人教版高中数学选择性必修第二册导数的概念及其几何意义分层作业(含解析)

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这是一份人教版高中数学选择性必修第二册导数的概念及其几何意义分层作业(含解析)，共9页。试卷主要包含了已知f＝eq \f，则f′＝，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

eq \f(基础对点练,基础考点分组训练)
知识点1 导数的概念
1．(5分)已知f(x)＝eq \f(1,x)，则f′(2)＝( )
A．－eq \f(1,4) B．2
C．eq \f(1,4) D．－2
2．(5分)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．(5分)设函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f1＋3Δx－f1,3Δx)等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C．eq \f(1,3)f′(1) D．f′(3)
4.(5分)设函数f(x)＝ax＋3.若f′(1)＝3，则a＝________.
知识点2 导数几何意义的直接应用
5．(5分)设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
6．(5分)(多选)下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线可能有两个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，f′(x0)不一定存在
知识点3 利用导数的几何意义求曲线的切线问题
7．(5分)如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
8．(5分)曲线y＝eq \f(1,3)x3－2在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(7,3)))处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．60°
9．(5分)曲线y＝eq \r(x)在点P(4,2)处的切线方程为( )
A．x＋4y＋4＝0
B．x－4y＋4＝0
C．x＋4y＋12＝0
D．x－4y＋12＝0
10.(5分)过点(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为________________．
知识点4 导数几何意义的综合应用
11．(5分)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )
A．eq \f(1,2) B．1
C．2 D．0
12．(5分)(多选)曲线y＝f(x)＝x3在点P处的切线斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－2，－8)
D．(2,8)
13.(5分)过点P(－1,2)，且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为________．
eq \f(能力提升练,能力考点适度提升)
14.(5分)设f(x)在x＝x0处可导，且eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋3Δx－fx0,Δx)＝1，则f′(x0)＝( )

A．1 B．0
C．3 D．eq \f(1,3)
15．(5分)抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是( )
A．eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(3\r(2),2) D．eq \r(2)
16.(5分)若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________.
17.(5分)函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．
18.(12分)已知直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值和切点的坐标．
19.(13分)如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．
人教版高中数学选择性必修第二册导数的概念及其几何意义分层作业(解析版)
(60分钟 110分)
eq \f(基础对点练,基础考点分组训练)
知识点1 导数的概念
1．(5分)已知f(x)＝eq \f(1,x)，则f′(2)＝( )
A．－eq \f(1,4) B．2
C．eq \f(1,4) D．－2
A 解析：f′(2)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(－1,22＋Δx)＝－eq \f(1,4).
2．(5分)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
B 解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f0＋Δx－f0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1.
3．(5分)设函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f1＋3Δx－f1,3Δx)等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C．eq \f(1,3)f′(1) D．f′(3)
A 解析：eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f1＋3Δx－f1,3Δx)＝f′(1).
4.(5分)设函数f(x)＝ax＋3.若f′(1)＝3，则a＝________.
3 解析：∵f′(x)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(ax＋Δx＋3－ax＋3,Δx)＝a.
∴f′(1)＝a＝3.
知识点2 导数几何意义的直接应用
5．(5分)设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(B)
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
6．(5分)(多选)下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线可能有两个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，f′(x0)不一定存在
AD 解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，故A正确，B不正确；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为x＝x0，故C不正确；D选项正确．
知识点3 利用导数的几何意义求曲线的切线问题
7．(5分)如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
B 解析：由x＋2y－3＝0知斜率k＝－eq \f(1,2)，
∴f′(x0)＝－eq \f(1,2)<0.
8．(5分)曲线y＝eq \f(1,3)x3－2在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(7,3)))处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．60°
B 解析：∵eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(\f(1,3)－1＋Δx3－2＋\f(7,3),Δx)＝1，
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.
9．(5分)曲线y＝eq \r(x)在点P(4,2)处的切线方程为( )
A．x＋4y＋4＝0
B．x－4y＋4＝0
C．x＋4y＋12＝0
D．x－4y＋12＝0
B 解析：∵eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(\r(4＋Δx)－2,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δx,\r(4＋Δx)＋2Δx)＝eq \f(1,4)，
∴曲线在点P处的切线方程为y－2＝eq \f(1,4)(x－4)，即x－4y＋4＝0.
10.(5分)过点(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为________________．
2x－y－1＝0和10x－y－25＝0 解析：y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝xeq \\al(2,0).
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0.
∵所求的切线过点(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率又为eq \f(y0－5,x0－3)＝eq \f(x\\al(2,0)－5,x0－3)，
∴2x0＝eq \f(x\\al(2,0)－5,x0－3)，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
知识点4 导数几何意义的综合应用
11．(5分)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )
A．eq \f(1,2) B．1
C．2 D．0
C 解析：由图象知f(5)＝－5＋8＝3.
由导数几何意义知f′(5)＝－1.
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
12．(5分)(多选)曲线y＝f(x)＝x3在点P处的切线斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－2，－8)
D．(2,8)
AB 解析：f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx3－x\\al(3,0),Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(3Δx2x0＋3Δxx\\al(2,0)＋Δx3,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) [3Δx·x0＋3xeq \\al(2,0)＋(Δx)2]＝3xeq \\al(2,0).
令3xeq \\al(2,0)＝3，则x0＝±1，∴y0＝±1.
13.(5分)过点P(－1,2)，且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为________．
2x－y＋4＝0 解析：f′(1)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－3×12－4×1＋2,Δx)＝2.
∴所求直线方程为y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
eq \f(能力提升练,能力考点适度提升)
14.(5分)设f(x)在x＝x0处可导，且eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋3Δx－fx0,Δx)＝1，则f′(x0)＝( )

A．1 B．0
C．3 D．eq \f(1,3)
D 解析：∵eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋3Δx－fx0,Δx)＝1，
∴eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋3Δx－fx0,3Δx)＝eq \f(1,3)，
∴eq \(lim,\s\d6(3Δx→0)) eq \f(fx0＋3Δx－fx0,3Δx)＝eq \f(1,3)，
∴f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(3Δx→0)) eq \f(fx0＋3Δx－fx0,3Δx)＝eq \f(1,3).
15．(5分)抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是( )
A．eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(3\r(2),2) D．eq \r(2)
C 解析：抛物线过点(1,2)，∴b＋c＝1.
又∵f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，
∴b＝－1，c＝2.
∴所求的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0，
∴两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0间的距离d＝eq \f(|1＋2|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).
16.(5分)若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________.
3 解析：设切点为(x0,1)．由y′＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) (4x0－4＋2Δx)＝4x0－4，根据导数的几何意义有4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点为(1,1)，∴1＝2－4＋p，∴p＝3.
17.(5分)函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．
0或2 解析：y＝f(x)＝x2在x＝x0处的导数值为f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) (Δx＋2x0)＝2x0.
由2x0＝xeq \\al(2,0)，
解得x0＝0或x0＝2.
18.(12分)已知直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值和切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
f′(x)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝
eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1,Δx)
＝3x2－2x.
由题意知，直线l的斜率k＝1，即3xeq \\al(2,0)－2x0＝1，
解得x0＝－eq \f(1,3)或x0＝1.
于是切点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(23,27)))或(1,1)．
当切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(23,27)))时，eq \f(23,27)＝－eq \f(1,3)＋a，∴a＝eq \f(32,27).
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
所以a的值为eq \f(32,27)，切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(23,27))).
19.(13分)如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．
解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
①当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
②当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；
③当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近单调递减．
由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
当t＝2时，f(2)＝0.
当t＝2时，切线的斜率
k＝f′(2)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f2＋Δt－f2,Δt)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(42＋Δt－22＋Δt2－8＋8,Δt)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(4Δt－2Δt2－8Δt,Δt)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) (－2Δt－4)＝－4.
所以切线方程为y＝－4(t－2)，即4t＋y－8＝0.