人教A版数学--圆锥曲线的方程专题三

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典例1、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
随堂练习：已知椭圆经过点和点．
（1求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
典例2、已知椭圆经过点，其右顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．
随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．
（1）求C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
典例3、已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.
（1）求椭圆的方程； （2）证明：直线过定点.
随堂练习：已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；（2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标.
知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭圆的切线方程,椭圆中三角形（四边形）的面积
典例4、已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，过垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，椭圆上的点到一个焦点的最大距离为．
（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上关于原点对称的两个动点（非长轴端点），线段的延长线与椭圆交于点，若的面积为，求直线的方程．
典例5、已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标
原点，当的面积等于时，求直线的方程．
随堂练习：已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
典例6、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N.
（1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程.
随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．
人教A版数学--高考解析几何复习专题三答案
典例1、答案：（1）；（2）见解析
解: （1）对于，当时，，即，当，，即，
椭圆的方程为，
（2）证明：设直线，（）， 设，两点的坐标分别为，，则，
联立直线与椭圆得， 得，
，解得 ，，
， 直线 ，
令，得 ，
直线过定点
随堂练习：答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得， 可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
典例2、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称，
从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线方程为，设点、，
联立，可得，，可得，
由韦达定理可得，，
因为，
整理可得，
即，化简得，
即，可得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意.
综上所述，直线过定点．
随堂练习：答案：（1） （2）过定点，定点坐标为
解：（1）依题意， 由解得， 所以椭圆的方程为.
（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；
当的斜率都存在且不为时，设，
设，联立，整理得，
，，
则， 所以的中点，
同理由，可得的中点， 则，
所以直线的方程为，化简得，
故直线恒过定点． 综上，直线过定点.
典例3、答案：（1）；（2）证明见解析.
解:（1）由于，故， 所以.
又椭圆过点，故， 从而，，椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得， 设，则.
又由 得：，
所以，化简得， 解得或（舍去）.
当时，直线过定点，符合要求.
综上可知，直线过定点.
随堂练习：答案：（1）；（2）直线过定点
解：（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点， 所以，又，
解得，，， 所以椭圆的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，，，
联立，得， 所以，，
所以，， 所以，
解得， 所以直线过定点．
典例4、答案：（1） （2）
解：（1）设，因为直线的斜率为， 所以，.
又 解得， 所以椭圆的方程为.
（2）解：设 由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时 .
所以
点到直线的距离 所以，
设，则， ，
当且仅当，即， 解得时取等号， 满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
随堂练习：答案： （1） （2）或
解：（1）设的半焦距为，则，故过垂直于轴的直线方程为，
与的方程联立，得，由题意得，所以，又， 所以，，
因为椭圆上的点到一个焦点的最大距离为，所以， 所以，，
故椭圆的方程为；
（2）由题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，，，
由，消去并整理得，
所以，，
所以，
因为点到直线的距离，且是线段的中点，所以点到直线的距离为，
所以，
因为，所以，解得或（舍去），
所以，此时直线的方程为，即或
典例5、答案：（1） （2）或
解：（1）由椭圆定义得，，所以，故， 所以椭圆的方程为．
（2）设代入方程， 得
所以，， 所以，解得，
则式变为则，
底边上的高，所以的面积．
令，解得， 把，代入式，经检验，均满足，
此时直线的方程为或．
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）由题意知，所以，， 所以，由椭圆定义知：，
则，， 故椭圆的方程为．
（2）①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得． 又圆的半径，
∴的面积为， 化简得，解得，
∴， ∴圆的方程为．
典例6、答案：（1） （2）
解：（1）将点代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因为，设直线的方程为，设，，
联立，得， 且，则，，
则，且， 直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为， ∴，
∴面积，
当且仅当时，取到等号，此时， 所以直线的方程为.
随堂练习：答案： （1） （2）或.
解：（1）由题意知，， 又，∴，，
∴椭圆标准方程为.
（2）∵轴，∴， 设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，， ∴.
①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得.
得， ∴，即，解得.
故直线的方程为或.