三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据即可求解．
【小问1详解】
解： 平分，
，
， ，
，
．
【小问2详解】
， ，

为等边三角形，
为直角三角形，

答：发射中心向下滑动的距离是．
20. 新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
（1）验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
（2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用；
（1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解；
（2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义得出联立解关于的一元二次方程，进而根据方程无实数解，即可求解．
【小问1详解】
解： 矩形的周长为： ，
矩形的周长为： ，
矩形 的周长 矩形的周长．
矩形的面积为： ，
矩形的面积为： ，
矩形的面积 矩形 的面积．
矩形是矩形的“减半”矩形．
【小问2详解】
该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将 代入②得：
即

方程 无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于、两点， 其中的坐标为 ， 是以点 为圆心，半径长为的圆上一动点，连接，为的中点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）求线段的最小值．
【答案】（1）直线的解析式为，双曲线的解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数综合；
（1）将点的坐标为 ，代入，，即可求解；
（2）连接，根据题意得出 是的中位线，当在线段上时，最小，则最小，勾股定理求得，进而得出，即可求解．
【小问1详解】
解：直线与双曲线 交于、两点， 的坐标为 ，
解得， ，
直线的解析式为，双曲线的解析式为
【小问2详解】
连接， 是的中点， 为的中点，
则 是的中位线，
所以
当在线段上时，最小，则最小，
的坐标为 ， 点 ，
，
，
故线段 长度的最小值为．
五、解答题 (三) (共2个小题，每小题12分，满分24分)
22. 如图1， 经过平行四边形的， 两点， 且分别交， 于， 两点， 其中 ，．
（1）求 的值；
（2）如图2， 若． ．
①求证：平行四边形 为矩形；
②求的半径．
【答案】（1）
（2）①见解析，②
【解析】
【分析】（1）证明，求出，由图可得，，即可解答；
（2）①过点作于点，证明，利用矩形的判定定理即可得证；
②连接并延长交于点，连接，，证明，连接，和，求出、的值，即可解答．
小问1详解】
解：四边形内接于，
．
，
．
，
．
．
，
．
，
’
【小问2详解】
①过点 作 于点 ，
则
，


，

．
，
．
．
四边形为平行四边形，
四边形为矩形．
②连接并延长交于点 ， 连接， ，
∵四边形 内接于，
为直径，
连接， 和，

，
．
，
的半径为
本题考查圆的综合应用，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定，添加辅助线是解题的关键．
23. 【综合运用】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与轴分别交于点 ，， 顶点为． 其对称轴与轴交于点， 连接， ． 点 是线段上一动点， 点在外角的平分线上， 连接， ， ， ， 其中．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）求的大小；
（3）当线段 的长度最小时， 求此时 的面积．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质得到顶点的坐标为，解方程得到 ；
（2）过点作，交于点，得到抛物线对称轴为，即．根据勾股定理得到＝，＝，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，得到，根据平行线的性质得到，，根据角平分线的定义得到＝，根据全等三角形的性质，根据等边三角形的性质得到；
（3）过点作于点，得到时，线段最短，求得线段最小值为，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：

∴顶点为
令
解得或，
．
【小问2详解】
解： 过点作， 交于点，
抛物线对称轴为， 即．
， ， ，
．
是等边三角形，．
，
．
．
．
即．
，
， ，
．
，
．
，平分，
在和中

．
．
，
是等边三角形．
．
【小问3详解】
过点 作于点 ，
， 点在射线 上运动，
时， 线段 最短．
线段最小值为
， ，
．
．
，
是等边三角形，
．
本题考查了二次函数综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质和定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，正确地作出辅助线的是解题的关键．
尺码/英寸
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22
23
24
25
26
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腰围/
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尺码/英寸
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腰围/
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