2024长沙周南中学高三下学期第三次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2024长沙周南中学高三下学期第三次模拟考试数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量: 120 分钟 满分: 150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣lnx≤0},B=x∣2x≤2 ,则 “ x∈A ” 是 “ x∈B ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 若虚数单位 i 是关于 x 的方程 ax3+bx2+2x+1=0a、b∈R 的一个根,则 a+bi=
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
3. 已知 F 是抛物线 C:x2=4y 的焦点,点 M 在 C 上,且 M 的纵坐标为 3,则 MF=
A. 22 B. 23 C. 3 D. 4
4. 已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 t,−1 ,若 csα =55 ,则 tanα+π4=
A. -3 B. −13 C. 13 D. 3
5. 下图是一个圆台的侧面展开图,已知 BA=12,BD=6 且 ∠ABC=120∘ ,则该圆台的体积为
A. 1122π B. 723πC. 2823π D. 11223π
6. 已知不等式 3x2−y2>0 所表示的平面区域内一点 Px,y 到直线
y=3x 和直线 y=−3x 的垂线段分别为 PA、PB ,若 △PAB 的面积为 3316 ,则点 P 轨迹的一个焦点坐标可以是
A. 2,0 B. 3,0C. 0,2 D. 0,3
7. 函数 Fx 的定义域为 M ,若存在正实数 m ,对任意的 x∈M ,都有 Fx−F−x≤2m , 则称函数 Fx 具有性质 P2m . 已知函数 φx=lg24x+2−x 具有性质 P2k ,则 k 的最 小值为
A. 2B. 1 C. 12 D. 14
8. 已知数列 an 满足递推关系 an+1=an+λn≤52λann≥6 (其中 λ 为正常数, n∈N∗ ,且 a1+a7=1 . a2+a6=0 . 若等式 an⋅an+1⋅an+2=an+an+1+an+2 成立,则正整数 n 的所有可能取值之和为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的是
A. 公式 S=4πR2 中的 S 和 R 不具有线性相关关系
B. 已知变量 X、Y 的 n 对数据为 x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn ,则回归直线 Y=bX+a 可 以不经过点 x,y ,其中 x=1nx1+x2+⋯+xn,y=1ny1+y2+⋯+yn
C. 若相关系数 r 的绝对值越接近 1,则两个变量的线性相关性越强
D. 对于变量 A 与 B 的统计量 χ2 来说, χ2 越大,判断 “ A 与 B 有关系” 的把握越大
10. 已知圆 C:x+22+y2=4 ,直线 l:m+1x+2y−1+m=0m∈R ,则
A. 直线 l 恒过定点 −1,1
B. 当 m=0 时,圆 C 上恰有三个点到直线 l 的距离等于 1
C. 直线 l 与圆 C 可能相切
D. 若圆 C 与圆 x2+y2−2x+8y+a=0 恰有三条公切线,则 a=8
11. 约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体(包括 13 种阿基米德多面体、无穷多种侧 棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱)以外, 所有由正多边形面组成的凸多面 体. 其中, 由正多边形面构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体, 台塔, 又叫帐塔、平 顶塔, 是指在两个平行的多边形(其中一个的边数是另一个的两倍)之间加入三角形和四 边形所组成的多面体. 各个面为正多边形的台塔, 包括正三、四、五角台塔. 如图是所 有棱长均为 1 的正三角台塔 ABC−DEFGHI ,则
A. 该台塔共有 15 条棱B. AH// 平面 BIDC
C. 该台塔高为 33D. 该台塔外接球的体积为 4π3
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. y−2x−34 的展开式中含 x3y 项的系数为___.
13. 平面向量 a、b、c 满足: a⊥c,⟨a,b⟩=π3,⟨b,c⟩=π6 ,且 a=c=3,b=2 , 则 a+b+c= ___.
14. 已知函数 y=fx ,任取 t∈R ,定义集合 At={y∣y=fx ,点 Pt,ft、Qx,fx 满足 ∣PQ ≤2 . 设 Mt、mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 ℎt=Mt−mt ,试解答 以下问题:
(1) 若函数 fx=x2 ,则 ℎ0= ___;
(2) 若函数 fx=sinπ2x ,则 ℎt 的最小正周期为___.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. (13 分)
记 i=1nxi=x1+x2+x3+⋯+xn,i=1nxi=x1⋅x2⋅x3⋯⋅xn,n∈N∗ ,已知数列 an 和 bn 分别满足.
i=1nai=n2, i=1nbi=3n2+n.
(1) 求 an、bn 的通项公式;
(2) 求 i=1naibi .
16. (15 分)
开展中小学生课后服务, 是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展, 制定了两套工作方案, 为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表:
假设用频率估计概率, 且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1) 从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽
取 1 人,设 X 为抽出两人中女生的个数,求 X 的分布列与数学期望;
(2) 在(1)中, Y 表示抽出两人中男生的个数,试判断方差 DX 与 DY 的大小.
17. (15 分)
如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD ,底面 ABCD 是矩形, PA=2AD=4 ,且 PC=26 ,点 E 为 PC 的中点.
(1) 求证: BD⊥ 平面 PAC ;
(2) 求直线 PC 与平面 AED 所成的角的正弦值.
18. (17 分)
已知函数 fx=ax−lnxx,a>0 .
(1) 若 fx 存在零点,求 a 的取值范围;
(2) 若 x1、x2 为 fx 的零点,且 x12 .
19. (17 分)
已知椭圆 C:x2a12+y2b12=1a1>b1>0 的左、右焦点分别为 F1、F2,B 为上顶点,离心率 为 12 ,直线 BF2 与圆 4x2+4y2−3=0 相切.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 椭圆方程 Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,平面上有一点 Px0,y0 . 定义直线方程 l:x0xa2+y0yb2
=1 是椭圆 Γ 在点 Px0,y0 处的极线.
① 若 Px0,y0 在椭圆 C 上,证明: 椭圆 C 在点 P 处的极线就是过点 P 的切线;
② 若过点 P−4,0 分别作椭圆 C 的两条切线和一条割线,切点为 X、Y ,割线交椭 圆 C 于 M、N 两点,过点 M、N 分别作椭圆 C 的两条切线,且相交于点 Q . 证明: Q、X、Y 三点共线.
长沙市周南中学 2024 届高三第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 答案: A
解析: 由不等式 lnx≤0 ,解得: 0由不等式 2x≤2 解得 x≤1,∴B=(−∞,1] .
所以 “ x∈A ” 是 “ x∈B ” 的充分不必要条件.
2. 答案: C
解析: 依题意, ai3+bi2+2i+1=0 ,即 2−ai+1−b=0 ,又 a,b∈R
则 a=2,b=1 ,所以 a+bi=2+i=22+12=5 .
3. 答案: D
解析: 由已知得 F0,1 ,由于 M 的纵坐标为 3,
由抛物线定义可知: MF=yM+p2=3+22=4 .
4. 答案: B
解析: 由任意角的三角函数公式可知 csα=tt2+1=55 ,解得 t=12 ,
所以 tanα=yx=−2 ,所以 tanα+π4=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−2+11−−2×1=−13 .
5. 答案: D
解析: 设圆台上底面圆半径为 r ,下底面圆半径为 R ,
母线长为 l ,高为 ℎ ,
依题意 2πr=6×2π3,2πR=12×2π3 ,
解得 r=2,R=4 ,而圆台的母线长 l=AD=BA−DA=6
因此圆台的高 ℎ=l2−R−r2=42 ,
所以圆台的体积 V=13πr2+πR2+πrRℎ=13×4π+16π+8π×42=11223π .
6. 答案: A
解析: 如图所示,则 ∠AOB=120∘,∠APB=60∘ .
不等式 3x2−y2>0 所表示的平面区域内一点 Px,y , 可得点 P 的轨迹为直线 y=±3x 之间并且包括 x 轴 在内的区域.
∴PA⋅PB=3x−y2⋅3x+y2=3x2−y24 ,
∵△PAB 的面积为 3316, ∴S△PAB=12PA⋅PBsin60∘=3163x2−y2=3316 ,
即 P 点轨迹方程为 x21−y23=1 . ∴ 焦点坐标为 2,0 .
7. 答案: C
解析: 因为 φx−φ−x=lg24x+2−lg24x+2−2x=lg24x+22⋅4x+1,x∈R
而 lg24x+22⋅4x+1=lg212×2⋅4x+42⋅4x+1=lg212+34x+1+2∈−1,1 ,
所以 φx−φ−x<1 ,故 2k≥1 ,即 k≥12 ,所以 k 的最小值为 12 .
8. 答案: B
解析: ∵an+1=an+λn≤52λ•ann≥6 , ∴ 当 n≤5 时, an+1−an=λ ,
即数列 an 的前 6 项构成等差数列,且公差为 λ ,
当 n≥6 时,易知 an≠0,an+1an=2λ ,即数列 an 从第 6 项起构成等比数列,且公比为 2λ ,
∵a2+a6=0,∴a4=0 ,则 a1=−3λ,a6=2λ,a7=4λ2 ,
∵a1+a7=1,∴−3λ+4λ2=1 ,解得 λ=1 或 λ=−14 .
∵λ>0,∴λ=1 . ∴ 数列 an 为: −3,−2,−1,0,1,2,4,8,⋯ ,
∵−3×−2×−1=−3−2−1 ,
∴ 当 n=1 时,等式 an⋅an+1⋅an+2=an+an+1+an+2 成立;
∵−1×0×1=−1+0+1 ,
∴ 当 n=3 时,等式 an⋅an+1⋅an+2=an+an+1+an+2 成立.
当 n≠1 且 n≠3 时,等式不成立,
∴ 正整数 n 的所有可能取值之和为 4 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 答案: ACD
解析: A 选项,公式 S=4πR2 中的 S 和 R 为二次函数关系,故不具有线性相关关系,A 正确;
B 选项,回归直线 Y=bX+a 一定经过样本中心点,即 x,y,B 错误;
C 选项,若相关系数 r 的绝对值越接近 1,则两个变量的线性相关性越强, C 正确
D 选项,对于变量 A 与 B 的统计量 χ2 来说, χ2 越大,判断“ A 与 B 有关系”的把握越 大, D 正确.
10. 答案: AD
解析: 对于 A 选项,直线 l:m+1x+2y−1+m=0m∈R ,所以 mx+1+x+2y−1=0
令 x+1=0x+2y−1=0 ,解得 x=−1y=1 ,所以直线恒过定点 −1,1 ,故 A 选项正确
对于 B 选项,当 m=0 时,直线 l 为: x+2y−1=0 ,
则圆心 C−2,0 到直线 l 的距离为 d=−2+0−112+22=355,2−355<1 ,
所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1, 故 B 选项错误.
对于 C 选项,因为直线过定点 −1,1 ,所以 −1+22+12<4 ,
所以定点在圆内,则直线 l 与圆 C 一定相交. 故 C 选项错误.
对于 D 选项,由圆的方程 x2+y2−2x+8y+a=0 可得, x−12+y+42=17−a ,
所以圆心为 1,−4 ,半径为 17−a ,因为两圆有三条公切线,所以两圆的位置关系
为外切,则 1+22+0+42=5=2+17−a ,解得 a=8 ,故 D 选项正确.
11. 答案: ABD
解析: 台塔下底面 6 条棱,上底面 3 条棱, 6 条侧棱, 共 15 条棱, 故 A 正确:
台塔表面有 1 个正六边形, 3 个正方形, 4 个正三角形, 由所有棱长均为 1 ,
连接 CI ,因为 AC//EF 且 AC=EF ,又 EF//HI 且 EF=HI ,
所以 AC//HI 且 AC=HI ,
所以四边形 ACIH 为平行四边形,所以 AH//CI ,
AH⊄ 平面 BIDC,CI⊂ 平面 BIDC ,
所以 AH// 平面 BIDC ,故 B 正确;
上底面正三角形 ABC 在下底面正六边形 DEFGHI 内
的投影为 △A′B′C′ ,
则 O 点是正六边形 DEFGHI 的中心,也是 △A′B′C′ 的中心
△A′B′C′ 和 △ODE 都是正三角形, C′ 是 △ODE 的中心,由棱长为 1,则 EC′=33 ,
所以台塔的高 CC′=EC2−EC′2=1−39=63 ,故 C 错误;
设上底面正三角形 ABC 的外接圆圆心为 O1 ,则半径 r1=33 ,
下底面正六边形 DEFGHI 的外接圆圆心为 O2 ,则半径 r2=1 ,
设台塔的外接球半径为 R,OO2=a ,
则有 a2+12=a+632+332 或 a2+12=63−a2+332 ,解得 a=0 ,
所以 R=r2=1 ,台塔的外接球体积 V=43πR3=43π ,故 D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.答案： −12
解析: y−2x−34=yx−34−2x−34 ,
yx−34 的展开式中 x3y 项为: y⋅C41x3⋅−31=−12x3y ,
−2x−34 的展开式中没有 x3y 项,故 y−2x−34 的展开式中含 x3y 项的系数为 -12
故答案为: -12 .
13. 答案： 33+1
解析: ∵a⊥c,∴a⋅c=0 ,
∴a+b+c2=a+b+c2=a2+b2+c2+2a⋅b+a⋅c+b⋅c
=9+4+9+2×3×2⋅csπ3+0+2×3⋅csπ6=28+63=33+12,
∴a+b+c=33+1.
14. 答案: (1) 1 2分 ; (2) 2 (3 分) .
解析: 对于 1 ,因为函数 fx=x2 ,当 t=0 时, P0,0、Qx,x2 且 x−02+x2−02≤2 ,
即 x2+x4≤2 ,令 x2=m ,即 m2+m≤2 ,解得 0≤m≤1 ,
所以 Mt=1,mt=0 ,所以 ℎ0=1−0=1 ;
对于 2 ,如图所示,若函数 fx=sinπ2x ,此时,函数的最小正周期为 2ππ2=4 ,
点 Pt,sinπ2t、Qx,sinπ2x
当点 P 在 A 点时,点 Q 在曲线 OAB 上, Mt=1,mt=0,ℎt=Mt−mt=1 ;
当点 P 在曲线上从 A 接近 B 时, ℎt 逐渐增大,当点 P 在 B 点时, Mt=1,mt=−1
ℎt=Mt−mt=2 ;
当点 P 在曲线上从 B 接近 C 时, ℎt 逐渐减小,当点 P 在 C 点时, Mt=1,mt=0 ,
ℎt=Mt−mt=1 ;
当点 P 在曲线上从 C 接近 D 时, ℎt 逐渐
增大,当点 P 在 D 点时, Mt=1 ,
mt=−1, ℎt=Mt−mt=2;
当点 P 在曲线上从 D 接近 E 时, ℎt 逐渐
减小,当点 P 在 E 点时, Mt=1,mt=0 ,
ℎt=Mt−mt=1 ;
依此类推,发现 ℎt 的最小正周期为 2 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. (13 分)解析: (1) 设 Sn=i=1nxi,Tn=i=1nxi ,则
当 n=1 时, a1=S1=1 ;……1 分
当 n≥2 时, an=Sn−Sn−1=n2−n−12=2n−1 ……2 分
经检验,当 n=1 时,满足 an=2n−1 ,所以 an=2n−1 ; ……3 分
当 n=1 时, b1=T1=3 ; 当 n≥2 时, bn=TnTn−1=3n2+n3n−12+n−1=32n=3n ,
当 n=1 时,满足 bn=3n ,所以 bn=3n…… 6 分
(2) 由(1)知 anbn=2n−1×3n ,则 i=1naibi=1×3+3×32+5×33+⋯+2n−1×3n , ①
3i=1naibi=1×32+3×33+5×34+⋯+2n−3×3n+2n−1×3n+1, ②……9 分
由①-②相减得: −2i=1naibi=3+232+33+31+⋯+3n−2n−1×3n+1
=3+2×9−3n+11−3−2n−1×3n+1=−6−2n−2×3n+1
故 i=1naibi=3+n−1×3n+1 ……13 分
16. (15 分) 解析: (1) 记从方案一中抽取到女生为事件 A ,从方案二中抽取到女生为事件 B .
则 PA=1624+16=25 ,……2 分
PB=3525+35=712 . ……4 分
则 X 的可能取值为 0、1、2 .
所以 PX=0=1−25×1−712=14 . ……6 分
PX=1=1−25×712+25×1−712=3160 . ……8 分
PX=2=25×712=730 . ……10 分
所以 X 的分布列为:
所以 EX=0×14+1×3160+2×730=5960 . ……12 分
(2) 依题意可得 Y=2−X ,所以 DY=D2−X=−12DX=DX
即 DY=DX . ……15 分
17. (15 分)解析: (1) 证明: 因为 PA⊥ 底面 ABCD,AC、BD⊂ 底面 ABCD ,
所以 PA⊥AC,PA⊥BD ,所以 AC=PC2−PA2=22 ,
CD=AC2−AD2=2=AD ，……3 分
所以矩形 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC ,
因为 PA∩AC=A,PA、AC⊂ 平面 PAC ,
所以 BD⊥ 平面 PAC .……7 分
( 2 由 (1) 知 AB、AD、AP 两两垂直,建系如图,
A0,0,0,D0,2,0,P0,0,4,C2,2,0,E1,1,2 ,
CP=−2,−2,4,AE=1,1,2,AD=0,2,0,……9分
设平面 AED 的法向量为 n=x,y,z ,
则 AE⋅n=0AD⋅n=0 ,即 x+y+2z=02y=0 ,
令 x=−2 ,得 n=−2,0,1 ,……12 分
所以直线 PC 与平面 AED 所成的角的正弦值为
CP⋅nCP⋅n=826⋅5=23015. ……15 分
18. (17 分)解析: (1) fx 的定义域为 0,+∞ ,
令 fx=0 ,即 ax−lnxx=0a>0 ,等价于 ax2−lnx=0 ,……2 分
设 gx=ax2−lnx ,则 g′x=2ax−1x=2ax2+xx>0 ,令 g′x=0 ,可得 x=2a2a ,
当 x∈0,2a2a 时, g′x<0,gx 单调递减,
当 x∈2a2a,+∞ 时, g′x>0,gx 单调递增, ……5 分
则 gx 的最小值为 g2a2a=12−ln2a2a=121+ln2a, g1=a>0 ,
要使得 gx=ax2−lnx 存在零点,则 g2a2a=121+ln2a≤0 ,
即 1+ln2a≤0 ,得 a∈0,12e ……8 分
由 x1,x2 为 fx 的零点,得 fx1=fx2=0 ,即 gx1=gx2=0 ,即 ax12−lnx1=0,ax22−lnx2=0,
两式相减得 ax12−x22−lnx1−lnx2=0 ,即 a=lnx1−lnx2x1−x2x1+x2 . ……11 分
要证当 02 ,只需证 lnx1−lnx2x1−x2x1+x2>2 ,
只需证 lnx1x2<2x1−x2x1+x2,0令 t=x1x20F′t=1t−4t+12=t+12−4ttt+12=t−12tt+12>0 ,则 Ft 在 0,1 上单调递增,
∴Ft=lnt−2t−1t+119. (17 分)解析: (1) 由已知 c1a1=12 ,而直线 BF2:y=−b1c1x+b1 即 b1x+c1y−b1c1=0 .
该直线与圆 x2+y2=34 与相切,则 b1c1b12+c12=b1c1a1=32 ,解得: b1=3,a1=2
故椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1 ……4 分
(2) ① 由(1)得椭圆 C 的方程是 x24+y23=1 .
因为 Px0,y0 在椭圆 C 上,所以 x024+y023=1⇒3x02+4y02−12=0 ,……5 分
由定义可知椭圆 C 在点 Px0,y0 处的极线方程为 x0x4+y0y3=1 , .6 分 当 y0=0 时, x0=±2 ,此时极线方程为 x=±2 ,所以 P 处的极线就是过点 P 的切线……7 分
当 y0≠0 时,极线方程为 x0x4+y0y3=1⇒y=−3x04y0x+3y0 .
联立 y=−3x04y0x+3y0x24+y23=1 ,得 9x024y02+3x2−18x0y02x+36y02−12=0 .
∴Δ=−18x0y022−49x024y02+336y02−12=36⋅3x02+4y02−12y02=0……9 分
综上所述,椭圆 C 在点 P 处的极线就是过点 P 的切线; ……10 分
② 设点 Qx0,y0,Mx1,y1,Nx2,y2 ,
由①可知,过点 M 的切线方程为 l1:x1x4+y1y3=1 ,
过点 N 的切线方程为 l2:x2x4+y2y3=1 ……12 分
因为 l1,l2 都过点 Qx0,y0 ,所以有 x1x04+y1y03=1x2x04+y2y03=1 ,
则割线 MN 的方程为 l0:x0x4+y0y3=1 ; ……14 分
同理可得过点 P−4,0 的两条切线的切点弦 XY 的方程为
l3:−4x4=1⇒x=−1 ……15 分
又因为割线 MN 过点 P−4,0 ,代入割线方程得 −4x04=1⇒x0=−1 ……16 分
所以 Q,X,Y 三点共线,都在直线 x=−1 上．……17 分男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35
X
0
1
2
P
14
3160
730